經(jīng)典控制伺服系統(tǒng)設(shè)計(jì)

經(jīng)典控制伺服系統(tǒng)設(shè)計(jì)在經(jīng)典控制理論中，我們通常按前饋傳遞函數(shù)中的積分器數(shù)目來劃分系統(tǒng)的類型，如0型系統(tǒng)、I型系統(tǒng)等。I型系統(tǒng)在前饋通道中有一個(gè)積分器，且此系統(tǒng)的階躍響應(yīng)不存在穩(wěn)態(tài)誤差。本節(jié)將討論I型伺服系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法，此時(shí)，將假定系統(tǒng)只有一個(gè)純量控制輸入u和一個(gè)純量輸出y，即僅考慮單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)。所謂伺服系統(tǒng)是用來控制被控對(duì)象的某種狀態(tài)，使其能自動(dòng)地、連續(xù)地、精確地復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)地變化規(guī)律，通常是閉環(huán)控制系統(tǒng)。下面首先討論針對(duì)I型被控對(duì)象(被控對(duì)象含積分器)的I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題，然后討論針對(duì)0型被控對(duì)象(被控對(duì)象不含積分器)的I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題。1被控系統(tǒng)具有積分器的I型閉環(huán)伺服系統(tǒng) 考慮由下式定義的線性定常系統(tǒng) (5.89) (5.90)式中，。如前所述，假設(shè)控制輸入u和系統(tǒng)輸出y均為純量。選擇一組適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量，例如可以選擇輸出量等于其中的一個(gè)狀態(tài)變量，這里假定輸出量y等于x1。圖5.9給出了被控系統(tǒng)具有一個(gè)積分器時(shí)I型伺服閉環(huán)系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)。這里，假設(shè)y=x1。在分析中，假設(shè)參考輸入r是階躍函數(shù)。圖5.9被控系統(tǒng)具有一個(gè)積分器的I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)在此系統(tǒng)中，采用如下的狀態(tài)反饋控制規(guī)律(5.91)式中假設(shè)在t=0時(shí)施加參考輸入（階躍函數(shù)）。因此t>0時(shí)，該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性由式（5.89）和（5.91）描述，即(5.92)設(shè)計(jì)I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)，使得閉環(huán)極點(diǎn)配置在期望的位置。這里設(shè)計(jì)的將是一個(gè)漸近穩(wěn)定系統(tǒng)，y()趨于常值r(r為階躍輸入)，u()趨于零。在穩(wěn)態(tài)時(shí)， (5.93)注意，r（t）是階躍輸入。對(duì)t>0，有r()=r(t)=r(常值)。用式（5.92）減去（5.93），可得 (5.94)定義因此，式（5.94）成為 (5.95)式（5.95）描述了誤差動(dòng)態(tài)特征。因此，I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為：對(duì)于給定的任意初始條件e(0),設(shè)計(jì)一個(gè)漸近穩(wěn)定的調(diào)節(jié)器系統(tǒng)，使得e(t）趨于零。如果由式（5.89）確定的系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則對(duì)矩陣A-BK，通過指定的期望特征值μ1，μ2，…,μn，可由5.2節(jié)介紹過的極點(diǎn)配置方法來確定線性反饋增益矩陣K。x(t)和u(t)的穩(wěn)態(tài)值求法如下：在穩(wěn)態(tài)（）時(shí)，由式（5.92）可得由于A-BK的期望特征值均在s的左半平面，所以矩陣A-BK的逆存在。從而，x()可確定為同樣，u()可求得為------------------------------------------------------------------------------[例5.7]考慮被控系統(tǒng)傳遞函數(shù)具有一個(gè)積分器時(shí)的I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。假設(shè)被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試設(shè)計(jì)一個(gè)I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)，使得閉環(huán)極點(diǎn)為。假設(shè)該系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與圖5.9所示相同，參考輸入r是階躍函數(shù)。[解]定義狀態(tài)變量x1,x2和x3為，，則該被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為(5.96) (5.97)式中參見圖5.9并注意到n=3，則控制輸入u為(5.98)式中此時(shí)，就可用極點(diǎn)配置方法確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。現(xiàn)檢驗(yàn)系統(tǒng)的能控性矩性。由于的秩為3。因此，該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，并且可任意配置極點(diǎn)。