江蘇省蘇州市昆山市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE20-江蘇省蘇州市昆山市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）留意事項(xiàng)：考生在答題前請細(xì)致閱讀本留意事項(xiàng)及各題答題要求1.本試卷共4頁，包括填空題（第1題~第14題）、解答題（第15題~第20題）兩部分.本試卷滿分160分，考試時(shí)問120分鐘.2.答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、考試號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的指定位置.3.答題時(shí)，必需用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的指定位置，在其它位置作答一律無效.4.如有作圖須要，可用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清晰.5.請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損.一律不準(zhǔn)運(yùn)用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆.一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.不須要寫出解答過程，請把答案干脆填在答題卡相應(yīng)位置上.1.已知復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的實(shí)部等于__________.【答案】3【解析】【分析】本題首先可以依據(jù)題意以及復(fù)數(shù)的乘法法則計(jì)算出，然后依據(jù)實(shí)部的定義即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，?shí)部為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，若復(fù)數(shù)，則是實(shí)部，是虛部，考查計(jì)算實(shí)力，是簡潔題.2.拋物線準(zhǔn)線方程為_____．【答案】【解析】【分析】本題利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得出拋物線的準(zhǔn)線方程．【詳解】由拋物線方程可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為：．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查拋物線的簡潔性質(zhì)的應(yīng)用，考查拋物線的準(zhǔn)線的確定，是基礎(chǔ)題．3.過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為__________.【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合直線垂直的性質(zhì)可得所求直線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程即可得解.【詳解】由題意直線斜率為，故所求直線的斜率，所以所求直線方程為即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了直線位置關(guān)系的應(yīng)用及直線方程的求解，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)復(fù)數(shù)z滿意（i是虛數(shù)單位），則z的模為_______.【答案】【解析】考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模5.用半徑為的半圓形紙片卷成一個(gè)圓錐筒，則這個(gè)圓錐筒的體積為__________．【答案】【解析】【分析】由題意知圓錐筒的母線長為2，設(shè)圓錐筒的底面半徑等于，則可計(jì)算圓錐筒的高，代入體積公式計(jì)算即可.【詳解】由題意知圓錐筒的母線長為2，設(shè)圓錐筒的底面半徑等于,則，，圓錐筒的高為：，這個(gè)圓錐筒的體積為;.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐的體積公式，半圓的弧長與圓錐的底面周長之間的關(guān)系，屬于簡潔題.6.已知雙曲線的漸近線方程為，且雙曲線過點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合雙曲線的性質(zhì)可得、，解方程即可得解.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，又雙曲線過點(diǎn)，所以，所以，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線漸近線的應(yīng)用及標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.7.函數(shù)在的最大值等于__________.【答案】【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，比較極大值及端點(diǎn)值即可得解.【詳解】由題意，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為.又，.所以函數(shù)在的最大值等于.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.8.從中，可猜想第個(gè)等式為__________.【答案】【解析】1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7+=52，視察可知，等式左邊第n行有n個(gè)數(shù)，且第n行的第一個(gè)數(shù)為n，每行最終一個(gè)數(shù)是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，等式右邊為(2n-1)2，所以猜想第n個(gè)等式為：．點(diǎn)睛：解決歸納推理問題的關(guān)鍵是細(xì)致探討給出的部分對象，通過視察出的規(guī)律，把問題轉(zhuǎn)化為其他數(shù)學(xué)學(xué)問的問題進(jìn)行解決．如解決含遞推公式的歸納推理問題，一般是先解決題中的遞推關(guān)系式求出一些特別的對象，然后再依據(jù)這些特別對象與序號(hào)之間的一一對應(yīng)關(guān)系，視察出規(guī)律，最終依據(jù)規(guī)律即可得出一般性結(jié)論．9.經(jīng)過二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)的圓的方程為__________.【答案】【解析】【分析】求出二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)圓的方程為，由三個(gè)交點(diǎn)在圓上列出方程組求解a、b、r，即可寫出圓的方程.