專(zhuān)題09圓的相關(guān)計(jì)算問(wèn)題-2023年中考數(shù)學(xué)一模試題分項(xiàng)匯編

專(zhuān)題09圓的相關(guān)計(jì)算問(wèn)題一、單選題1．（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如果一個(gè)扇形的半徑是2，弧長(zhǎng)是，則此扇形的圓心角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求得圓心角的度數(shù).【詳解】設(shè)扇形的圓心角為n°，根據(jù)題意得：∴n=45°故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形的弧長(zhǎng)公式，熟記扇形的弧長(zhǎng)公式是關(guān)鍵.2．（2023·浙江溫州·一模）如圖，已知A、B、C、D四點(diǎn)都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四個(gè)說(shuō)法中，①＝2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)題意和垂徑定理，可以得到AC＝BD，，，然后即可判斷各個(gè)小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：∵OB⊥AC，BC＝CD，∴，，，，∴＝2，故①正確；AC＜AB+BC＝BC+CD＝2CD，故②錯(cuò)誤；OC⊥BD，故③正確；∠AOD＝3∠BOC，故④正確；故選：C．【點(diǎn)睛】考查了圓周角定理、垂徑定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系，解題關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．3．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)D是劣弧上一點(diǎn)，，連結(jié)．若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理，得到的度數(shù)為，的度數(shù)為，進(jìn)而求出的度數(shù)為，再根據(jù)，得到的度數(shù)為，從而得到，利用即可得解．【詳解】解：∵是的直徑，∴的度數(shù)為，∵，∴的度數(shù)為，，∴的度數(shù)為，∵，∴的度數(shù)為，∴，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，熟練掌握直徑所對(duì)的弧的度數(shù)為，弧所對(duì)的圓周角是弧的度數(shù)的一半，是解題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，小紅要制作一個(gè)母線長(zhǎng)為，底面圓周長(zhǎng)是的圓錐形小漏斗，若不計(jì)損耗，則她所需紙板的面積是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積底面周長(zhǎng)母線長(zhǎng)即可得到解答．【詳解】解：∵底面圓周長(zhǎng)是，母線長(zhǎng)為，∴圓錐形小漏斗的側(cè)面積，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積公式，熟記圓錐的側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，已知，的弧長(zhǎng)之差為，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．6 D．3【答案】C【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式得，，根據(jù)，的弧長(zhǎng)之差為得，進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：，，∵，的弧長(zhǎng)之差為，∴，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握弧長(zhǎng)公式．6．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，是的外接圓，AC是直徑，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，AE平分交于點(diǎn)E．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圓周角定理求得，，由角平分線的定義求得，再利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵AC是的直徑，∴，∴，∵AE平分，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．7．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，，是的半徑，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，則由圓周角定理可得．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，平行線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，，是上的兩點(diǎn)，連接，，，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題中條件和同弧所對(duì)圓周角相等和直徑所對(duì)圓周角是直角即可求出答案．【詳解】解：∵且，∴，∵是直徑，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理及其推論，掌握直徑所對(duì)圓周角是直角是解題關(guān)鍵．9．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，是弧上任意一點(diǎn)，連接，，．則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．若，則C．若，則是等腰三角形 D．若，則是等腰三角形【答案】D【分析】根據(jù)圓周角定理判定即可．【詳解】解：是的直徑，，，，，故A正確，不符合題意；，，，，，故B正確，不符合題意；若，，，，，是等腰三角形，故C正確，不符合題意；由，不能推出是等腰三角形，故D錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟記圓周角定理是解題的關(guān)鍵．10．（2023·浙江舟山·校考一模）如圖，⊙O的直徑垂直弦于點(diǎn)E，且，，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根據(jù)，，得出半徑為5，在直角中，由勾股定理得，根據(jù)垂徑定理得出的長(zhǎng)．【詳解】解：，，直徑，半徑，，，，為直角三角形，為直徑，，根據(jù)垂徑定理故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理，利用垂徑定理得出是解題的關(guān)鍵．11．（2023·浙江舟山·校聯(lián)考一模）如圖，矩形中，，F(xiàn)是中點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，為半徑作弧交于點(diǎn)E，以點(diǎn)B為圓心，為半徑作弧交于點(diǎn)G，則圖中陰影部分面積的差為（

