2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)階段提升課第二課一元二次函數(shù)方程和不等式學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE階段提升課其次課一元二次函數(shù)、方程和不等式知能題組一不等式及其性質(zhì)1．已知t＝a＋4b，s＝a＋b2＋4，則t和s的大小關(guān)系是()A．t>sB．t≥sC．t<sD．t≤s【解析】選D.t－s＝4b－b2－4＝－(b－2)2≤0，故t≤s.2．(2024·南昌高一檢測(cè))設(shè)a>1>b>－1，則下列不等式中恒成立的是()A．eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C．a(chǎn)>b2D．a(chǎn)2>2b【解析】選C.對(duì)于A，例如a＝2，b＝－eq\f(1,2)，此時(shí)滿意a>1>b>－1，可得eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，所以A不正確；對(duì)于B，例如a＝2，b＝eq\f(1,2)，此時(shí)滿意a>1>b>－1，可得eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，所以B不正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?<b<1，所以0≤b2<1，又由a>1，所以a>b2，所以C正確；對(duì)于D，例如a＝eq\f(9,8)，b＝eq\f(3,4)，此時(shí)滿意a>1>b>－1，可得a2<2b，所以D不正確．3．已知a＞b＞0，d＜c＜0，用不等式性質(zhì)證明：eq\f(a2,c)＜eq\f(b2,d).【證明】因?yàn)閍＞b＞0，所以a2＞b2.因?yàn)閐＜c＜0，所以－d＞－c＞0，所以eq\f(1,－c)＞eq\f(1,－d)＞0，所以eq\f(a2,－c)＞eq\f(b2,－d)，即eq\f(a2,c)＜eq\f(b2,d)＜0，所以eq\f(a2,c)＜eq\f(b2,d)成立．不等式及其性質(zhì)的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)作差法是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的基本方法．(2)應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)可以證明不等式，但肯定要留意應(yīng)用條件；當(dāng)推斷不等式是否成立時(shí)，也經(jīng)常選擇特別值法．【加固訓(xùn)練】已知-1<x+y<4且2<x-y<3,則z=2x-3y的取值范圍是________.

【解析】設(shè)2x-3y=m(x+y)+n(x-y),所以QUOTE解得所以2x-3y=-QUOTE(x+y)+QUOTE(x-y),因?yàn)?1<x+y<4,2<x-y<3,所以-2<-(x+y)<,5<QUOTE(x-y)<QUOTE,所以3<-(x+y)+QUOTE(x-y)<8,即3<2x-3y<8.答案:3<z<8知能題組二基本不等式及其應(yīng)用1．(2024·北京高一檢測(cè))已知a，b為正數(shù)，4a2＋b2＝7，則aeq\r(1＋b2)的最大值為()A．eq\r(7)B．eq\r(3)C．2eq\r(2)D．2【解析】選D.aeq\r(1＋b2)＝eq\f(1,2)×2aeq\r(1＋b2)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4a2＋1＋b2,2)))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)4a2＝1＋b2時(shí)，取得最大值．2．已知x>0，y>0，且x＋2y＝1，則eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)的最小值為_(kāi)_______，eq\f(xy,2x2＋2y2)的最大值為_(kāi)_______．【解析】因?yàn)閑q\f(1,x)＋eq\f(2,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(2,y)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2y))＝eq\f(2y,x)＋eq\f(2x,y)＋5≥2eq\r(\f(2y,x)·\f(2x,y))＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2y,x)＝eq\f(2x,y)即x＝y(tǒng)＝eq\f(1,3)時(shí)等號(hào)成立，所以eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)的最小值為9.因?yàn)閑q\f(2x2＋2y2,xy)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋\f(y,x)))≥2·2eq\r(\f(x,y)·\f(y,x))＝4，所以0<eq\f(xy,2x2＋2y2)≤eq\f(1,4)，所以eq\f(xy,2x2＋2y2)的最大值為eq\f(1,4).