重慶市第一中學2024-2025學年高二數(shù)學下學期期中試題含解析

PAGE20-重慶市第一中學2024-2025學年高二數(shù)學下學期期中試題（含解析）一、選擇題（每小題5分，共60分）1.復數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將的分母實數(shù)化，化為的形式，即為所求．【詳解】復數(shù)的虛部是1故選：B【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算以及概念，關鍵是將其分母實數(shù)化，化為的形式，進行推斷，屬于基礎題．2.已知隨機變量ξ的分布列為，則實數(shù)m＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由隨機變量ξ的分布列的性質(zhì)得：，由此能求出實數(shù)m．【詳解】∵隨機變量ξ的分布列為解得實數(shù)故選：C【點睛】本題考查了離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)等基礎學問，考查運算求解實力，是基礎題．3.已知隨機變量X～N（2，σ2），P（X≥0）＝0.84，則P（X＞4）＝（）A.0.16 B.0.32 C.0.66 D.0.68【答案】A【解析】【分析】依據(jù)正態(tài)分布密度曲線的特點，結(jié)合μ＝2，可知P（X≥0）＝0.84＝P（X≤4），則P（X＞4）即可求出．【詳解】由已知得μ＝2，故P（X≥0）＝P（X≤4）＝0.84，所以P（X＞4）＝1﹣P（X≤4）＝1﹣0.84＝0.16．故選：A．【點睛】本題考查正態(tài)分布密度曲線的對稱性性質(zhì)及其應用，以及相關概率問題的計算，屬于基礎題．4.若，則n的值為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】利用排列數(shù)和組合數(shù)公式求解即可.【詳解】因，所以，即故選：C【點睛】本題主要考查了排列數(shù)和組合數(shù)公式的計算，屬于基礎題.5.拋擲一個質(zhì)地勻稱的骰子的試驗，事務A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事務B表示“不小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗中，事務A或事務B至少有一個發(fā)生的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由古典概型概率公式分別計算出事務A和事務B發(fā)生的概率，又通過列舉可得事務A和事務B為互斥事務，進而得出事務A或事務B至少有一個發(fā)生的概率即為事務A和事務B的概率之和．【詳解】事務A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事務B表示“不小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，∴P(A)，P(B)，又小于5的偶數(shù)點有2和4，不小于5的點數(shù)有5和6，所以事務A和事務B為互斥事務，則一次試驗中，事務A或事務B至少有一個發(fā)生的概率為P（A∪B）＝P(A)+P(B)，故選：A．【點睛】本題主要考查古典概型計算公式，以及互斥事務概率加法公式的應用，屬于中檔題．6.為了調(diào)查某校高二學生的身高是否與性別有關，隨機調(diào)查該校64名高二學生，得到2×2列聯(lián)表如表：男生女生總計身凹凸于170cm82432身高不低于170cm26632總計343064附：K2P（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828由此得出的正確結(jié)論是（）A.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為“身高與性別無關”B.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為“身高與性別有關”C.有99.9%的把握認為“身高與性別無關”D.有99.9%的把握認為“身高與性別有關”【答案】D【解析】【分析】依據(jù)列聯(lián)表，計算，與臨界值表比較即可得出結(jié)論.【詳解】K的觀測值：K220.330；由于20.330＞10.828，∴有99.9%的把握認為“身高與性別有關”，即在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為“身高與性別有關”故選：D．【點睛】本題主要考查了獨立性檢驗的應用問題，K2的計算，列聯(lián)表，考查了運算實力，屬于中檔題．7.二項式的綻開式中的常數(shù)項是（）A.