）A． B． C． D．6【答案】A【分析】根據(jù)圖形可以求得的長(zhǎng)，然后根據(jù)圖形即可求得的值．【詳解】解：∵在矩形中，，F(xiàn)是中點(diǎn)，∴，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．12．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）在數(shù)軸上，點(diǎn)A所表示的實(shí)數(shù)為4，點(diǎn)B所表示的實(shí)數(shù)為b，的半徑為2，要使點(diǎn)B在內(nèi)時(shí)，實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】要使點(diǎn)B在內(nèi)，則，即，求解即可．【詳解】解：要使點(diǎn)B在內(nèi)，則，即解得，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．13．（2023·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為的直徑，弦于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角得出∠AOF=180°65°=115°，利用四邊形內(nèi)角和得出∠DCB=65°，結(jié)合圓周角定理及鄰補(bǔ)角進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵∠BOF=65°，∴∠AOF=180°65°=115°，∵CD⊥AB，OF⊥BC，∴∠DCB=360°90°90°115°=65°，∴∠DOB=2×65°=130°，∴∠AOD=180°130°=50°，故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查鄰補(bǔ)角的計(jì)算及圓周角定理，四邊形內(nèi)角和等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．14．（2023·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”，即通過(guò)圓內(nèi)接正多邊形割圓，從正六邊形開(kāi)始，每次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形，…．邊數(shù)越多割得越細(xì)，正多邊形的周長(zhǎng)就越接近圓的周長(zhǎng)．再根據(jù)“圓周率等于圓周長(zhǎng)與該圓直徑的比”來(lái)計(jì)算圓周率．設(shè)圓的半徑為R，圖1中圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)，則．再利用圖2圓的內(nèi)接正十二邊形計(jì)算圓周率，首先要計(jì)算它的周長(zhǎng)，下列結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出正多邊形的中心角，利用三角形周長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】解：∵十二邊形是正十二邊形，∴，∵于M，又，∴，∵正邊形的周長(zhǎng)，∴圓內(nèi)接正十二邊形的周長(zhǎng)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓、等腰三角形的性質(zhì)，求出正十二邊形的周長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．15．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）用破損量角器按如圖方式測(cè)量的度數(shù)，讓的頂點(diǎn)恰好在量角器圓弧上，兩邊分別經(jīng)過(guò)圓弧上的A，C兩點(diǎn)．若點(diǎn)A，C對(duì)應(yīng)的刻度分別為，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，連接設(shè)的直徑為，可求出，即可得，進(jìn)一步可求出．【詳解】解：連接設(shè)的直徑為，如圖，∵∴，∴，∵，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出圓周角定理模型是解題的關(guān)鍵．16．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，一個(gè)鐘擺的擺長(zhǎng)為米，當(dāng)鐘擺向兩邊擺動(dòng)時(shí)，擺角為，且兩邊的擺動(dòng)角度相同，則它擺至最高位置與其擺至最低位置時(shí)的高度之差為（

）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【分析】由題可知，秋千擺到最低點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)為弧的中心，由垂徑定理知，．再根據(jù)銳角三角函數(shù)解三角形求得即可．【詳解】解：∵點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，為圓心，由垂徑定理知，，，∵，∴，∵，在中，由三角函數(shù)可得，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和銳角三角函數(shù)，根據(jù)題意將實(shí)際問(wèn)題抽象為幾何問(wèn)題，再利用垂徑定理和銳角三角函數(shù)解三角形是解此題的關(guān)鍵．17．（2023·浙江杭州·校聯(lián)考一模）如圖，在中，是直徑，是弦．若＝（

）A．40° B．44° C．45° D．46°【答案】D【分析】先根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為可得，再結(jié)合可得,最后根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等即可解答．【詳解】解：∵在中，是直徑∴∵∴．∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、同弧所對(duì)的圓周角相等等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)成為解答本題的關(guān)鍵．18．（2023·浙江寧波·校考一模）如圖，從一個(gè)邊長(zhǎng)是10的正五邊形紙片上剪出一個(gè)扇形（陰影部分），將剪下來(lái)的扇形圍成一個(gè)圓錐，這個(gè)圓錐的底面半徑為（

）A．1 B．3 C． D．2【答案】B【分析】先求出正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)，可求出底面半徑．【詳解】解：五邊形是正五邊形，，則弧的長(zhǎng)為，即圓錐底面周長(zhǎng)為，設(shè)圓錐底面半徑為r，則，∴，圓錐底面半徑為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，扇形弧長(zhǎng)及圓錐底面半徑，掌握扇形弧長(zhǎng)、圓周長(zhǎng)的計(jì)算方法是正確解決問(wèn)題的關(guān)鍵．19．（2023·浙江舟山·統(tǒng)考一模）如圖，圓O是的外接圓，，，過(guò)點(diǎn)C作圓O的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先連接，由，可求得的度數(shù)，由是圓O的切線，可得，繼而求得答案．【詳解】解：連接，∵圓O是的外接圓，，∴是直徑，∵，∴，∵是圓O的切線，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，所以此類(lèi)題若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．20．