答案：9eq\f(1,4)3．(1)已知不等式x2－ax＋a－2>0(a>2)的解集為{x|x<x1或x>x2}，求x1＋x2＋eq\f(1,x1x2)的最小值．(2)若正數(shù)a，b，c滿意a＋b＋c＝2，求證：eq\f(b2,a)＋eq\f(c2,b)＋eq\f(a2,c)≥2.【解析】(1)a>2時(shí)，Δ＝a2－4(a－2)>0，因?yàn)椴坏仁絰2－ax＋a－2>0(a>2)的解集為{x|x<x1或x>x2}，所以方程x2－ax＋a－2＝0的兩根分別為x1，x2，依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝a，x1x2＝a－2，因?yàn)閍>2，所以a－2>0，則x1＋x2＋eq\f(1,x1x2)＝a＋eq\f(1,a－2)＝a－2＋eq\f(1,a－2)＋2≥2eq\r(（a－2）×\f(1,a－2))＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝3時(shí)取等號(hào)，故x1＋x2＋eq\f(1,x1x2)的最小值為4.(2)因?yàn)閍，b，c為正數(shù)且a＋b＋c＝2，由基本不等式，有eq\f(b2,a)＋a≥2b，eq\f(c2,b)＋b≥2c，eq\f(a2,c)＋c≥2a，三式相加可得：eq\f(b2,a)＋a＋eq\f(c2,b)＋b＋eq\f(a2,c)＋c≥2b＋2c＋2a，所以eq\f(b2,a)＋eq\f(c2,b)＋eq\f(a2,c)≥a＋b＋c，即eq\f(b2,a)＋eq\f(c2,b)＋eq\f(a2,c)≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝eq\f(2,3)時(shí)等號(hào)成立).基本不等式的關(guān)注點(diǎn)(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)拼湊：要依據(jù)式子的特征敏捷變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式．(3)方法：一是消元法；二是將條件敏捷變形，利用常數(shù)“1”代換的方法；三是配湊法．【加固訓(xùn)練】設(shè)x>0,則函數(shù)y=x+QUOTE-的最小值為 ()A.0 B.C.1 D.【解析】選A.因?yàn)閤>0,所以x+>0,所以y=x+QUOTE-=(x+)QUOTE+QUOTE-2≥2QUOTE-2=0,當(dāng)且僅當(dāng)x+=QUOTE,即x=時(shí)等號(hào)成立,所以函數(shù)的最小值為0.知能題組三一元二次不等式的解法1．不等式(x2－7x＋12)(x2＋x＋1)＞0的解集為()A．{x|x<－4或x＞－3}B．{x|x<3或x＞4}C．{x|－4<x<－3}D．{x|3<x<4}【解析】選B.因?yàn)閤2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)＞0恒成立．所以原不等式等價(jià)于x2－7x＋12＞0，所以不等式的解集為{x|x＜3或x＞4}．【加固訓(xùn)練】已知A=QUOTE,若1∈A,3?A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.

【解析】因?yàn)?∈A,3?A,所以QUOTE.解得-3≤a<-1.答案:-3≤a<-12．已知命題p：?x∈R，ax2＋2x＋1≤0是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【解析】命題p：?x∈R，ax2＋2x＋1≤0是假命題，即“?x∈R，ax2＋2x＋1>0”是真命題．①當(dāng)a＝0時(shí)，①不成立，當(dāng)a≠0時(shí)，要使①成立，必需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝4－4a<0，))解得a>1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>1.答案：{a|a>1}3．解關(guān)于x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0.【解析】對(duì)于一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0，則a≠0.(1)當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y＝a(x－a)(x＋1)開(kāi)口向上，與x軸的交點(diǎn)為a，－1，原不等式的解集為{x|x<－1或x＞a}；(2)當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y＝a(x－a)(x＋1)開(kāi)口向下，與x軸的交點(diǎn)為a，－1，①若a＝－1，不等式解集為?；②若－1<a<0，不等式的解集為{x|－1<x<a}；③若a<－1，不等式的解集為{x|a<x<－1}．綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，原不等式的解集為{x|x<－1或x>a}；當(dāng)a＝－1時(shí)，原不等式的解集為?；當(dāng)－1<a<0時(shí)，原不等式的解集為{x|－1<x<a}；當(dāng)a<－1時(shí)，原不等式的解集為{x|a<x<－1}．