﹣2024 B.672 C.﹣144 D.144【答案】B【解析】【分析】在二項綻開式通項公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項．【詳解】二項式的綻開式的通項公式為,令，求得r＝6，故綻開式中的常數(shù)項為T7?23＝672，故選：B．【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項綻開式的通項公式，屬于中檔題．8.已知，則（）A.63 B.64 C.31 D.32【答案】A【解析】【分析】依據(jù)二項式定理綻開式的逆運算即可求得的值,進而由二項式系數(shù)和求得的值.【詳解】依據(jù)二項式定理綻開式的逆運算可知所以所以則故選:A【點睛】本題考查了二項式定理綻開式的逆運用,二項式系數(shù)和的應用,屬于基礎題.9.某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】該幾何體為三棱錐，其直觀圖如圖所示，體積．故選.10.從{1，2，3，…，10}中選取三個不同的數(shù)，使得其中至少有兩個相鄰，則不同的選法種數(shù)是（）A.72 B.70 C.66 D.64【答案】D【解析】【分析】取出的三個數(shù)中至少有兩個相鄰，包括2個數(shù)相鄰或3個數(shù)都相鄰，據(jù)此分2種狀況探討，用列舉法求出每種狀況的選法數(shù)目，由加法原理計算可得答案．【詳解】依據(jù)題意，使得取出的三個數(shù)中至少有兩個相鄰，即有2個數(shù)相鄰或3個數(shù)都相鄰，分2種狀況探討：①，若3個數(shù)都相鄰，有（1、2、3），（2、3、4），（3、4、5），（4、5、6），（5、6、7），（6、7、8），（7、8、9），（8、9、10），共8種狀況，②，若3個數(shù)中有2個相鄰，與另外1個不相鄰，當相鄰的2個數(shù)為1、2時，另外的1個數(shù)可以為：4、5、6、7、8、9、10，有7種狀況，當相鄰的2個數(shù)為2、3時，另外的1個數(shù)可以為：5、6、7、8、9、10，有6種狀況，當相鄰的2個數(shù)為3、4時，另外的1個數(shù)可以為：1、6、7、8、9、10，有6種狀況，當相鄰的2個數(shù)為4、5時，另外的1個數(shù)可以為：1、2、7、8、9、10，有6種狀況，當相鄰的2個數(shù)為5、6時，另外的1個數(shù)可以為：1、2、3、8、9、10，有6種狀況，當相鄰的2個數(shù)為6、7時，另外的1個數(shù)可以為：1、2、3、4、9、10，有6種狀況，當相鄰的2個數(shù)為7、8時，另外的1個數(shù)可以為：1、2、3、4、5、10，有6種狀況，當相鄰的2個數(shù)為8、9時，另外的1個數(shù)可以為：1、2、3、4、5、6，有6種狀況，當相鄰的2個數(shù)為9、10時，另外的1個數(shù)可以為：1、2、3、4、5、6、7，有7種狀況，此時有7×2+6×7＝56種，則其中至少有兩個相鄰的選法有8+56＝64種；故選：D．【點睛】本題考查排列、組合的實際應用，留意分狀況探討，要不重不漏，屬于中檔題.11.已知離散型隨機變量聽從二項分布，且，，則的最小值為（）A. B. C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】依據(jù)二項分布的均值與方差公式,可得的等量關系.利用“1”的代換,結(jié)合基本不等式即可求得的最小值.【詳解】離散型隨機變量聽從二項分布,且,由二項分布的均值與方差公式可得,化簡可得,即由基本不等式化簡可得即的最小值為故選:B【點睛】本題考查了二項分布的簡潔應用,均值與方差的求法,利用“1”的代換結(jié)合基本不等式求最值,屬于中檔題.12.，表示不大于的最大整數(shù)，如，，且，，，，定義：.若，則的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查與面積有關的幾何概型問題，屬中檔題.【詳解】由，得函數(shù)f(x)的周期為T=2.函數(shù)f(x)的圖像為如圖所示的折線部分，集合對應的區(qū)域是如圖所示的五個圓，半徑都是.由題得事務對應的區(qū)域為圖中的陰影部分，所以由幾何概型的公式得故選D.點睛：本題的難點在于作集合D對應的平面區(qū)域，因為其中有個[t].對于這種定義題，不好理解的，大家可以通過列舉給t取值，找到它對應的區(qū)域，促進自己理解題意.這一點突破了，后面就迎刃而解了.二、填空題（每小題5分，共20分）13.已知變量滿意線性約束條件，則的最小值是_____．【答案】3【解析】【分析】畫出可行域，解出可行域的頂點坐標，代入目標函數(shù)求出相應的數(shù)值，比較大小得到目標函數(shù)最值.