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，過(guò)的圓心，交于點(diǎn)A、B，是的切線，點(diǎn)C是切點(diǎn)，已知，．則的周長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵是的切線，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，解得，∴，∴的周長(zhǎng)為：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題21．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的半徑為，圓心角為，則該圓錐的底面半徑長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】【分析】設(shè)這個(gè)圓錐的底面半徑為，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)和弧長(zhǎng)公式得到，然后解方程求出即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)圓錐的底面半徑為，根據(jù)題意得：，解得：，∴這個(gè)圓錐的底面半徑長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．掌握?qǐng)A錐的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．22．（2023·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，連結(jié)，若，則______度．【答案】20【分析】由，再結(jié)合圓周角定理，即可計(jì)算的大小．【詳解】∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴．故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）傳統(tǒng)服飾日益受到關(guān)注，如圖1為明清時(shí)期女子主要裙式之一的馬面裙，如圖2馬面裙可以近似地看作扇環(huán)，其中長(zhǎng)度為米，長(zhǎng)度為米，圓心角，則裙長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】米/米【分析】由題意知，，，計(jì)算求解的值，然后根據(jù)計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知，，，解得，，∴，故答案為：米或米．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的弧長(zhǎng)公式．解題的關(guān)鍵在于正確的計(jì)算．24．（2023·浙江杭州·杭州育才中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，為的直徑，C、D是上的兩點(diǎn)，，，則的度數(shù)為_(kāi)_______．【答案】【分析】連接，利用圓周角定理得到，根據(jù)，，可得，即可．【詳解】連接，如圖，∵為的直徑，∴，∵，∵，，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑．25．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖是一個(gè)圓錐形冰淇淋外殼不計(jì)厚度，已知其母線長(zhǎng)為，底面圓半徑為，則這個(gè)冰淇淋外殼的側(cè)面積等于______（結(jié)果保留）．【答案】【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式求出圓錐底面圓的周長(zhǎng)，得到圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：底面圓的半徑為，底面圓的周長(zhǎng)為，即圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)為，這個(gè)冰淇淋外殼的側(cè)面積，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是圓錐的計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形是解決本題的關(guān)鍵．26．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形內(nèi)接于半徑為1的，則的長(zhǎng)為_(kāi)____________．【答案】/【分析】先求出，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接，由題意得，，即，∴的長(zhǎng)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓和弧長(zhǎng)公式，正確求出是解題的關(guān)鍵．27．（2023·浙江衢州·衢州巨化中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)A在半圓O上，BC為直徑．若∠ABC=30°，BC=3，則的長(zhǎng)是___________．【答案】【分析】根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系可求出的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴由弧長(zhǎng)公式得，的長(zhǎng)為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、求弧長(zhǎng)等知識(shí)，熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵．28．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，切于點(diǎn)C，若，則的度數(shù)為_(kāi)_________．【答案】/度【分析】如圖所示，連接，利用切線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，即可利用圓周角定理求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示，連接，∵是的切線，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，熟知切線的性質(zhì)與圓周角定理是解題的關(guān)鍵．29．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，線段AB是的直徑，弦，垂足為H．點(diǎn)M是上任意一點(diǎn)，，則的值為_(kāi)_________．【答案】/0.6【分析】因?yàn)榫€段AB是的直徑，弦，故，在中，利用勾股定理求出OC的長(zhǎng)，求出，根據(jù)，得到，故可得．【詳解】解：連接OC，OD，∵線段AB是的直徑，弦，∴，∴在中，，，設(shè)OC為x，由勾股定理可得：，解得：，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理與同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系，相同大小的角的三角函數(shù)值相同，是解答本題的關(guān)鍵．30．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，已知的直徑AB為8，點(diǎn)M是外一點(diǎn)，若MB是的切線，B為切點(diǎn)，且，Q為上一動(dòng)點(diǎn)，則MQ的最小值為_(kāi)_____．