二維隨機(jī)變量的邊緣分布與聯(lián)合分布關(guān)系探討分析研究 應(yīng)用數(shù)學(xué)管理專業(yè)

摘要本文首先理解二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布的概念、性質(zhì)及其兩種基本表達(dá)形式：離散型二維隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布和連續(xù)型二維隨機(jī)變量聯(lián)合概率密度。掌握已知兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布時(shí)分別求它們的邊緣分布的方法。在文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上，運(yùn)用隨機(jī)事元和隨機(jī)事元集合，建立了二維隨機(jī)變量分布和邊緣分布的形式化可拓模型。利用可拓變換和傳導(dǎo)變換，結(jié)合形式化的可拓推理知識，對二維隨機(jī)變量在可拓變換下的傳導(dǎo)分布模型進(jìn)行了研究。將隨機(jī)事元、隨機(jī)事元集合、可拓變換、可拓推理知識等引入到二維隨機(jī)變量分布的研究中，使分析更加形式化，邏輯性更強(qiáng)。運(yùn)用隨機(jī)事元和隨機(jī)事元集合建立了二維隨機(jī)變量分布的可拓模型。本文對這種特例作了深入研究，分析了具有這種性質(zhì)的二維密度f(x，y)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與本質(zhì)，有助于我們更好地了解正態(tài)分布的特殊性質(zhì)。關(guān)鍵詞：二維隨機(jī)變量；邊緣分布；聯(lián)合分布AbstractInthispaper，wefirstunderstandtheconceptandpropertiesofthejointdistributionoftwo-dimensionalrandomvariablesandtheirtwobasicexpressions:jointprobabilitydistributionofdiscretetwo-dimensionalrandomvariablesandjointprobabilitydensityofcontinuoustwo-dimensionalrandomvariables.Themethodoffindingtheedgedistributionofthejointdistributionoftwoknownrandomvariablesismastered.Onthebasisofliteratureresearch，aformalextensionmodeloftwo-dimensionalrandomvariabledistributionandedgedistributionisestablishedbyusingrandomeventelementandrandomelementset.Byusingextensiontransformationandconductiontransformationcombinedwithformalizedknowledgeofextensionreasoning，theconductionanddistributionmodelsoftwo-dimensionalrandomvariablesunderextensiontransformationarestudied.Therandomeventelement，randomeventset，extensiontransformationandextensionreasoningknowledgeareintroducedintothestudyoftwo-dimensionalrandomvariabledistribution，makingtheanalysismoreformalizedandlogical.Theextensionmodelofthedistributionoftwodimensionalrandomvariablesisestablishedbyusingtherandomeventelementandthesetofrandomelement.Thisspecialcaseisstudiedindepth.Thestructureandnatureofthetwo-dimensionaldensityf(x，y)withthispropertyisanalyzed，whichhelpsustobetterunderstandthespecialpropertiesofnormaldistribution.Keywords:two-dimensionalrandomvariables;edgedistribution;jointdistribution目錄摘要 IAbstract II1隨機(jī)變量獨(dú)立性及其判定 11.1隨機(jī)變量獨(dú)立性定義 11.1.1隨機(jī)變量及隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義 11.1.2隨機(jī)變量獨(dú)立性的兩個(gè)簡單定理 21.2離散型隨機(jī)變量獨(dú)立性的判定 41.2.1離散型隨機(jī)變量判別法一 41.2.2離散型隨機(jī)變量判別法二 81.3連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立性的判定 121.3.1連續(xù)型隨機(jī)變量判別法一 121.3.2連續(xù)型隨機(jī)變量判別法二 132邊緣分布與聯(lián)合分布關(guān)系探討 162.1二維隨機(jī)變量的分布函數(shù) 162.2二維離散型隨機(jī)變量 172.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量 182.4隨機(jī)變量的獨(dú)立性 182.5條件分布 192.6二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 20結(jié)論 21致謝 21參考文獻(xiàn) 220引言概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支，而隨機(jī)現(xiàn)象是相對于決定性現(xiàn)象而言的。由于隨機(jī)現(xiàn)象的普遍性，使得其在現(xiàn)實(shí)生活中具有極其廣泛的應(yīng)用，特別是在科學(xué)技術(shù)、工業(yè)和農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等方面。隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)，離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布、邊緣分布和條件分布，連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度、邊緣密度和條件密度，隨機(jī)變量的獨(dú)立性和相關(guān)性，常見二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布，兩個(gè)及兩個(gè)以上隨機(jī)變量簡單函數(shù)的概率分布。