四川省鄰水實驗學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題理

PAGEPAGE23四川省鄰水試驗學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題理考試時間：100分鐘；命題人：留意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（60分）1．已知集合,集合,則()A． B． C． D．2．命題“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，3．曲線與直線圍成的圖形的面積為（）A． B．5 C．6 D．4．若實數(shù)，滿意不等式組，且，則（）A．4 B．3 C．2 D．15．函數(shù)的大致圖象為（）A． B． C． D．6．學(xué)校藝術(shù)節(jié)對、、、四件參賽作品只評一件一等獎，在評獎揭曉前，甲，乙，丙，丁四位同學(xué)對這四件參賽作品預(yù)料如下：甲說：“是或作品獲得一等獎”； 乙說：“作品獲得一等獎”；丙說：“、兩件作品未獲得一等獎”； 丁說：“是作品獲得一等獎”．評獎揭曉后，發(fā)覺這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是（）A．作品A B．作品B C．作品C D．作品D7．函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，對于函數(shù)，下列說法不正確的是（）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．的圖象關(guān)于點對稱8．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）正視圖側(cè)視圖8題圖俯視圖 B． C． D．9題圖9．為了配平化學(xué)方程式，某人設(shè)計了一個如圖所示的程序框圖，則①②③處應(yīng)分別填入（）A．，，B．，，C．，，D．，，10．已知一個球的半輕為3.則該球內(nèi)接正六棱錐的體積的最大值為（）A．10 B． C． D．11．已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．12．已知雙曲線，點在雙曲線上，點在直線上，的傾斜角，且，雙曲線在點處的切線與平行，則的面積的最大值為（）A． B． C． D．第II卷（非選擇題）二、填空題（20分）13．曲線在點處的切線方程為______．14．在中，，則_____.15．已知拋物線的焦點為F，點，過點F的直線與此拋物線交于兩點，若，且，則___________．16．已知定義在上的函數(shù)滿意：①對隨意的，，；②當(dāng)時，；③．若對于隨意的兩個正實數(shù)，，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值是___________．三、解答題（60分）17．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，其中，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，，求數(shù)列的前項和.18．如圖，四棱錐中，底面是菱形，，是棱上的點，是中點，且底面，.

（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值.19．隨著互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)、傳統(tǒng)行業(yè)和實體經(jīng)濟的融合不斷加深，互聯(lián)網(wǎng)對社會經(jīng)濟發(fā)展的推動效果日益顯著，某大型超市安排在不同的線上銷售平臺開設(shè)網(wǎng)店，為確定開設(shè)網(wǎng)店的數(shù)量，該超市在對網(wǎng)絡(luò)上相關(guān)店鋪做了充分的調(diào)查后，得到下列信息，如圖所示（其中表示開設(shè)網(wǎng)店數(shù)量，表示這個分店的年銷售額總和），現(xiàn)已知，求解下列問題；（1）經(jīng)推斷，可利用線性回來模型擬合與的關(guān)系，求解關(guān)于的回來方程；（2）依據(jù)閱歷，超市每年在網(wǎng)上銷售獲得的總利潤（單位：萬元）滿意，請依據(jù)（1）中的線性回來方程，估算該超市在網(wǎng)上開設(shè)多少分店時，才能使得總利潤最大．參考公式；線性回來方程x+，其中20．已知橢圓：的左、右焦點分別是，，且經(jīng)過點，直線與軸的交點為，的周長為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是坐標(biāo)原點，，兩點（異于點）是橢圓上的動點，且直線與直線的斜率滿意，求面積的最大值．21．已知函數(shù)（…是自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）若在內(nèi)有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；（2）時，探討關(guān)于x的方程的根的個數(shù)．請考生在22、23兩題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線與曲線公共點的極坐標(biāo)；（2）設(shè)過點的直線交曲線于，兩點，且的中點為，求直線的斜率．23．（10分）【選修4-5：不等式選講】已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若對于隨意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