一元二次不等式的解集問(wèn)題(1)不含參數(shù)的一元二次不等式的解集受a的符號(hào)、b2－4ac的符號(hào)的影響，且與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程有親密聯(lián)系．(2)含有參數(shù)的一元二次不等式的求解，常就“二次項(xiàng)系數(shù)”“判別式Δ”“兩個(gè)根的大小”對(duì)參數(shù)進(jìn)行探討．【加固訓(xùn)練】已知命題p:>QUOTE,命題q:?x∈R,ax2+ax+1>0,則p成立是q成立的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.求解不等式>QUOTE可得0<a<4,對(duì)于命題q,當(dāng)a=0時(shí),命題明顯成立;當(dāng)a≠0時(shí),有:QUOTE解得:0<a<4,即命題q為真時(shí)0≤a<4,故p成立是q成立的充分不必要條件.知能題組四不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用1．(2024·滄州高一檢測(cè))某種雜志原以每本3元的價(jià)格銷售，可以售出10萬(wàn)本．依據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，雜志的單價(jià)每提高0.1元，銷售量就削減1000本．設(shè)每本雜志的定價(jià)為x元，要使得提價(jià)后的銷售總收入不低于42萬(wàn)元，則x應(yīng)滿意()A．6≤x≤7B．5≤x≤7C．5≤x≤6D．4≤x≤6【解析】選A.設(shè)每本雜志的定價(jià)為x元，銷量為10－eq\f(x－3,0.1)×0.1＝13－x，則提價(jià)后的銷售總收入為x(13－x)，由x(13－x)≥42，得x2－13x＋42≤0，解得6≤x≤7，所以x應(yīng)滿意6≤x≤7.2．和你的同桌做個(gè)嬉戲：假設(shè)有四只盛滿水的圓柱形水桶A，B，C，D.桶A，B的底面半徑均為a，高分別為a和b，桶C，D的底面半徑均為b，高分別為a和b(其中a≠b).你們各自從中取兩只水桶，得水多者為勝．假如讓你先取，你有必勝的把握嗎？(參考公式：底面半徑為r，高為h的圓柱的體積V＝πr2h)【解析】水桶A，B，C，D的容積依次為πa3，πa2b，πab2，πb3，因?yàn)閍≠b，所以(πa3＋πb3)－(πa2b＋πab2)＝π(a3－a2b)＋π(b3－ab2)＝πa2(a－b)＋πb2(b－a)＝π(a－b)(a2－b2)＝π(a－b)2(a＋b)＞0，所以πa3＋πb3＞πa2b＋πab2，所以先取水桶A和水桶D必勝．3．(2024·長(zhǎng)沙高一檢測(cè))某單位確定投資3200元建一倉(cāng)庫(kù)(長(zhǎng)方體狀)，該倉(cāng)庫(kù)的高度為肯定值，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每1m長(zhǎng)造價(jià)40元；兩側(cè)墻砌磚，每1m長(zhǎng)造價(jià)45元(不考慮鐵柵及墻體的厚度和高度).(1)若該倉(cāng)庫(kù)不須要做屋頂，求該倉(cāng)庫(kù)占地面積S的最大值；(2)若為了使倉(cāng)庫(kù)防雨，須要為倉(cāng)庫(kù)做屋頂，頂部每1m2造價(jià)20元，則當(dāng)倉(cāng)庫(kù)占地面積S取最大值時(shí)，正面鐵柵應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？【解析】設(shè)鐵柵長(zhǎng)為x(x>0)米，一側(cè)磚墻長(zhǎng)為y(y>0)米，則倉(cāng)庫(kù)占地面積S＝xy.(1)由已知得40x＋2×45y＝3200，所以4x＋9y＝320，因?yàn)?x＋9y≥2eq\r(36xy)＝12eq\r(xy)，所以320≥12eq\r(xy)，xy≤eq\f(6400,9).當(dāng)且僅當(dāng)4x＝9y，即x＝40，y＝eq\f(160,9)時(shí)取等號(hào)，故該倉(cāng)庫(kù)占地面積S的最大值為eq\f(6400,9)m2.(2)依題設(shè)，得40x＋2×45y＋20xy＝3200，由基本不等式得3200≥2eq\r(40x·90y)＋20xy＝120eq\r(xy)＋20xy＝120eq\r(S)＋20S，則S＋6eq\r(S)－160≤0，即(eq\r(S)－10)(eq\r(S)＋16)≤0，故eq\r(S)≤10，從而S≤100，當(dāng)且僅當(dāng)40x＝90y且xy＝100即x＝15時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)S取最大值100m2時(shí)，正面鐵柵應(yīng)設(shè)計(jì)為15m．解決與不等式有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)(1)審題要準(zhǔn)，初步建模；(2)設(shè)此變量，列出函數(shù)關(guān)系式；(3)依據(jù)題設(shè)構(gòu)造應(yīng)用不等式的形式并解決問(wèn)題．【加固訓(xùn)練】(2024·揚(yáng)州高一檢測(cè))如