【詳解】令，則；令，則或，所以二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為、、，設(shè)圓的方程為，則，①減②得④，②減③得，代入④得，代入①可得，所以，則圓的方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程，依據(jù)圓過的點(diǎn)求解圓的方程，屬于基礎(chǔ)題.10.如圖，在棱長為的正方體中，下列結(jié)論正確的是__________.①；②平面；③平面平面；④點(diǎn)到平面的距離等于.【答案】②③【解析】【分析】由題意結(jié)合異面直線夾角的求解可推斷①，由線面垂直的性質(zhì)與判定可推斷②，由面面平行的判定可推斷③，利用等體積法可推斷④，即可得解.【詳解】對于①，由可得或其補(bǔ)角即為異面直線，所成的角，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，所以不成立，故①錯(cuò)誤；對于②，連接，如圖：則，由平面可得，所以平面，所以，同理可得，由可得平面，故②正確；對于③，在正方體中，，，所以平面，平面，又因?yàn)?，所以平面平面，故③正確；對于④，三棱錐的體積，是邊長為的等邊三角形，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以，所以，故④錯(cuò)誤.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】本題考查了線面、面面位置關(guān)系的推斷及異面直線夾角、點(diǎn)到平面距離的求解，考查了空間思維實(shí)力與運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題.11.已知，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】首先依據(jù)題意得到為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間，再依據(jù)單調(diào)區(qū)間解不等式即可.【詳解】又因?yàn)?，，所以為偶函?shù).當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，，所以，故在為增函?shù).又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在為減函數(shù).因?yàn)?，所以，解得?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了函數(shù)的奇偶，屬于中檔題.12.宋元時(shí)期聞名數(shù)學(xué)家朱世杰其巨著《四元玉鑒》中利用“招差術(shù)”得到以下公式：，詳細(xì)原理如下：∵∴類比上述方法，__________．【答案】【解析】【分析】由類比把通項(xiàng)裂項(xiàng)為，再累加可得求和．【詳解】由類比可知所以可得：=,所以填．【點(diǎn)睛】本題通過類比找到裂項(xiàng)求和的方法，既是考查學(xué)生的類比思想的應(yīng)用，也是考查裂項(xiàng)求和的方法，對學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)力要求較高．13.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)覺，隨意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，這條直線稱為“歐拉線”.已知的頂點(diǎn)，其“歐拉線”的直線方程為，則的頂點(diǎn)的坐標(biāo)__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，由題意結(jié)合重心的性質(zhì)可得，求得AB的中垂線方程，與歐拉線方程聯(lián)立可得外心，由外心的性質(zhì)可得，解方程即可得解.【詳解】設(shè)，由重心坐標(biāo)公式得的重心為，代入歐拉線方程得整理得①，因?yàn)锳B中點(diǎn)為，，所以AB的中垂線的斜率為，所以AB的中垂線方程為即，聯(lián)立，解得，∴的外心為，則②，聯(lián)立①②得或，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B、C兩點(diǎn)重合，舍去；∴即的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了直線方程的求解與應(yīng)用，考查了兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是對題意的正確轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.14.若關(guān)于的方程有且只有三個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由參變量分別法得出，令（且），，作出函數(shù)的圖象，由題意可知，關(guān)于的方程的兩根、滿意，，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】明顯不滿意方程；當(dāng)且時(shí)，由得，令，，對函數(shù)求導(dǎo)得，令得，列表如下：單調(diào)遞增單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以，函數(shù)在處取得極大值，即，如下圖所示：由于關(guān)于的方程有且只有三個(gè)不相等的實(shí)根，則關(guān)于的方程要有兩個(gè)根、，且，，如下圖所示：所以，.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.二、解答題：本大題共6小題，并計(jì)90分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線．（1）若，求實(shí)數(shù)a的值；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與之間的距離．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由垂直可得兩直線系數(shù)關(guān)系，即可得關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程.（2）由平行可得兩直線系數(shù)關(guān)系，即可得關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，進(jìn)而可求出兩直線的方程，結(jié)合直線的距離公式即可求出直線與之間的距離.【詳解】（1）由知，解得．（2）當(dāng)時(shí)，有，解得．此時(shí)，即，則直線與之間的距離．【點(diǎn)睛】本題考查了由兩直線平行求參數(shù)，考查了由兩直線垂直求參數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.16.