根據(jù)兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布求其函數(shù)的概率分布，會(huì)根據(jù)多個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的概率分布求其函數(shù)的概率分布。而隨機(jī)變量則是指隨機(jī)事件的數(shù)量表現(xiàn)，隨機(jī)變量的獨(dú)立性是概率統(tǒng)計(jì)中最基本的概念之一，無論在科學(xué)理論研究還是在社會(huì)生產(chǎn)、生活等實(shí)際的應(yīng)用中都具有非常重要的意義。當(dāng)前概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)很多已有的研究成果都是在隨機(jī)變量獨(dú)立性的前提下得到的，因而對隨機(jī)變量獨(dú)立性的研究具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。1隨機(jī)變量獨(dú)立性及其判定1.1隨機(jī)變量獨(dú)立性定義在我們研究隨機(jī)變量獨(dú)立性判定時(shí)，首先我們需要了解什么是隨機(jī)變量獨(dú)立獨(dú)立性，當(dāng)然在此之前我們需要了解一個(gè)更為具體的概念，即什么是隨機(jī)變量。隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)中各種結(jié)果的實(shí)值單值函數(shù)。如某一時(shí)間段經(jīng)過火車站安全門的人數(shù)，傳真機(jī)在一定時(shí)間內(nèi)收到的傳真次數(shù)等等，都是關(guān)于隨機(jī)變量的實(shí)例。1.1.1隨機(jī)變量及隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義定義1.1.1設(shè)為概率空間，為上定義的實(shí)值函數(shù)，如果有則稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量是上關(guān)于可測的實(shí)值函數(shù)。一般我們省略，將等簡寫成等。隨機(jī)變量在不同條件下因?yàn)榕既灰蛩氐挠绊懀淙≈悼赡懿煌?，即隨機(jī)變量具有不確定性、隨機(jī)性。引入了刻畫隨機(jī)事件之間關(guān)系的隨機(jī)事元的關(guān)系事元的概念.利用關(guān)系元刻畫隨機(jī)事件之間的關(guān)系更加全面、簡潔、方便，特別是利用關(guān)系元研究二維離散型隨機(jī)變量的兩個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系，可通過可拓推理方法尋找變換T，使兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)程度或獨(dú)立性發(fā)生傳導(dǎo)變換，進(jìn)而為涉及二維隨機(jī)變量的分布律和邊緣分布律的矛盾間題，提供一種解決的途徑。同樣的方法，也可用于研究二維連續(xù)型隨機(jī)變量的兩個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系。定義1.1.2設(shè)為概率空間上的個(gè)隨機(jī)變量，若其聯(lián)合分布函數(shù)等于各自的邊緣分布函數(shù)之積，即稱相互獨(dú)立。1.1.2隨機(jī)變量獨(dú)立性的兩個(gè)簡單定理定理1.1.1如果隨機(jī)變量相互獨(dú)立，則其中任何一部分隨機(jī)變量仍然獨(dú)立。值得注意的是，解法一是根據(jù)聯(lián)合分布的協(xié)方差的一般求法來解的，而當(dāng)聯(lián)合密度函數(shù)為連續(xù)函數(shù)時(shí)，根據(jù)重積分的相關(guān)知識二重積分的積分順序是可以交換的，并不會(huì)影響最終結(jié)果，所以在計(jì)算聯(lián)合分布中單個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望時(shí)，可直接利用聯(lián)合密度函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，而無須先求邊緣密度函數(shù)，從而使計(jì)算得到簡化。證明如果相互獨(dú)立，考慮其任意部分隨機(jī)變量組成的子向量，在中令與子向量無干的所有，則左邊可化為其子向量的邊緣分布函數(shù)，同樣右邊相應(yīng)地化為子向量的各分量的邊緣分布函數(shù)之積，故定理1.1.1得證。在求定積分時(shí)，若被積函數(shù)的某一部分正好是某一隨機(jī)變量的密度函數(shù)或者可以通過拼湊使得被積函數(shù)的某一部分轉(zhuǎn)化成為某一隨機(jī)變量的密度函數(shù)，這時(shí)我們就可以假設(shè)出相應(yīng)的隨機(jī)變量，進(jìn)而把求積分的問題轉(zhuǎn)化成為求隨機(jī)變量的特征數(shù)的問題，然后我們就可以利用特征函數(shù)求出隨機(jī)變量的相應(yīng)的特征數(shù)。定理1.1.2隨機(jī)變量相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)證明充分性中僅僅是上式中的特殊情況，充分性得證。必要性先固定，記則由定理1.1.1知易見，為代數(shù)，故.因而在固定，記同樣地有且為代數(shù)，故，必要性得證。綜上，隨機(jī)變量相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)1.2離散型隨機(jī)變量獨(dú)立性的判定受偶然因素影響，隨機(jī)變量在不同的條件下可能取各種隨機(jī)變量不同的值，即其具有不確定性、隨機(jī)性，但這些取值在某個(gè)范圍的概率是確定的。隨機(jī)變量既可以是離散型的，也可以是連續(xù)型的。同時(shí)在研究隨機(jī)變量的獨(dú)立性時(shí)，我們也可分為離散型隨機(jī)變量獨(dú)立性和連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立性兩種分別進(jìn)行研究，首先我們對離散型隨機(jī)變量進(jìn)行探討研究，當(dāng)然在此之前我們要知道什么樣的隨機(jī)變量才是離散型隨機(jī)變量。定義1.2.1設(shè)為概率空間上的隨機(jī)變量，如果存在數(shù)列和滿足使得則稱隨機(jī)變量（及概率分布）為離散型的。1.2.1離散型隨機(jī)變量判別法一定理1.2.1設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列為的邊際分布列為的邊際分布列為則和相互獨(dú)立的充要條件是:對所有的取值有證明充分性如果則對任意的，因?yàn)槭请x散型隨機(jī)變量，所以