【答案】1【分析】連接OM，交⊙O于Q，此時(shí)MQ值最小，根據(jù)BM是⊙O的切線，所以O(shè)B⊥BM，即可由勾股定理求出OM=5，即可由MQ=OOMOQ求解．【詳解】解：連接OM，交⊙O于Q，此時(shí)MQ值最小，∵BM是⊙O的切線，∴OB⊥BM，∵的直徑AB=8，∴OQ=OB=4，∵BM=3，由勾股定理，得OM=5，∴MQ=OMOQ=54=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，勾股定理，連接OM，交⊙O于Q，得出此時(shí)MQ值最小是解題的關(guān)鍵．31．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，，點(diǎn)O在邊AB上，與邊AC相切于點(diǎn)D，交邊AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接FD，則等于______．【答案】/27度【分析】連接，由與邊相切于點(diǎn)，得，從而可求出，即可得．【詳解】解：連接，如圖：與邊相切于點(diǎn)，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求圓中的角，涉及圓的切線的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)，求出．32．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D，在中，，，．的半徑長(zhǎng)為2，是邊上一動(dòng)點(diǎn)（可以與頂點(diǎn)重合），并且點(diǎn)到的切線長(zhǎng)為．若滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的位置有4個(gè)，則的取值范圍是_____．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作切于點(diǎn)，連接，由勾股定理可得，再利用面積法求得，然后根據(jù)勾股定理可得；作切于點(diǎn)，求得；觀察圖形可知，點(diǎn)的位置有4個(gè)需要滿(mǎn)足的條件是，即的取值范圍是．【詳解】解：如下圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作切于點(diǎn)，連接，則，∵，，，∴，∵，即，∴，∵是切線，∴，即，∴，作切于點(diǎn)，則，，∴，∴，觀察圖形可知，點(diǎn)的位置有4個(gè)需要滿(mǎn)足的條件是，∴的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、利用面積法求線段的長(zhǎng)度等知識(shí)，正確作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．33．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖1是一款軸對(duì)稱(chēng)“磁懸浮地漏”無(wú)水時(shí)的示意圖，它由一個(gè)圓弧形密封蓋與兩個(gè)磁體組成（下側(cè)磁體固定不動(dòng)），連接桿與地面垂直，排水口，密封蓋最高點(diǎn)到地面的距離為，整個(gè)地漏的高度（為磁體底部中點(diǎn)），密封蓋被磁體頂起將排水口密封，所在圓的半徑為_(kāi)__________；當(dāng)有水時(shí)如圖2所示，密封蓋下移排水，當(dāng)密封蓋下沉至最低處時(shí)，點(diǎn)恰好落在中點(diǎn)，若點(diǎn)到的距離為，則密封蓋下沉的最大距離為_(kāi)__________．【答案】【分析】①根據(jù)已知條件得到直角三角形，再利用勾股定理得到的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到半徑；②利用三角形中位線的性質(zhì)得到，再利用勾股定理及矩形的性質(zhì)得到密封蓋下沉的最大距離．【詳解】解：①設(shè)作圓心，連接交于點(diǎn)，設(shè)，∵最高點(diǎn)到地面的距離為，∴，∵，∴，∴在中，，∵，∴，∴，∴，故答案為：．②作，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，∵，∴，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，∵為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，∵，，∴，∴，∵點(diǎn)到的距離為，∴，∵，回到圖，作，由勾股定理得：，∴移動(dòng)前到地面的距離為：，∵移動(dòng)的距離為密蓋下沉的距離，∴，∴密封蓋下沉的最大距離為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．34．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖1是我國(guó)明末《割圓八線表》中所繪的割圓八線圖，如圖2，將圖1中的丙、戊、乙、庚、辛、丁點(diǎn)分別表示，，，，，，扇形的圓心角為90°，半徑為，，分別切于點(diǎn)，點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】/【分析】由切線的性質(zhì)得到，再由推出，得到，即可推出，解，求出，進(jìn)而得到，由是切線，得到，解，得到，則．【詳解】解：∵是切線，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴在中，，∴，∵，∴，∵是切線，∴，∴在中，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)與判定，推出是解題的關(guān)鍵．35．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）圖1是小文家的木馬玩具，圖2是木馬玩具底座水平放置的示意圖，點(diǎn)是所在圓的圓心，，點(diǎn)，點(diǎn)離地高度均為，水平距離．則___________．當(dāng)半徑轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，木馬就有翻倒的風(fēng)險(xiǎn)，為安全起見(jiàn)，點(diǎn)離地高度應(yīng)小于____________．【答案】【分析】根據(jù)垂徑定理構(gòu)造直角三角形即可得到的長(zhǎng)度；根據(jù)題意做出示意圖再利用勾股定理列出方程即可．【詳解】解：連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，如圖，∵，，∴，∵點(diǎn)，點(diǎn)離地高度均為，∴，∴在中，，∴，∴，故答案為；過(guò)點(diǎn)作，垂直于地面，垂足分別是，如圖，∵，設(shè)，，∴，∴在中，，在中，，∴，∴．∴則點(diǎn)離地面的高度應(yīng)小于．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解一元一次方程等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，熟記垂徑定理是解題的關(guān)鍵．36．（2023·浙江寧波·校考一模）如圖，P是矩形對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，長(zhǎng)為半徑作．若且，當(dāng)與矩形的邊相切時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】或【分析】由銳角的正切求出的長(zhǎng)，分兩種情況，由相似三角形的性質(zhì)即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：由題意知只能與，相切，作與M，于N，∵，∴令，∴，∴，∴，，當(dāng)與相切時(shí)，，∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；當(dāng)與相切時(shí)，，∵，∴，∴，∵，∴，∴．