【詳解】作出不等式組對應的平面區(qū)域其可行域為一個三角形，其三個頂點的坐標分別為，，，取最小值．故答案為：3．【點睛】本題考查線性規(guī)劃的線性目標函數(shù)的最優(yōu)解問題.線性目標函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得，所以對于一般的線性規(guī)劃問題，若可行域是一個封閉的圖形，我們可以干脆解出可行域的頂點，然后將坐標代入目標函數(shù)求出相應的數(shù)值，從而確定目標函數(shù)的最值；若可行域不是封閉圖形還是須要借助截距的幾何意義來求最值.14.設隨機變量X～B（5，），則P（X＝3）＝_____．【答案】【解析】【分析】由隨機變量X～B（5，），利用二項分布的概率計算公式即可求出P（X＝3）．【詳解】∵隨機變量X～B（5，），∴P（X＝3）．故答案為：．【點睛】本題主要考查概率的求法，考查二項分布等基礎學問，還考查運算求解實力，是基礎題．15.甲、乙兩隊進行籃球決賽，實行三場二勝制（當一隊贏得二場成功時，該隊獲勝，決賽結(jié)束）．依據(jù)前期競賽成果，甲隊的主客場支配依次為“主客主”．設甲隊主場取勝的概率為，客場取勝的概率為，且各場競賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以獲勝的概率是_____．【答案】【解析】【分析】甲隊以獲勝的是指甲隊前兩場競賽中一勝一負，第三場競賽甲勝，利用獨立事務的概率乘法公式和概率的加法公式能求出甲隊以獲勝的概率．【詳解】甲隊的主客場支配依次為“主客主”．設甲隊主場取勝的概率為，客場取勝的概率為，且各場競賽結(jié)果相互獨立，甲隊以獲勝的是指甲隊前兩場競賽中一勝一負，第三場競賽甲勝，則甲隊以獲勝的概率是：.故答案為：．【點睛】本題考查概率的求法，考查相互獨立事務概率乘法公式和互斥事務概率加法公式等基礎學問，考查運算求解實力，是基礎題．16.從個男生和個女生中任選個人當班長，假設事務表示選出的個人性別相同，事務表示選出的個人性別不同，假如的概率和的概率相同，則可能為_____．【答案】【解析】【分析】由的概率和的概率相同，得到，由此能求出可能取值．【詳解】從個男生和個女生中任選個人當班長，假設事務表示選出的個人性別相同，事務表示選出的個人性別不同，由于的概率和的概率相同，則，整理，得，，，由于，則，則.故答案為：．【點睛】本題考查實數(shù)值求法，考查古典概型等基礎學問，考查運算求解實力，是基礎題．三、解答題（共70分）17.當，則稱點為平面上單調(diào)格點：設（1）求從區(qū)域中任取一點，而該點落在區(qū)域上的概率；（2）求從區(qū)域中的全部格點中任取一點，而該點是區(qū)域上的格點的概率.【答案】（1）；（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）作出集合所對應的區(qū)域，記事務“從區(qū)域中任取一點，而該點落在區(qū)域上”，依據(jù)幾何概型，利用面積比，即可求解概率；（2）事務“從區(qū)域中的全部格點中任取一點，而該點是區(qū)域上的格點”，得出基本領件的總數(shù)，和事務所包含的基本領件的個數(shù)，利用古典概型及概率的計算公式，即可求解事務的概率．試題解析：作出集合所對應的區(qū)域（如圖）：矩形則：（1）記事務“從區(qū)域中任取一點，而該點落在區(qū)域上”則事務符合幾何概型，即.（2）事務“從區(qū)域中的全部格點中任取一點，而該點是區(qū)域上的格點”則事務符合古典概型，區(qū)域中的格點個數(shù):當橫坐標分別為0,1,2時,縱坐標可以為0,1,2,3中的任一個,此時有個；而區(qū)域上的格點有（0，3），（1，2），（2，3），（1，3）共4個，∴點睛：本題主要考查了事務概率的計算問題，其中解答中涉及到幾何概型及其概率的計算，古典概型及其概率的計算公式的綜合運用，試題比較基礎，屬于基礎題，解答中正確作出集合的區(qū)域，推斷好概率的概型，恰當?shù)剡x擇概率的計算方法是解答的關鍵．18.假設關于某設備的運用年限x（年）和所支出的修理費用y萬元有如下的統(tǒng)計資料：x23456y2.23.85.56.57.0（1）畫出散點圖并推斷是否線性相關；（2）假如線性相關，求線性回來方程；（3）估計運用年限為10年時，修理費用是多少？附注：①參考公式：回來方程中斜率和截距的最小二乘估計分別為；②參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）散點圖見解析，是線性相關（2）（3）12.38萬【解析】【分析】（1）在坐標系里描點即可得散點圖，再依據(jù)點分布是否接近在一條直線上，作出推斷是否線性相關；（2）先求均值，再依據(jù)公式求，即得結(jié)果；（3）令回來方程中即可得估算出修理費用.