江蘇省南京市浦口區(qū)明發(fā)一中2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年江蘇省南京市浦口區(qū)明發(fā)一中九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x﹣y＝5 B．x+＝0 C．5x2＝1 D．y2﹣x+3＝02．一元二次方程x2﹣4x＝﹣4的根的情況是（）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法確定3．已知1是關(guān)于x的一元二次方程x2+x+k2﹣3k﹣6＝0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的值是（）A．4或﹣1 B．﹣4或1 C．﹣1 D．44．已知⊙O的半徑為5，點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，則OP的長(zhǎng)可能是（）A．7 B．6 C．5 D．45．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若AB的長(zhǎng)等于半徑，∠BAC＝110°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．45° D．50°6．如圖，在扇形OAB中，點(diǎn)D在OA上，點(diǎn)C在AB上，∠AOB＝∠BCD＝90°．若CD＝3，BC＝4，則⊙O的半徑為（）A．4 B．4.8 C．2 D．3二、填空題7．方程x2﹣2x＝0的解是．8．已知x1，x2是方程x2﹣3x+2＝0的實(shí)數(shù)根，則x1+x2﹣x1x2＝．9．①弦是直徑；②半圓是?。虎蹆蓚€(gè)半圓是等弧；④三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；⑤圓的內(nèi)接平行四邊形是矩形；⑥相等的弦所對(duì)的弧相等．說法正確的有（填序號(hào)）．10．在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)恰好等于半徑，弦AB所對(duì)的圓心角為．11．某企業(yè)2020年盈利3000萬(wàn)元，2022年盈利3662萬(wàn)元，該企業(yè)盈利的年平均增長(zhǎng)率不變．設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，可列出方程．12．如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝AD，∠C＝108°，點(diǎn)E在上，則∠E＝°．13．“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸長(zhǎng)一尺，問徑如何？”．問題翻譯為：如圖，現(xiàn)有圓形木材埋在墻壁里，不知木材大小，將它鋸下來測(cè)得深度CD為1寸，鋸長(zhǎng)AB為10寸，則圓材的半徑為寸．14．如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)E，＝2．若∠DEB＝69°，則的度數(shù)為°．15．如圖，⊙O與正八邊形ABCDEFGH相切于點(diǎn)A，E，則的度數(shù)為．16．在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣2，0），B（4，0），若直線y＝x+b上存在點(diǎn)P滿足45°≤∠APB≤90°且PA＝PB，則常數(shù)b的取值范圍是．三、解答題17．解方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）2x2﹣3x﹣3＝0；（3）（2x﹣1）2＝2x﹣1．18．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，CE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F，OE＝OF．求證：AC＝BD．19．關(guān)于x的方程x2﹣（m+4）x+3m+3＝0．（1）求證：不論m取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程有一個(gè)根小于2，則m的取值范圍是．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，5），B（4，5），C（6，3）．⊙M經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)．（1）點(diǎn)M的坐標(biāo)是；（2）判斷⊙M與y軸的位置關(guān)系，并說明理由．21．某商店將進(jìn)價(jià)為30元的商品按售價(jià)50元出售時(shí)，能賣500件．已知該商品每漲價(jià)1元，銷售量就會(huì)減少10件，為獲得12000元的利潤(rùn)，且盡量減少庫(kù)存，應(yīng)漲價(jià)為多少元？22．如圖，在⊙O中，AB＝AC．（1）若∠BOC＝100°，則的度數(shù)為°；（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半徑．