∴的長(zhǎng)是或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是要分兩種情況討論．37．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，在中，直徑，延長(zhǎng)至，使，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則線段的最大值為_(kāi)__________．【答案】/【分析】過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線，在垂線上截取，連接DF，從而可證，進(jìn)而得到，將求線段OE的最大值轉(zhuǎn)化為求FD的最大值，然后結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求出最大值即可．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線，在垂線上截取，連接DF，∴，∴，∵繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，在和中，，∴，∴，連接FO，并延長(zhǎng)FO交圓于點(diǎn)H，F(xiàn)H即為FD最大值，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，將OE轉(zhuǎn)化為其他線段進(jìn)而求最大值．38．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，且EC＝ED，在上取點(diǎn)G，連接GC，GD，AD．若，長(zhǎng)為，則CD＝_________．【答案】6【分析】連接OC，OD，，圓周角定理求得∠COD＝120°，由OC＝OD，得到△OCD是等腰三角形，根據(jù)EC＝ED，等腰三角形三線合一得到OE⊥CD，∠COE＝∠DOE＝∠COD＝60°，根據(jù)長(zhǎng)為求得圓的半徑r＝6，在Rt△ODE中，利用解直角三角形進(jìn)一步即可得到CD．【詳解】解：連接OC，OD，∵，∴∠COD＝2∠G＝120°，∵OC＝OD，∴△OCD是等腰三角形，∵EC＝ED，∴OE⊥CD，∠COE＝∠DOE＝∠COD＝60°，設(shè)的半徑為r，∵的長(zhǎng)＝，∴r＝6，在Rt△ODE中，∠OED＝90°，OD＝6，∠DOE＝60°，∵，∴ED＝ODsin∠DOE＝6×sin60°＝3，∴EC＝ED＝3，∴CD＝EC＋ED＝6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式等，求出的半徑是解題的關(guān)鍵．39．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O與△OAB的邊AB相切、切點(diǎn)為B．將△OAB繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△O'A'B，使點(diǎn)O落在⊙O上，邊A'B交線段AO于點(diǎn)C．若∠A'＝27°，則∠OCB＝_____度．【答案】87【分析】連接OO'，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB⊥OB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到OB＝OO'，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠OBO'＝60°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【詳解】解：連接OO'，∵⊙O與△OAB的邊AB相切，∴AB⊥OB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠O'BA'＝∠OBA＝90°，BO＝BO'，∵OB＝OO'，∴OB＝O'B＝OO'，∴△OBO'為等邊三角形，∴∠OBO'＝60°，∴∠ABC＝60°，∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝27°+60°＝87°，故答案為：87．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題關(guān)鍵40．（2023·浙江溫州·?？家荒＃┤鐖D，直線與雙曲線交于點(diǎn)A，B，C為x軸正半軸上一點(diǎn)，且，P為半徑為1的上一點(diǎn)，E為的中點(diǎn)．若的最小值為2，則此時(shí)k的值為_(kāi)_____．【答案】8【分析】連接AP，可得OE是的中位線，當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時(shí)，AP的最小值為4，此時(shí)，點(diǎn)P為AC與的交點(diǎn)，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：連接AP，∵直線與雙曲線交于點(diǎn)A，B，∴點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∵E為的中點(diǎn)，∴OE是的中位線，∴AP=2OE，∴當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時(shí)，AP的最小值為4，此時(shí)，點(diǎn)P為AC與的交點(diǎn)，即：AC=4+1=5，∵，即：C(5，0)，∴設(shè)A(x，2x)，則，解得：x1=2，x2=0（舍去），∴A(2，4)，∴k=2×4=8．故答案是：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的中位線，熟練掌握?qǐng)A外一個(gè)點(diǎn)到圓上距離的最小的點(diǎn)為圓外一點(diǎn)與圓心的連線與圓的交點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．三、解答題41．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，為上的一點(diǎn)，以為直徑的半圓與交于點(diǎn)，且切于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，推出，由平行線的性質(zhì)以及半徑相等即可推得結(jié)論；（2）連接，根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）證明：連接，∵切于點(diǎn)，∴，即，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴；（2）解：連接，∵，，∴，∵，∴、都為等邊三角形，，∴，∴，∵，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查的是切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．42．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考一模）如圖，在等腰中，，以為直徑作交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作的切線交于點(diǎn)E．(1)求證:．