如圖，多面體中，四邊形是矩形，面，交于點(diǎn).（1）證明：面；（2）證明：面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】分析】（1）取中點(diǎn)，連接，證明四邊形為平行四邊形，可得，即可證明；（2）利用勾股定理可證，由面可得，即可得面.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接.∵四邊形是矩形，則為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，則且.又，則.又，則∴四邊形為平行四邊形.則.又面面，面.（2）面面，則.則在直角梯形中，.，則①又面面，則.∵四邊形是矩形，，又.面，又面，②由①②及可知：面.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要細(xì)致審題，留意空間思維實(shí)力的培育.17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線.設(shè)圓的半徑為1，圓心在直線上.（1）若圓心也在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；（2）若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）聯(lián)立方程組求得點(diǎn)，由直線與圓相切的性質(zhì)即可求得切線方程；（2）由題意結(jié)合圓的性質(zhì)可得點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓（不含），進(jìn)而可轉(zhuǎn)化條件為圓與該圓有公共點(diǎn)，由圓與圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】（1）∵圓心同在直線和直線上.由，解得，，①若過點(diǎn)的直線斜率不存在，此時(shí)恰為圓的切線；②若過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè)直線方程為，即.直線與圓相切，，解得，∴切線方程為，即；綜上可知，過點(diǎn)作圓的切線，切線方程為或；（2），∴點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓（不含），則這個(gè)圓的圓心為，半徑為1，要使得圓上存在符合條件的點(diǎn)，則圓與圓必有公共點(diǎn)，又圓的圓心，半徑為1，，即，解得，∴圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了與圓有關(guān)的軌跡的求解及運(yùn)算求解實(shí)力、轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.18.某企業(yè)準(zhǔn)備在如圖所示的“葫蘆”形花壇中修建一噴泉，該“葫蘆”形花壇的邊界是由兩個(gè)半徑為6米的圓弧構(gòu)成，兩圓圓心之間的距離也為6米.在花壇中修建矩形噴泉水池，四個(gè)頂點(diǎn)均在圓弧上，于，設(shè).（1）當(dāng)時(shí)，求噴泉水池的面積的值；（2）當(dāng)為何值時(shí)，可使得噴泉水池的面積最大？【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先依據(jù)題意得到，，再計(jì)算即可.（2）首先依據(jù)題意得到，，從而得到，再利用導(dǎo)數(shù)求最大值即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，（2）在直角三角形中，，，，，..·令，，，令，解得：.令，，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；故當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.即時(shí)，可使得噴泉水池的面積最大.【點(diǎn)睛】本題第一問考查函數(shù)模型，其次問考查利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題，屬于中檔題.19.如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為，是邊長為2的等邊三角形.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)分別為橢圓上第一、二、四象限內(nèi)的點(diǎn)，且軸.①若的重心坐標(biāo)為，求直線的斜率；②若直線過點(diǎn)，且，求直線的斜率.【答案】（1）；（2）①；②1.【解析】【分析】（1）設(shè)橢圓方程為，由平面幾何的學(xué)問、橢圓的性質(zhì)即可得解；（2）①設(shè)，，，由重心的坐標(biāo)結(jié)合點(diǎn)在橢圓上即可得點(diǎn)、，利用斜率公式即可得解；②由題意結(jié)合平面對量的數(shù)量積可得，由點(diǎn)在橢圓上可得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組由韋達(dá)定理可得，求得t后即可得解.【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為：，是邊長為2的等邊三角形，，，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，，軸，，①的重心坐標(biāo)為，由題意可知，解得，，∵點(diǎn)為橢圓上第四象限內(nèi)的點(diǎn)，且，將代入可解得，，又，，∵點(diǎn)為橢圓上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且，將代入可解得，，∴直線斜率；②，即.又點(diǎn)都在橢圓上，則，，∴兩式相減可得.，，，∵直線過點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，，整理可得，，∴，，，消去可得，解得，又，，，∴直線的斜率為.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求解及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，細(xì)心計(jì)算、合理轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.20.已知.（1）若函數(shù)在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若，存在正實(shí)數(shù)，使得成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）.【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合極值的概念可得，解得后，驗(yàn)證即可得解；（2）求導(dǎo)得，依據(jù)、、、分類探討，求得的解集即可得解；（3）轉(zhuǎn)化條件得，令，，求導(dǎo)確定的單調(diào)性