即和是相互獨(dú)立的，充分性得證.必要性如果和相互獨(dú)立，不妨設(shè)于是對任意，有即當(dāng)時(shí)，有即亦即當(dāng)時(shí)，有

由得如此下去，可得一般地有同樣，如果取，可得出最后可得即有充分性得證。綜上所述，定理得證.由定理1.2.1可以判定，對于二維離散型隨機(jī)變量，等式成立與等式成立是等價(jià)的.因此可以直接用來判定二維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性。定理1.2.1是對二維離散型隨機(jī)變量取有限個(gè)點(diǎn)時(shí)對獨(dú)立性的判定.從定理1.2.1的證明我們可以看出，如果取無限多個(gè)點(diǎn)，結(jié)論也是成立的.因此定理1.2.1可推廣為:定理1.2.2設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列為和的邊際分布列分別為則和相互獨(dú)立的充要條件為對所有的取值有1.2.2離散型隨機(jī)變量判別法二設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率分布列可以用下表所示表SEQ表格\*ARABIC2····························································且稱矩陣為的聯(lián)合概率分布矩陣，其行向量記作記的聯(lián)合分布列.引理設(shè)為非零向量，并且和線性相關(guān)，則可以由線性表示出.證明因?yàn)楹褪蔷€性相關(guān)的，所以存在不全為零的兩個(gè)數(shù)和，使得又因?yàn)槭欠橇阆蛄?，如果，則，故，所以即可由線性表示.定理1.2.3如果，則與相互獨(dú)立的充要條件是聯(lián)合概率矩陣的任意兩個(gè)行向量(或列向量)線性相關(guān).證明充分性如果中任意的兩個(gè)行向量線性相關(guān)，由可知中至少有一個(gè)元素不為零，即至少有一個(gè)非零行向量，假設(shè)是非零向量，由引理可知都可以由線性表示出，則且這里且又由于的邊緣分布分別為:

因此

即相互獨(dú)立。必要性若相互獨(dú)立，由，則中的任意兩個(gè)行向量可寫為

顯然與線性相關(guān).推論1如果，那么與相互獨(dú)立的充要條件為矩陣A的任意兩行(或兩列)對應(yīng)元素成比例.推論2如果，那么與不相互獨(dú)立的充要條件為存在矩陣A的任意兩個(gè)列向量(或行向量)線性無關(guān).推論3如果，那么與不相互獨(dú)立的充要條件為存在矩陣A的任意兩列(或兩行)對應(yīng)元素不成比例.推論4如果，那么與相互獨(dú)立的充要條件是矩陣A的秩為1.推論5如果，那么與不相互獨(dú)立的充要條件是矩陣A的秩大于1.推論6如果中有某個(gè)，但元素所在的行和列的所有元素不全為零，則與不相互獨(dú)立.

1.3連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立性的判定在上節(jié)中我們系統(tǒng)研究了離散型隨機(jī)變量獨(dú)立性的判定問題，本章節(jié)我們研究另一種隨機(jī)變量——連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立性的判定問題。同樣首先我們需要知道什么樣的隨機(jī)變量是連續(xù)型的。連續(xù)型定義：設(shè)為概率空間上的隨機(jī)變量，如果存在函數(shù)，滿足使得的分布函數(shù)可表示為的形式，稱（及其概率分布）是連續(xù)型的，為的密度函數(shù)。1.3.1連續(xù)型隨機(jī)變量判別法一定理1.3.1設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，如果其聯(lián)合密度函數(shù)和邊際密度函數(shù)都是除面積為零的區(qū)域外的連續(xù)函數(shù)，則和相互獨(dú)立的充要條件是:除面積為零的區(qū)域外，恒有證明充分性設(shè)，則對任意的實(shí)數(shù)，有

所以，和相互獨(dú)立.必要性假設(shè)和相互獨(dú)立，有

因?yàn)樯鲜綄θ我獾亩汲闪ⅲ谑怯芯C上所述，定理得證.1.3.2連續(xù)型隨機(jī)變量判別法二定理1.3.2設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合密度函數(shù)為，則隨機(jī)變量和相互獨(dú)立的充要條件為:（1）存在連續(xù)函數(shù)使；（2）為分別和無關(guān)的常數(shù).證明充分性首先分別求的邊際密度函數(shù)，

由于為分別和無關(guān)的常數(shù)，所以上式積分中的結(jié)果與是分別和無關(guān)的常數(shù)，分別記為進(jìn)一步由聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)有

即由定理1.3.1得相互獨(dú)立，充分性得證.必要性若相互獨(dú)立，由定理1.3.1得，必有取則有，于是條件（1）成立.用反證法證明條件（2），如果中至少有一個(gè)是與或有關(guān)的函數(shù)，不妨設(shè)，因?yàn)槭顷P(guān)于的邊際密度函數(shù)，則必有，而是一個(gè)與有關(guān)的不恒等于1的函數(shù)矛盾，因而必有與無關(guān).進(jìn)一步得都與無關(guān)，因此必要性得證.