(2)若，，求陰影部分面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）連接，，如圖，∵為直徑，∴，∵，∴D為的中點(diǎn)，∴為中位線，∴，∵是的切線，∴，∴；（2）∵，，∴，，∴，∵，，∴，，∴，，即：，∴，，，∵O點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，扇形的面積公式，解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．43．（2023·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)用尺規(guī)作三角形的外接圓（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡），并求此外接圓的半徑．【答案】(1)(2)圖見(jiàn)解析，【分析】（1）作于點(diǎn)H，則，在中，求得，，在中，，即可得到的長(zhǎng)；（2）作線段和的垂直平分線相交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，則即為三角形的外接圓，連接，則，由，根據(jù)圓周角定理得到，則是等腰直角三角形，由即可得到．【詳解】（1）解：作于點(diǎn)H，則，在中，，，∴，，在中，，∴，∴，即的長(zhǎng)為；（2）如圖，即為三角形的外接圓，連接，則，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴，即此外接圓的半徑為．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形、圓周角定理、三角形的外接圓等知識(shí)，熟練掌握解直角三角形和圓周角定理是解題的關(guān)鍵．44．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）如圖，內(nèi)接于半圓，已知是半圓的直徑．，平分，分別交半圓和于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)連接交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于得到，再根據(jù)垂直定義得到及角平分線即可得到即可解答；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及等邊對(duì)等角即可得到，再利用垂直平分線的定義及等邊三角形的判定即可得到是等邊三角形，最后利用弧長(zhǎng)公式即可解答．【詳解】（1）證明：∵是半圓的直徑，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴垂直平分，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴的長(zhǎng)為:，【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，直角三角形的性質(zhì)，垂直平分線的定義，等腰三角形的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，弧長(zhǎng)公式，掌握直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．45．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，是上一點(diǎn)，，以為直徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】（1）連接，先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，從而可得，然后根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可得證；（2）連接，先證出，再根據(jù)三角形中位線定理可得，然后根據(jù)正切的定義設(shè)，則，，，最后在中，利用勾股定理求出的值，由此即可得．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵是切線，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（2）解：如圖，連接，∵，∴，即，∵是直徑，∴，∵，∴，∴，即，∴（三角形的中位線定理），∵，，設(shè)，則，，，在中，，即，解得或（不符合題意，舍去），則．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、圓周角定理、正切、勾股定理、三角形的中位線定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．46．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，弦于點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，，求．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得出，進(jìn)而得出，再根據(jù)“弧，弦，圓心角之間的關(guān)系”得出，然后結(jié)合平行線的性質(zhì)得出，最后根據(jù)“等角對(duì)等邊”得出答案；（2）作，可知，根據(jù)“弦，弧，圓心角之間的關(guān)系”得，進(jìn)而得出，設(shè)，表示，，再表示，然后根據(jù)勾股定理得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得，結(jié)合，根據(jù)得出比例式，并求出a值，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵為的直徑，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴；（2）過(guò)點(diǎn)O作，垂足為點(diǎn)M．則，∵，∴，∴．∵，∴，∵，可設(shè)，則，，∵為的直徑，，∴，由勾股定理可得．∵，，

∴，．∴，即，解得，∴．【點(diǎn)睛】這是一道關(guān)于圓的綜合問(wèn)題，考查了垂徑定理，勾股定理，弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，解直角三角形，兩直線平行，同位角相等，構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．47．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）問(wèn)題：如圖，在中，，，在延長(zhǎng)線上，于點(diǎn)，過(guò)，，三點(diǎn)的交于點(diǎn)，連結(jié)，．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．思路：小明在探索該問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)，于是作于點(diǎn)，然后分步求解．（1）設(shè)，用的代數(shù)式分別表示和．（2）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值．請(qǐng)完成上述各步驟的解答．拓展：小明發(fā)現(xiàn)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)始終落在上，于是他設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題：“當(dāng)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰為的中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)”，請(qǐng)完成該題的解答．【答案】思路：（1），（2）或或拓展：【分析】思路：（1）作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，由等腰三角形三線合一可得，，可知四邊形為矩形，得，，再證，則，即可得．