統(tǒng)計(jì)學(xué)：Logistic回歸分析

Logistic回歸模型要求：1.掌握Logistic回歸模型主要指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)意義2.理解偏相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義3.理解Logistic回歸模型建模的SAS程序和SPSS操作過(guò)程第一節(jié)Logistic回歸模型的基本概念

在醫(yī)學(xué)研究中經(jīng)常遇到應(yīng)變量為互斥的二項(xiàng)分類資料，如：治愈與未愈、生存與死亡、發(fā)病與未發(fā)病等。同時(shí)有許多自變量（外部環(huán)境或條件）可能對(duì)結(jié)果（應(yīng)變量）產(chǎn)生影響。在醫(yī)學(xué)中（尤其在流行病學(xué)方面）解決這一問(wèn)題是不能使用線性回歸分析方法。這是因?yàn)椋孩倬€性回歸中要求分析的應(yīng)變量指標(biāo)的取值是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，而對(duì)于觀察結(jié)果為分類資料，尤其是只有兩個(gè)對(duì)立結(jié)果的分布通常是二項(xiàng)分布；②如果勉強(qiáng)使用線性回歸的方法進(jìn)行分析，即以此結(jié)果為應(yīng)變量Y，其它的觀察結(jié)果為自變量X，那么回歸方程沒(méi)有多大實(shí)際意義。二項(xiàng)分布與Logistic回歸

對(duì)于二項(xiàng)分布來(lái)講，很明顯這時(shí)結(jié)果變量的取值0或1應(yīng)該是這個(gè)觀察發(fā)生的可能與否，即它表示在一定條件下觀察事件發(fā)生的可能性，是一個(gè)概率性的結(jié)果，所以相應(yīng)的概率值范圍應(yīng)限制在0～1之間。從上世紀(jì)70年代開(kāi)始，Logistic回歸逐漸發(fā)展起來(lái)，從理論和方法上較好地解決了這一問(wèn)題，尤其在病因?qū)W研究方面有其獨(dú)到見(jiàn)解。Logistic回歸模型的分類按反應(yīng)變量的類型分：1.兩分類的Logistic回歸模型2.多分類有序反應(yīng)變量的Logistic回歸模型3.多分類無(wú)序反應(yīng)變量的Logistic回歸模型式按設(shè)計(jì)類型分：1.非條件Logistic回歸模型，研究對(duì)象未經(jīng)過(guò)配對(duì)的成組資料2.條件Logistic回歸模型，研究對(duì)象為1︰1或1︰m配對(duì)資料一、Logistic回歸分析的實(shí)例例19-1

在搶救急性心肌梗死（AMI）患者能否成功的危險(xiǎn)因素調(diào)查中，某醫(yī)院收集了5年中該院所有的AMI患者的搶救病史共200例。在搶救前：X1=1表示已發(fā)生休克，X1=0表示未發(fā)生休克；X2=1表示發(fā)生心衰，X2=0表示未發(fā)生心衰；X3=1表示12小時(shí)內(nèi)將患者送往醫(yī)院，X3=0表示12小時(shí)內(nèi)未將患者送往醫(yī)院；詳細(xì)資料如下：y=0表示搶救成功y=1表示未搶救成功X1X2X3nX1X2X3n00035000400134001100101701040111901115100171006101610191106110611161116二、資料一般形式和模型結(jié)構(gòu)1.資料形式例號(hào)分析變量觀察結(jié)果yX1X2…Xk陽(yáng)性1陰性01…………02…………03…………1……………0n…………12.模型結(jié)構(gòu)

研究中設(shè)效應(yīng)指標(biāo)y=1為發(fā)生，y=0為不發(fā)生（對(duì)某一疾病而言，相當(dāng)于發(fā)病與不發(fā)?。F(xiàn)觀察k個(gè)指標(biāo)（這些指標(biāo)一般稱為危險(xiǎn)因素），記為X=（X1，X2，…Xk）,當(dāng)效應(yīng)值y=1時(shí)和y=0的概率（模型）分別為：（P+Q=1）模型參數(shù)解釋在n例觀察對(duì)象中，第i名觀察對(duì)象在Xi1，Xi2，…Xip作用下，應(yīng)變量yi=0的可能性Qi為:應(yīng)變量yi=1的可能性Pi為:第二節(jié)Logistic回歸模型的參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)一、參數(shù)意義（釋義同于病例-對(duì)照設(shè)計(jì)研究）二、參數(shù)估計(jì)