2邊緣分布與聯(lián)合分布關(guān)系探討2.1二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù) ，性質(zhì):，單調(diào)不減，右連續(xù)，，，，；X的邊緣分布函數(shù)：；Y的邊緣分布函數(shù)：.注意其分量或的分布，同時(shí)也要注意由于交互作用所產(chǎn)生的概率效果。如果令，，則=，（交運(yùn)算）二維離散型隨機(jī)變量的概率分布，用二維聯(lián)合分布律討論。滿足：a)非負(fù)性≥0，；b)規(guī)范性=1。二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布用聯(lián)合概率密度（簡稱密度函數(shù)）討論，對于n維隨機(jī)變量而言，固然可以對它的每一個(gè)分量分別研究，但我們可以將它看成一個(gè)向量，則不僅能研究各個(gè)分量的性質(zhì)，而且更重要的是要考慮它們之間的聯(lián)系。滿足：a)非負(fù)性：≥0，；b)規(guī)范性：，。分布函數(shù)為：=，（所有隨機(jī)變量都可用）分布函數(shù)的性質(zhì)。二維隨機(jī)變量（X，Y）作為一個(gè)整體具有聯(lián)合分布函數(shù)F（x，y）。而X和Y都是隨機(jī)變量，各自也有它們的分布函數(shù)，把X和Y的分布函數(shù)分別記為FX(x)和FY(y)，并分別稱為隨機(jī)變量（X，Y）關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)。由分布函數(shù)的定義可得到聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)的關(guān)系。即同理可得2.2二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布律：，，一般用矩形表格列出；邊緣分布律：， ，.若二維離散型隨機(jī)變量所有可能的取值為則稱為二維離散型隨機(jī)變量的概率分布(分布律)，或的聯(lián)合概率分布(分布律).與一維情形類似，有時(shí)也將聯(lián)合概率分布用表格形式來表示，并稱為聯(lián)合概率分布表:2.離散型隨機(jī)變量的邊緣分布的分布律的分布律為：的分布律為：2.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量若，稱為的聯(lián)合密度函數(shù)；的性質(zhì):(1)；(2)；(3)若連續(xù)，則；(4)；邊緣密度:；；二維均勻分布：，為的面積；二維正態(tài)分布：其邊緣分布分別為一維正態(tài)分布，.2.4隨機(jī)變量的獨(dú)立性若，稱與相互獨(dú)立；離散型：，；連續(xù)型：，.若把二維隨機(jī)變量(X，Y)看成平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，則分布函數(shù)F(X，Y)在(x，y)處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)(X，Y)落入以(x，y)為定點(diǎn)且位于該點(diǎn)左下方的無窮矩形區(qū)域內(nèi)的概率。而隨機(jī)點(diǎn)(X，Y)落在矩形區(qū)域。定義：設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為和分別是關(guān)于和的邊緣分布的概率密度。若，我們把稱為在的條件下，的條件分布函數(shù)，記為。若，我們把稱為在的條件下，的條件分布函數(shù)，記為。2.5條件分布離散型：在條件下X的條件分布為，.0（2）=1（具體積分上下限要看具體題目）2、（1）X邊緣密度函數(shù)=（2）Y邊緣密度函數(shù)=3、連續(xù)型隨機(jī)變量(X，Y)的分布函數(shù)和密度函數(shù)的關(guān)系：=是對二維函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的符號。具體方法是對函數(shù)F(x，y)將x看作變量，y看作常數(shù)求一次導(dǎo)數(shù)，再對求出的結(jié)果將y看作變量，x看作常數(shù)求一次導(dǎo)數(shù)。如對F(x，y)=，求：將x看作變量，y看作常數(shù)求一次導(dǎo)數(shù)：（=，再對求出的結(jié)果將y看作變量，x看作常數(shù)求一次導(dǎo)數(shù)（=所以=二維隨機(jī)變量X，Y獨(dú)立性（即變量之間互不影響）1、X，Y互相獨(dú)立F()=2、X，Y互相獨(dú)立=3、X，Y互相獨(dú)立對一切i，j2.6二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布主要研究的分布：連續(xù)型，卷積公式：或；若相互獨(dú)立，則或；它可以根據(jù)參數(shù)空間與狀態(tài)空間的離散與連續(xù)類型，分為四種類型：離散參數(shù)集、離散狀態(tài)集的馬爾科夫過程；離散參數(shù)集、連續(xù)