（2）由，則，可得，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，分三種情況：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，求解方程即可．拓展：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)可知，易得，，，進(jìn)而得，由，可得，可求得，即可根據(jù)求得結(jié)果．【詳解】解：思路：（1）作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，∵，，，∴，，∵，，∴四邊形為矩形，則，，，又∵，∴，則，∴，則，（2）由（1）可知，，則，∴，則，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，，∴，解得：，即：．②當(dāng)時(shí)，∵，∴，即：，解得：，即：．③當(dāng)時(shí)，∵，∴，即：，解得：（負(fù)值舍去），即：．綜上：或或．拓展：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)可知，∵對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，則，∴，又∵，，，∴，，，∴，∵，∴，則，則，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，矩形的判定及性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．48．（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，是的切線，切點(diǎn)為B，連接PO，過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)A，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，的半徑為3，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)AC的長(zhǎng)為【分析】（1）連接，證明，可得，由是的切線，可得，進(jìn)而可證結(jié)論成立；（2）連接交于點(diǎn)D，可證垂直平分，設(shè)，利用勾股定理求出x的值，由圓周角定理可知，再利用勾股定理可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）連接．∵，∴．∵，∴，∴，∵，∴，∴．∵是的切線，∴，∴，∴是的切線；（2）連接交于點(diǎn)D．∵的半徑為3，∴．∵，∴，∵，∴垂直平分，∵，∴設(shè)，∵，∴，解得，∴，∵，∴，∴，∴．∵是的直徑，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)的知識(shí)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．49．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，是半圓O的直徑，，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D，連接并延長(zhǎng)交半圓O的切線于點(diǎn)E．過(guò)點(diǎn)A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）由切線的性質(zhì)得到，推出，據(jù)此即可證明結(jié)論；（2）證明，推出，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）證明：∵是切線，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵，∴，∴．∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴．∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形和判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．50．（2023·浙江舟山·校聯(lián)考一模）如圖1，已知中，，，，點(diǎn)在上，連結(jié)，作，交的外接圓于點(diǎn)，連結(jié)和．(1)求證：．在思考的過(guò)程中，小潯同學(xué)得到了如下思維分析圖：請(qǐng)根據(jù)上述思維分析圖，寫(xiě)出完整證明過(guò)程．(2)如圖2，若點(diǎn)是中點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②是否存在的值，使得恰好是的直徑，若存在，請(qǐng)求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①；②存在，【分析】（1）根據(jù)，可得，再由，可得，從而得到，再由圓周角定理，即可求證；（2）①根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，可得，從而得到，再證明，即可求解；②先證明四邊形是矩形，可得，，再由，可得，然后在中，根據(jù)勾股定理，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴．（2）①解：∵，，，∴，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴是直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴；②解：∵是直徑，∴，∵，，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合題，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．51．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于，，與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，交于點(diǎn)E．(1)求證：是的切線．(2)連接，若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)4【分析】（1）如圖所示，連接，連接并延長(zhǎng)交于F，根據(jù)等邊對(duì)等角得到，再證明，得到，由，得到，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得，即可證明，從而證明是的切線；（2）由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得，，再由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)推出，，得到，解，求出，則，即可得到．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，連接并延長(zhǎng)交于F，∵，∴，∵內(nèi)接于，∴，∴，∵，∴，∴，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得，∴，即，又∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得，，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，銳角三角函數(shù)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．52．