【詳解】（1）因為點分布接近在一條直線上，所以線性相關；（2）（3）時，，修理費用是萬元【點睛】本題考查散點圖、求線性回來方程以及利用線性回來方程估計，考查基本分析求解實力，屬基礎題.19.某次數(shù)學測驗共有12道選擇題，每道題共有四個選項，且其中只有一個選項是正確的，評分標準規(guī)定：每選對1道題得5分，不選或選錯得0分.在這次數(shù)學測驗中，考生甲每道選擇題都依據(jù)規(guī)則作答，并能確定其中有9道題能選對；其余3道題無法確定正確選項，在這3道題中，恰有2道能解除兩個錯誤選項，另1題只能解除一個錯誤選項.若考生甲做這3道題時，每道題都從不能解除的選項中隨機選擇一個選項作答，且各題作答互不影響.在本次測驗中，考生甲選擇題所得的分數(shù)記為（1）求的概率；（2）求的分布列和數(shù)學期望.【答案】（1）.（2）分布列答案見解析，數(shù)學期望.【解析】【分析】（1）選對一道能解除2個選項概率，選對一道能解除1個選項的概率，考生得55分時可以對2道，對0道或者對1道，對1道，再由相互獨立事務的概率公式計算即可；（2）該考生所得分數(shù)，分別求出其概率，即可列出分布列，并求出期望.【詳解】（1）能解除2個選項的試題記為類試題；設選對一道類試題為，則，能解除1個選項的試題記為類試題；設選對一道類試題為，則，該考生選擇題得55分可以為：①對2道，對0道，則概率為；②對1道，對1道，則概率為；則；（2）該考生所得分數(shù)；；；∴X的分布列為：45505560P.【點睛】本題主要考查概率的求法、離散型隨機變量分布列和數(shù)學期望的求法，考查學生分析和計算實力，屬于中檔題.20.如圖，四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E為PC上一點，當F為DC的中點時，EF平行于平面PAD.（Ⅰ）求證：平面PCB；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）平面可得，從而證出平面，則，從而可證出平面；（Ⅱ）以點為坐標原點，分別以直線，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，求得各點的坐標，求出平面和平面的的一個法向量，再依據(jù)法向量求出二面角．【詳解】（Ⅰ）證：平面，，又正方形中，，，平面，又平面，，，當為的中點時，平行平面，所以是的中點，，，平面；（Ⅱ）解：以點為坐標原點，分別以直線，，為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，設平面的法向量為，則，，，令，得到，，；又，，，且平面，平面的一個法向量為；設二面角的平面角為，由圖可知角為銳角，則，二面角的余弦值為．【點睛】本題主要考查線面垂直的判定和性質(zhì)，考查二面角的求法，屬于中檔題．21.已知橢圓的短軸長為4，離心率為，斜率不為0的直線l與橢圓恒交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點M．（1）求橢圓的標準方程；（2）直線l是否過定點，假如過定點，求出該定點的坐標；假如不過定點，請說明理由．【答案】（1）；（2）直線過定點．【解析】【分析】（1）由題可知，，再結(jié)合，即可求出的值，從而得出橢圓的標準方程；（2）因為直線l斜率不為，所以設直線l：x＝ty+m，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關系得，，，再依據(jù)以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點，可得0，從而求出，即可得出定點坐標．【詳解】（1）由題，，所以橢圓的標準方程為．（2）由題設直線：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，得，∴，，．因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點，所以，整理得或，又當時，直線過橢圓右定點，此時直線與直線不行能垂直，∴，∴直線過定點．【點睛】本題主要考查求橢圓的方程，以及直線和橢圓的位置關系，是中檔題．22.已知函數(shù)f（x）＝ex﹣1+alnx．（e為自然對數(shù)的底數(shù)），λ＝min{a+2，5}．（min{a，b}表示a，b中較小的數(shù)．）（1）當a＝0時，設g（x）＝f（x）﹣x，求函數(shù)g（x）在[，]上的最值；（2）當x1時，證明：f（x）+x2λ（x﹣1）+2．【答案】（1）最大值為，最小值0；（2）詳見解析．【解析】【分析】（1）當a＝0時，化簡，通過g'（x）＝ex﹣1﹣1，令g'（x）＝0，求出極值點，推斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的極值以及函數(shù)的最值即可．（2）①當a+25