數(shù)學(xué)（理科）答案1．C【分析】化簡集合和,依據(jù)交集定義,即可求得.【詳解】化簡可得依據(jù)指數(shù)函數(shù)是減函數(shù),即,故故故選:C.【點睛】本題考查了集合的交集,在集合運算比較困難時,可以運用數(shù)軸來協(xié)助分析問題,屬于基礎(chǔ)題.2．C【分析】利用全稱命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】命題“，”為全稱命題，該命題的否定為“，”.故選：C.3．A【分析】依據(jù)定積分計算曲線圍成圖形的面積即可.【詳解】由可得或，故曲線與直線圍成的圖形的面積為.故選：A4．A【分析】作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，平移該直線得最大值和最小值，從而得結(jié)論．【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其中，，．在直線中，，表示直線的縱截距．作出直線并平移，數(shù)形結(jié)合知當(dāng)平移后的直線經(jīng)過點時，取得最小值，且；當(dāng)平移后的直線經(jīng)過點時，取得最大值，且．所以.故選：A．5．D【分析】易知是偶函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)推斷單調(diào)性與極值點范圍即可得結(jié)果．【詳解】由可知是偶函數(shù)，解除A；當(dāng)時，，則，可知在上單調(diào)遞增，且，，則存在，使得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且是在上唯一微小值點，故選：D．6．B【分析】若A為一等獎，則甲、乙、丙、丁的說法均錯誤，不滿意題意；若B為一等獎，則乙、丙的說法正確，甲、丁的說法錯誤，滿意題意；若C為一等獎，則甲、丙、丁的說法均正確，不滿意題意；若D為一等獎，則乙、丙、丁的說法均錯誤，不滿意題意；綜上所述，故B獲得一等獎．7．C【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再由平移變換得到，然后逐項推斷.【詳解】因為．其圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象．所以的最小正周期為，故A正確；當(dāng)時，，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；當(dāng)時，，所以在間上不單調(diào)，故C錯誤；當(dāng)時，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故D正確．故選：C8．C【分析】先利用三視圖推斷對應(yīng)的直觀圖以及長度關(guān)系，再利用空間幾何體的體積公式計算組合體的體積即可.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個直三棱柱與一個半圓錐的組合體，直三棱柱的底面是底邊長為8，底邊上的高為3的等腰三角形，高為3，圓錐的底面半徑為4，高為3，如圖，

所以其體積為．故選：C.9．D【分析】比較方程的兩邊，由元素守恒可得的數(shù)量關(guān)系．【詳解】結(jié)合元素守恒易知，，.【點睛】本題考查程序框圖，考查推理論證實力.10．C【分析】如圖，設(shè)六棱錐球心為，底面中心為，設(shè)，則，令可得，利用導(dǎo)數(shù)可求出其最大值.【詳解】如圖，設(shè)六棱錐球心為，底面中心為，設(shè)，則，，令，則，，可得時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，，故該球內(nèi)接正六校錐的體積的最大值為.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查幾何體的外接球問題，解題的關(guān)鍵是將體積用函數(shù)表示，利用導(dǎo)數(shù)進行計算.11．B【分析】將不等式進行恒等變形，則原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性的問題，據(jù)此求解a的取值范圍即可．【詳解】，所以在上恒成立，等價于在上恒成立，因為時，，所以只需在上遞減，即，恒成立，即時，恒成立，即恒成立，只需所以，故選：B12．D【分析】設(shè)，求得，得到聯(lián)立方程組，求得，求得點到直線的距離，進而求得，得到，利用基本不等式，即可求得面積的最大值.【詳解】由題意，不妨設(shè)在第一象限，則雙曲線在點處的切線方程為，所以，即又因為，所以聯(lián)立可得，所以點到直線的距離，因為，所以，所以．令，則，因為，所以，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，面積取得最大值．故選：D.【點睛】解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特殊留意自變量的取值范圍.13．【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程.【詳解】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義．因為，所以．又，故曲線在點處的切線方程為，即．故答案為：14．【分析】在中，依據(jù)，利用正弦定理結(jié)合二倍角正弦公式求解.【詳解】在中，因為，所以，即，解得，故答案為：15．6【分析】設(shè)的方程為，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，計算得，故，依據(jù)求得，進而求得，從而求得，利用列方程，解方程求得的值.【詳解】設(shè)的方程為，則由得，，，又為銳角，．不妨設(shè)，如圖，作軸，垂足為H，過M作直線軸，，垂足為，則，，，故．故答案為：6【點睛】直線和圓錐曲線相交所得弦長有關(guān)計算問題，要留意嫻熟應(yīng)用弦長公式.【分析】對，進行敏捷賦值，可得到，，利用單調(diào)性的定義確定的單調(diào)性，結(jié)合，將恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，然后分別參數(shù)、換元、構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可．