由于Logistic回歸是一種概率模型，通常采用最大似然估計(jì)法（maximumlikelihoodestimate）求解模型中的參數(shù)βj的估計(jì)值bj(j=0,1,2,….k)。方法是：***例19-1的Logistic回歸SAS程序***DATAa;INPUTyx1x2x3

freq@@;CARDS;000035100040001341001100010171010400111910111501001711006010161101901106111060111611116;PROClogisticdescending;FREQcount;MODELy=x1x2x3;RUN;例19-1資料的參數(shù)估計(jì)變量名參數(shù)估計(jì)βk

標(biāo)準(zhǔn)誤SE（βk

）Waldχ2

值P標(biāo)準(zhǔn)化參數(shù)估計(jì)值β'kOR常數(shù)項(xiàng)-2.08580.351335.2640.0001X11.10980.348510.14190.00140.28373.034X20.70280.32924.55860.03280.18992.019X30.97510.34408.03620.00460.26912.651

由于各變量指標(biāo)單位不同，不能用βj的大小比較各xi的作用大小，而須用標(biāo)準(zhǔn)化偏回歸系數(shù)β’j

來(lái)比較。結(jié)果解釋3個(gè)βi的估計(jì)值都是正數(shù)，表明這三個(gè)因素都是危險(xiǎn)因素且都有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。從優(yōu)勢(shì)比OR上可以看出，在因素x2和x3固定不變時(shí)，因素x1每增加一個(gè)等級(jí)所引起的優(yōu)勢(shì)比為增加前的3.034倍；在因素X1和X3固定不變時(shí)，因素x2每增加一個(gè)等級(jí)所引起的優(yōu)勢(shì)比為增加前的2.019倍。在因素x1和x2固定不變時(shí)，因素x3每增加一個(gè)等級(jí)所引起的優(yōu)勢(shì)比為增加前的2.651倍。同時(shí)在考察因素相對(duì)貢獻(xiàn)大小時(shí)，從標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)看，β'1>β'

3>β'2，故x1的相對(duì)貢獻(xiàn)比x2和x3大。個(gè)例預(yù)測(cè)

設(shè)某AMI患者在癥狀5小時(shí)內(nèi)送到醫(yī)院（x3=0），未發(fā)生休克（x1=0），已有心衰（x2=1），求搶救成功的概率。三、回歸模型的假設(shè)和回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)1.回歸模型的假設(shè)檢驗(yàn)H0：β=0（模型中不含變量）H1：β≠0（模型中含變量）統(tǒng)計(jì)量：G=－

2lnL－

(－2lnL')~χ2(k)

在例19-1中的SAS結(jié)果中：ModelFitStatisticsCriterionInterceptOnlyInterceptandCovariatesPr>ChiSqAIC246.346230.616SC249.644243.809

-2LogL244.346222.616 <0.0001G=－

2lnL－

(－

2lnL')=244.346－222.616=21.73,k=3,P=0.00007拒絕H0說(shuō)明模型變量有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。2.回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)（Wald法）H0：βj=0;H1：βj≠0

在例19-1中的SAS結(jié)果中：變量名參數(shù)估計(jì)βk

標(biāo)準(zhǔn)誤SE（βk

）Waldχ2

值P常數(shù)項(xiàng)-2.08580.351335.2640.0001X11.10980.348510.14190.0014X20.70280.32924.55860.0328X30.97510.34408.03620.00463.優(yōu)勢(shì)比OR和β的區(qū)間估計(jì)

在例19-1中的SAS結(jié)果中：變量名參數(shù)估計(jì)βk

標(biāo)準(zhǔn)誤SE（βk

）ORkOR的95%CIβ的95%CIX11.10980.34853.0341.5326.0060.4271.793X20.70280.32922.0191.0593.8500.0571.348X30.97510.34402.6511.3515.2030.3041.649例19-2

研究食管癌與飲酒的關(guān)系，年齡可能是混雜因素。將飲酒按年齡分解成4個(gè)四格表，用Logistic回歸校正混雜因素。B年齡組合計(jì)25~4445~5455~6465+病例對(duì)照病例對(duì)照病例對(duì)照病例對(duì)照病例對(duì)照飲酒53525294227241896109不飲酒5270211383413944119104666Logistic回歸模型變量名參數(shù)估計(jì)βk