23．請(qǐng)用兩種不同的方法證明“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”．已知：；求證：．24．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且，AE，CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，CF⊥AB交于AG于點(diǎn)F，垂足為D．（1）求證：∠CAB＝∠BCD；（2）求證：AF＝FG．25．已知⊙O．設(shè)過點(diǎn)P所畫的⊙O的兩條切線分別為PA，PB，切點(diǎn)為A，B．尺規(guī)作圖：用兩種不同的方法作一點(diǎn)P，使∠APB＝45°．（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）26．如圖①，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠D＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝m．過A，B，C三點(diǎn)的⊙O的圓心位置和半徑，隨著m的變化而變化．解決下列問題：【特殊情形】（1）如圖②，當(dāng)m＝0時(shí)，圓心O在AD上，求⊙O的半徑．【一般情形】（2）（Ⅰ）當(dāng)m＝2時(shí)，求⊙O的半徑；（Ⅱ）當(dāng)m＞0時(shí)，隨著m的增大，點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑是．（填寫序號(hào)）①射線②?、垭p曲線的一部分④不規(guī)則的曲線【深入研究】（3）如圖③，連接AC，以O(shè)為圓心，作出與CD邊相切的圓，記為小⊙O．當(dāng)小⊙O與AC相交且與BC相離時(shí)，直接寫出m的取值范圍．

2024-2025學(xué)年江蘇省南京市浦口區(qū)明發(fā)一中九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題1．【解答】解：A、含有2個(gè)未知數(shù)，不符合題意；B、為分式方程，不符合題意；C、只含有一個(gè)未知數(shù)x，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，二次項(xiàng)系數(shù)不為0，是一元二次方程，符合題意；D、含有2個(gè)未知數(shù)，不符合題意；故選：C．2．【解答】解：∵x2﹣4x＝﹣4，∴x2﹣4x+4＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，∴一元二次方程x2﹣4x＝﹣4有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．3．【解答】解：根據(jù)題意，直接把x＝1代入x2+x+k2﹣3k﹣6＝0，則12+1+k2﹣3k﹣6＝0，∴k＝4或k＝﹣1；故選：A．4．【解答】解：∵⊙O的半徑為5，點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，∴OP＜5．故選：D．5．【解答】解：連接OA、OB、OC，如圖，∵AB＝OA＝OB，∴△OAB為等邊三角形，∴∠OAB＝60°，∵∠BAC＝110°，∴∠OAC＝110°﹣60°＝50°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝50°，∴∠AOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠ABC＝∠AOC＝40°．故選：B．6．【解答】解：以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑畫圓，延長(zhǎng)CD交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，BD，如圖所示：在△BCD中，∠BCD＝90°，CD＝3，BC＝4，由勾股定理得：BD＝＝5，∵∠BCD＝90°，∴BE為⊙O的直徑，∴點(diǎn)B，O，E在同一條直線上，∴OB＝OE，∵∠AOB＝90°，∴DE＝BD＝5，在Rt△BCE中，CE＝CD+DE＝8，BC＝4，由勾股定理得：BE＝＝＝．∴OB＝OE＝BE＝．故選：C．二、填空題7．【解答】解：x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，則x＝0，x﹣2＝0，x1＝0，x2＝2．故答案為：x1＝0，x2＝2．8．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣（﹣2）＝5．故答案為：5．9．【解答】解：①弦不一定是直徑，原說法錯(cuò)誤；②半圓是弧，原說法正確；③半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧，原說法錯(cuò)誤；④經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)可以作一個(gè)圓，原說法錯(cuò)誤；⑤圓內(nèi)接平行四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，鄰角互補(bǔ)，可得對(duì)角既相等又互補(bǔ)，即平形四邊有一個(gè)內(nèi)角是90°，所以圓的內(nèi)接平行四邊形是矩形，原說法正確；⑥同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧也相等，原說法錯(cuò)誤．