【詳解】取，則，解得或，若，則對隨意的，，與條件②不符，故．對隨意的，，若存在使得，則，與沖突，所以對隨意的，．假設(shè)對隨意的，，且，，因為，所以，則，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．又，所以，從而，則，令，則，，設(shè)函數(shù)所以易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，所以，則，所以實數(shù)的最小值為，【點睛】關(guān)鍵點睛：求解本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性去“”，進而分別參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，并利用函數(shù)的單調(diào)性進行求解．17．（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，求出等比數(shù)列的即得解；（2）求出，，再利用裂項相消法求解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，因為，所以，因為是和的等差中項，所以.所以化簡得，因為公比，所以，所以.所以.（2）因為，所以，.所以.即.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）分組求和法；（3）錯位相減法；（4）裂項相消法；（5）倒序相加法.要依據(jù)已知條件敏捷選擇方法求解.18．（1）證明見解析；（2）.【分析】(1)由底面是菱形，，可得為等邊三角形，再加上點是中點可證，進而可得，再由底面，可得，結(jié)合線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，即可求證所求證；(2)由題意及(1)可以，以點為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法即可求解.【詳解】證明：在菱形中，，為等邊三角形.又為的中點，.//，.底面，平面，.，平面，平面.是棱上的點，平面..（2）解：底面，，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則.，，，，，.由，得.設(shè)是平面的法向量，由，得令，則，則.又平面的法向量為，.由題知，二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線線垂直的證明及空間向量法求二面角，考查考生的邏輯推理實力、空間想象實力、運算求解實力及方程思想，屬于中檔題.19．（1）；（2）開設(shè)8或9個分店時，才能使得總利潤最大．【分析】（1）先求得，再依據(jù)供應(yīng)的數(shù)據(jù)求得，，寫出回來直線方程；（2）由（1）結(jié)合，得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）由題意得，所以．（2）由（1）知，，所以當(dāng)或時能獲得總利潤最大．20．（1）；（2）．【分析】（1）依據(jù)橢圓且經(jīng)過點及的周長為，用待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，用“設(shè)而不求法”表示出，找到k、m的關(guān)系，從而把面積表示成m的函數(shù)，利用均值不等式求最值.【詳解】（1）∵的周長為，∴，∴．將代入，得，解得．∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）由題意知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，，，將與聯(lián)立并消去，整理得，則，．∵，∴，∴，化簡得，∴或（舍去）．當(dāng)時，，則，得．，原點到直線的距離，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，閱歷證，滿意題意．∴面積的最大值是．【點睛】（1）待定系數(shù)法求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題；（3）方法技巧：圓錐曲線中的最值問題是高考中的熱點問題，主要有兩種解題方法：一是幾何法，即利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進行求解；二是代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)式表示為某個（些）參數(shù)的函數(shù)，然后利用函數(shù)、不等式的學(xué)問等進行求解，如本題第（2）問將的面積用含的式子表示，并利用基本不等式求面積的最大值．21．（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）若在內(nèi)有兩個極值點，則在內(nèi)有兩個不相等的變號根，等價于在上有兩個不相等的變號根．令，分類探討有兩個變號根時的范圍；（2）化簡原式可得：，分別探討和時的單調(diào)性，可得的最小值，分類探討最小值與0的關(guān)系，結(jié)合的單調(diào)性可以得到零點個數(shù).【詳解】（1）由題意可求得，因為在內(nèi)有兩個極值點，所以在內(nèi)有兩個不相等的變號根，即在上有兩個不相等的變號根．設(shè)，則，①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，不符合條件．②當(dāng)時，令得，當(dāng)，即時，，所以在上單調(diào)遞減，不符合條件；當(dāng)，即時，，所以在上單調(diào)遞增，不符合條件；當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，若要在上有兩個不相等的變號根，則，解得．綜上所述，．（2）設(shè)，令，則，所以