標(biāo)準(zhǔn)誤SE（βk

）Waldχ2

值POR常數(shù)項(xiàng)-3.8320.334131.6770.0001A11.9720.37128.3300.00017.184A22.4870.35848.2970.000112.027A32.7410.36357.0930.000115.051B1.6800.18978.7980.00015.367表中顯示，各年齡組的OR=7.184、12.027、15.051，是不同年齡組（水平）與25~44歲組的優(yōu)勢(shì)比。有序變量的Logistic回歸模型變量名參數(shù)估計(jì)βk

標(biāo)準(zhǔn)誤SE（βk

）Waldχ2

值POR常數(shù)項(xiàng)-3.7920.277185.7820.0001A0.7290.08672.0780.00012.073B1.7750.18889.5070.00015.899第三節(jié)條件Logistic回歸模型

條件Logistic回歸（conditionallogisticregression）是針對(duì)匹配資料分析的一種方法。在匹配設(shè)計(jì)的病例—對(duì)研究照中，為了控制一些重要的混雜因素，常把病例和對(duì)照按照年齡、性別等條件進(jìn)行匹配，形成多個(gè)匹配組。從原理上講各匹配組的病例數(shù)和對(duì)照組人數(shù)是任意的，最常見(jiàn)的是每組中一個(gè)病例和若干個(gè)對(duì)照，即1︰M配對(duì)研究。每一匹配組內(nèi)的病例與對(duì)照是可比的，組間病例與對(duì)照組無(wú)可比性。因此需要按組內(nèi)對(duì)象的暴露狀況和發(fā)病情況建立Logistic回歸模型。設(shè)有n個(gè)匹配組，每一組的第一個(gè)觀察對(duì)象為病例，另有M個(gè)觀察對(duì)象為對(duì)照，用Xitj表示第i組第t個(gè)觀察對(duì)象的第j個(gè)危險(xiǎn)因素的觀察值，資料形式為：（見(jiàn)表）1︰M條件Logstic回歸數(shù)據(jù)的格式匹配組號(hào)組內(nèi)編號(hào)應(yīng)變量危險(xiǎn)因素ityX1X2…Xk101X101X102…X10k10X111X112…X11k20X121X122…X12k…………………M0X1M1X1M2…X1Mk01X201X202…X20k210X211X212…X21k20X221X222…X22k………………M0X2M1X2M2…X2Mk…………………一個(gè)自變量的1︰1配對(duì)條件概率設(shè)：只有一個(gè)自變量X，假定個(gè)體得病的概率與exp(β0+βX)成正比，A為病例，B為對(duì)照；Y=1表示得病，Y=0表示未得病。一對(duì)病例和對(duì)照中只有1人得病的條件下恰好是A得病的概率為：k個(gè)自變量的1︰1配對(duì)條件概率設(shè)：假定有k個(gè)自變量X1，X2，…,Xk。一對(duì)病例和對(duì)照中只有1人得病的條件下恰好是A得病的概率為：1︰1配對(duì)Logstic回歸模型例19-3

某市調(diào)查食管癌發(fā)病率與咸魚(yú)攝入的關(guān)系，設(shè)計(jì)時(shí)采用1︰1配對(duì)病例對(duì)照形式，按每一個(gè)病例的性別、年齡和居住地選取一個(gè)健康對(duì)照。調(diào)查的咸魚(yú)攝入量分三個(gè)水平：1表示“<1次/月”，2表示“>1次/月”,3表示“>1次/周”。共調(diào)查200對(duì)例病例與對(duì)照，資料如下：病例暴露水平對(duì)照暴露水平合計(jì)（對(duì)）12311258313622171293264535合計(jì)172199200***例19-3的條件Logistic回歸SAS程序及結(jié)果***1.編寫(xiě)程序見(jiàn)程序2.SAS結(jié)果變量名參數(shù)估計(jì)bk

標(biāo)準(zhǔn)誤Waldχ2

值ORX1.0580.23819.7432.881x10.9460.3935.8112.576x22.2010.54616.2499.033用x表示咸魚(yú)攝入頻率，用兩個(gè)0-1假變量x1,x2表示咸魚(yú)攝入頻率的三個(gè)等級(jí)：（x1,x2）=(0,0)表示每月攝入少于1次；(1,0)表示每月1次以上；(0,1)表示每周1次以上。例19-3的SAS程序DATAmatch;INPUTnoidx@@;x1=0;x2=0;IFx=2

THENx1=1;IFx=3

THENx2=1;CARDS;1 1 1 1 0 12 1 1 2 0 13 1 1 3 0 14 1 1 4 0 1…. … … … …92 1 1 92 0 193 1 1 93 0 1199 1 3