所以說法正確的有②⑤．故答案為：②⑤．10．【解答】解：如圖，∵AB＝OA＝OB，∴△AOB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，故答案為60°．11．【解答】解：設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意：3000（1+x）2＝3662，故答案為：3000（1+x）2＝3662．12．【解答】解：在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠C＝108°，∴∠C+∠BAD＝180°，∴∠BAD＝180°﹣108°＝72°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABD＝（180°﹣72°）＝54°，∵四邊形ABDE為圓的內(nèi)接四邊形，∴∠E+∠ABD＝180°，∴∠E＝180°﹣54°＝126°．故答案為：126．13．【解答】解：設(shè)圓材的圓心為O，延長(zhǎng)CD，交⊙O于點(diǎn)E，連接OA，如圖所示：由題意知：CE過點(diǎn)O，且OC⊥AB，則AD＝BD＝AB＝5，設(shè)圓形木材半徑為r寸，則OD＝（r﹣1）寸，OA＝r寸，∵OA2＝OD2+AD2，∴r2＝（r﹣1）2+52，解得：r＝13，∴⊙O的半徑為13寸，故答案為：13．14．【解答】解：連接OB、OD、BC，∵∠DEB＝69°，∠CEB+∠DEB＝180°，∴∠CEB＝111°，∵＝2，∴∠ABC＝2∠BCD，∵∠ABC+∠BCD+∠CEB＝180°，∴3∠BCD＝69°，∴∠BCD＝23°，∴∠BOD＝2∠BCD＝46°，∴的度數(shù)為46°，故答案為：46．15．【解答】解：如圖，連接OA、OE，∵⊙O與正八邊形ABCDEFGH相切于點(diǎn)A，E，∴∠OAH＝∠OEF＝90°，∵六邊形AHGFEO的內(nèi)角和為（6﹣2）×180°＝720°，∠H＝∠G＝∠F＝（8﹣2）×180÷8＝135°，∴∠AOE＝720°﹣90°×2﹣135°×3＝135°，∴的度數(shù)為135°，故答案為：135°．16．【解答】解：∵A（﹣2，0），B（4，0），∴AB＝6．∵PA＝PB，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，設(shè)線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C（1，0），∴OC＝1．①當(dāng)b＞0時(shí)，設(shè)直線y＝x+b交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，則D（﹣b，0），E（0，b）．∴OD＝b，OE＝b．∴∠ODE＝∠OED＝45°，DC＝OD+OC＝b+1．當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，如圖，∵PC∥OE，∴∠CPE＝∠OED＝45°．∴PC＝DC＝b+1，∵C為斜邊AB的中點(diǎn)，∴PC＝AB＝3．∴b+1＝3．∴b＝2．當(dāng)∠APB＝45°時(shí)，如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BP于點(diǎn)F，∵∠APB＝45°，∴AF＝PF．設(shè)AF＝PF＝x，則PA＝x，∵PA＝PB，∴PB＝x，∴BF＝PB﹣PF＝x．∵AF2+BF2＝AB2，∴，∴x2＝18+9．∵，∴6（b+1）＝x?x．∴b＝3+2．∵45°≤∠APB≤90°，∴2≤b≤3+2．②當(dāng)b＜0時(shí)，設(shè)直線y＝x+b交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，則D（﹣b，0），E（0，b）．∴OD＝﹣b，OE＝﹣b．∴∠ODE＝∠OED＝45°，DC＝OD+OC＝﹣b﹣1．當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，如圖，PC∥OE，∴∠CPE＝∠OED＝45°．∴PC＝DC＝﹣b﹣1，∵C為斜邊AB的中點(diǎn)，∴PC＝AB＝3．∴﹣b﹣1＝3．∴b＝﹣4．當(dāng)∠APB＝45°時(shí)，如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BP于點(diǎn)F，∵∠APB＝45°，∴AF＝PF．設(shè)AF＝PF＝x，則PA＝x，∵PA＝PB，∴PB＝x，∴BF＝PB﹣PF＝x．∵AF2+BF2＝AB2，∴，∴x2＝18+9．∵，∴6（﹣b﹣1）＝x?x．∴b＝﹣3﹣4．∵45°≤∠APB≤90°，∴﹣3﹣4≤b≤﹣4．綜上，常數(shù)b的取值范圍是：2≤b≤3+2或﹣3﹣4≤b≤﹣4．三、解答題17．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，（x+1）（x﹣5）＝0，則x+1＝0或x﹣5＝0，所以x1＝﹣1，x2＝5．