將式（5.98）代入式（5.96），可得 (5.99)式中的r為階躍函數(shù)。因此，當(dāng)t趨于無(wú)窮時(shí)，x(t)趨于定常向量x()。在穩(wěn)態(tài)時(shí)， (5.100)從式（5.99）減去式（5.100），可得定義那么 (5.101)式（5.101）確定了誤差的動(dòng)態(tài)特性。給定被控系統(tǒng)的特征方程為因此由于A-BK的期望特征值為所以期望的特征方程為因此為了利用極點(diǎn)配置方法來確定矩陣K，采用式（5.13），將其重寫為(5.102)由于式（5.96）已是能控標(biāo)準(zhǔn)形，所以P=I。因此該系統(tǒng)的階躍響應(yīng)容易由計(jì)算機(jī)仿真求得。由于由式（5.99），可得此閉環(huán)反饋系統(tǒng)的狀態(tài)方程為(5.103)輸出方程為(5.104)當(dāng)r為單位階躍函數(shù)時(shí)，求解式（5.103）和（5.104），即可得到y(tǒng)(t)對(duì)t的單位階躍響應(yīng)曲線。利用MATLABProgram5.9，將可輕松地求出單位階躍響應(yīng)。相應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖5.10所示。 注意到，因此由式（5.100），可得MATLABProgram5.9%------Unit-stepresponse------%*****EnterthestatematrixA,controlmatrixB,outputmatrixC，%anddirecttransmissionmatrixD*****A=[010;001;-160-56-14];B=[0;0;160];C=[100];D=[0];%*****Enterstepcommandandplotcommand*****t=0:0.01:5;y=step(A,B,C,D,1,t);plot(t,y)gridtitle(‘Unit-StepResponse’)xlabel(‘tSec’)ylabel(‘Outputy’)圖5.10例5.7設(shè)計(jì)的系統(tǒng)之y(t)對(duì)t的單位階躍響應(yīng)曲線由于所以顯然，。在階躍響應(yīng)中沒有穩(wěn)態(tài)誤差。注意，由于所以即在穩(wěn)態(tài)時(shí)，控制輸入u為零。------------------------------------------------------------------------------2被控系統(tǒng)中不含積分器時(shí)的I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)的設(shè)計(jì) 如果被控系統(tǒng)中沒有積分器（0型被控系統(tǒng)），則設(shè)計(jì)I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)的基本原則是在誤差比較器和系統(tǒng)間的前饋通道中插入一個(gè)積分器，如圖5.11所示（當(dāng)不含積分器時(shí)，圖5.11所示方塊圖是I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)的基本形式）。由圖中可得(5.105)(5.106)(5.107)(5.108)式中，。假設(shè)由式（5.105）定義的系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為圖5.11I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)為了避免插入的積分器在系統(tǒng)原點(diǎn)處與零點(diǎn)有相約的可能，假設(shè)在原點(diǎn)處沒有零點(diǎn)。 假設(shè)在t=0時(shí)施加參考輸入（階躍函數(shù)），則對(duì)t>0，該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性可由式（5.105）和（5.108）的組合來描述，即(5.109)試設(shè)計(jì)一個(gè)漸近穩(wěn)定系統(tǒng)，使得、和分別趨于常值。因此，在穩(wěn)態(tài)時(shí)，，并且。注意，在穩(wěn)態(tài)時(shí)(5.110)其中r(t)為階躍輸入，從而對(duì)t>0，r()=r(t)=r（常值）。從式（5.109）中減去式（5.110），可得(5.111)定義則式（5.111）可改寫為(5.112)式中(5.113)由定義一個(gè)新的n+1維誤差向量e(t)，因此式（5.112）成為(5.114)式中且式（5.113）成為(5.115)這里設(shè)計(jì)I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)的基本思想是設(shè)計(jì)一個(gè)穩(wěn)定的n+1階調(diào)節(jié)器系統(tǒng)，對(duì)于給定的任意初始條件e(0)，使新的誤差向量e(t)趨于零。式（5.114）和（5.115）描述了該n+1階調(diào)節(jié)器系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特征。如果由式（5.114）定義的系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，則通過指定該系統(tǒng)的期望特征方程，利用在5.2節(jié)中介紹的極點(diǎn)配置方法，即可確定矩陣。x(t)、ξ(t)和u(t)的穩(wěn)態(tài)值可確定如下：在穩(wěn)態(tài)（）時(shí)，由式（5.105）和（5.108）可得將上述兩式合并為如下向量-矩陣方程為如果由 (5.116)定義的矩陣的秩為n+1，則其逆存在，并且同樣地，由式（5.107）可得因此注意，如果由式（5.116）給出的矩陣的秩為n+1，則由式（5.114）定義的系統(tǒng)狀態(tài)完全能控（參見例5.15），該問題的解可利用極點(diǎn)配置方法求得。狀態(tài)誤差方程可通過將式（5.115）代入式（5.114）得到，即(5.117)如果矩陣的期望特征值（即期望閉環(huán)極點(diǎn)）