（2）2x2﹣3x﹣3＝0，Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝33＞0，則x＝，所以，．（3）（2x﹣1）2＝2x﹣1，（2x﹣1）2﹣（2x﹣1）＝0，（2x﹣1）（2x﹣1﹣1）＝0，（2x﹣1）（2x﹣2）＝0，則2x﹣1＝0或2x﹣2＝0，所以．18．【解答】證明：連接OC，OD，∵CE⊥AB、DF⊥AB，∴∠OEC＝∠OFD＝90°．在Rt△OEC和Rt△OFD中，∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），∴∠AOC＝∠BOD，∴AC＝BD．19．【解答】（1）證明：b2﹣4ac＝（m+4）2﹣4（3m+3）＝（m﹣2）2，∵無論m取何值時(shí)，（m﹣2）2≥0，∴原方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2）解：x2﹣（m+4）x+3m+3＝0，（x﹣3）（x﹣m﹣1）＝0，x＝3或x＝m+1，若方程有一個(gè)根小于2，則m+1＜2，解得m＜1．綜上可知，若方程有一個(gè)根小于2，m的取值范圍為m＜1．故答案為：m＜1．20．【解答】解：（1）連接AB，BC，分別作AB，BC的垂直平分線交于點(diǎn)M，則以點(diǎn)M為圓心，以AM為半徑的圓為所求，如圖所示：根據(jù)網(wǎng)格的特征可得：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，2），故答案為：（3，2）．（2）⊙M于y軸相交，理由如下：由勾股定理得：MA＝＝，即⊙M的半徑為r＝，∵⊙M的圓心M的坐標(biāo)為（3，2），∴點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離d＝3，∵d＜r，∴⊙M于y軸相交．21．【解答】解：設(shè)應(yīng)漲價(jià)為x元，則銷售量為（500﹣10x）件，根據(jù)題意得：（50+x﹣30）（500﹣10x）＝12000，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20（不符合題意，舍去），答：應(yīng)漲價(jià)為10元．22．【解答】解：（1）∵在⊙O中，∠BOC＝100°，∴∠BAC＝50°，∵＝，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴＝130°，故答案為：130；（2）連接AO，延長(zhǎng)AO交BC于D，則AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝5，∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD＝＝＝12；在直角△OBD中，由勾股定理，得OB2＝（12﹣OB）2+52，解得OB＝，即⊙O的半徑是．23．【解答】解：已知：四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，求證：∠BAD+∠BCD＝180°，證明：方法①，如圖，連接OD，OB，∵∠A＝∠2，∠C＝∠1，∴∠BAD+∠BCD＝（∠2+∠1）＝×360°＝180°；方法②，如圖，作直徑AE，連接BE，DE，∴∠ABE＝∠ADE＝90°，∴∠BAD+∠BED＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∵∠C＝∠BED，∴∠BAD+∠BCD＝180°．24．【解答】證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴CF⊥AB于D，∴∠CAB+∠ACD＝90°，∴∠CAB＝∠BCD；（2）如圖，連接CE，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠ABC，∵∠ABC＝∠AEC，∴∠ACD＝∠AEC，∵＝，∴∠AEC＝∠CAE，∴∠CAE＝∠ACD，∴AF＝CF，∵∠ACB＝90°，∴∠CAG+∠G＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，∵∠CAG＝∠ACF，∴∠G＝∠BCF，∴CF＝FG，∴AF＝FG．25．【解答】解：如圖，點(diǎn)P即為所求．方法①：作直徑EB，CD，且CD⊥EB；作半徑OA平分∠EOD；過A，B分別作OA，OB的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．方法②：作半徑OA，過A作直線l⊥OA，以點(diǎn)A為圓心，OA為半徑畫弧交圓O于點(diǎn)C，再以點(diǎn)C為圓心，OC為半徑畫弧交直線l于點(diǎn)P，再以點(diǎn)P為圓心，AP為半徑畫弧交⊙O于點(diǎn)B，連接OB，BP，即∠APB＝45°，點(diǎn)P即為所求．26．【解答】（1）解：連接OC，在⊙O中，設(shè)OA＝OC＝r，則OD＝8﹣r．在Rt△OCD中，∠D＝90°∴OD2+CD2＝OC2，即（8﹣r）2+62＝r2．解得r＝．（2）（Ⅰ）解：過點(diǎn)O分別作OF⊥AB，OE⊥CD，連接OC，OB，∵OF過圓心，OF⊥AB，∴AF＝BF＝1．∵∠A＝∠D＝∠OFA＝90°，∴四邊形AFED是矩