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在等腰三角形中，，為底邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，交于點(diǎn)，．(1)與的位置關(guān)系為_(kāi)______；(2)求證：是的切線；(3)如圖2，連接，，，求的直徑．(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位．參考數(shù)據(jù)：)【答案】(1)相切(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用直線與圓的相切的定義解答即可；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，通過(guò)證明，利用直線與圓相切的定義解答即可；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求得，再利用垂徑定理和直角三角形的邊角關(guān)系定理求得圓的半徑，則圓的直徑可求．【詳解】（1）解：，點(diǎn)為圓心，為半徑，圓心到直線的距離等于圓的半徑，為的切線，與的位置關(guān)系為相切，故答案為：相切；（2）證明：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，如圖，，為底邊的中點(diǎn)，為的平分線，，，，為的半徑，為的半徑，是的切線；（3）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，，，，，．，，，，為的平分線，．在中，，∴的直徑．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，垂徑定理，圓的切線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，三角形的內(nèi)角和定理，過(guò)圓心作直線的垂線段是解決此類(lèi)問(wèn)題常添加的輔助線，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．53．（2023·浙江溫州·?？家荒＃┤鐖D，在中，，點(diǎn)在上，以為半徑作半圓，與相切于點(diǎn)，與，分別交于點(diǎn)，．(1)求證：平分．(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，繼而得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)半徑相等以及等邊對(duì)等角得出，等量代換即可得證；（2）連接，設(shè)圓的半徑是，勾股定理求得，證明，得出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：連接，半圓與相切于點(diǎn)，，，，，，，，平分．（2）解：連接，設(shè)圓的半徑是，，，，，，，，，：：，：：，，是圓的直徑，，，，，：：，：：，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．54．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，為弦，且于E，F(xiàn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，恰好平分．(1)求證：與相切；(2)連接，若，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)，得出，從而得出，證明，，從而得出，得出，即可以證明結(jié)論；（2）先求出，得出為等邊三角形，，，證明，得出，即可得出答案．【詳解】（1）解：連接，如圖所示：∵，∴，∴，∵恰好平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴與相切；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．55．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知銳角三角形內(nèi)接于，于點(diǎn)D，連接．(1)若，①求證：．②當(dāng)時(shí)，求面積的最大值．(2)點(diǎn)E在線段上，．連接，設(shè)（m，n是正數(shù)），若，試探索m、n之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②(2)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）①連接、，則，即可求解；②長(zhǎng)度為定值，面積的最大值，要求邊上的高最大，即可求解；（2）設(shè)，則，，，，即可求解．【詳解】（1）解：①連接、，∵，∴是等腰三角形，∵，∴，∴，，；②∵，，∴，∴，∵長(zhǎng)度為定值，∴面積的最大值，要求邊上的高最大，當(dāng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)，最大，即：，∴面積的最大值；（2）解：，證明如下：如圖2，連接，，設(shè)，則，，則，，，，∴，∴，即：，化簡(jiǎn)得：．【點(diǎn)睛】本題為圓的綜合運(yùn)用題，還涉及到勾股定理、角直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，其中（2），是本題容易忽視的地方．56．（2023·浙江杭州·校聯(lián)考一模）如圖，以四邊形的對(duì)角線為直徑作圓，圓心為，過(guò)點(diǎn)A作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，已知平分．(1)求證：是的切線．(2)若，，求的半徑和的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)的半徑為，【分析】(1)根據(jù)等邊對(duì)等角得出，進(jìn)而得出，證得，從而證得，即可證得結(jié)論；(2)過(guò)點(diǎn)O作，垂足為點(diǎn)F，從而證得四邊形是矩形，得出，根據(jù)垂徑定理得出，在中，根據(jù)勾股定理即可求得的半徑，即可求得的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可求得的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：連接，，，平分，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：如圖：過(guò)點(diǎn)O作，垂足為點(diǎn)F，，，四邊形是矩形，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，熟練掌握性質(zhì)定理，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．57．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，已知AB是的直徑，為的內(nèi)接三角形，C為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD，于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，．(1)求證：CD是的切線．(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）連接OD，根據(jù)垂直定義可得∠AEO＝90°，從而可得∠OAD＋∠AOF＝90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠OAD＝∠ODA，從而可得∠ADC＋∠ODA＝90°，進(jìn)而可得∠ODC＝90°，即可得證；（2）在Rt中，由可得∠C＝30°，然后證明是等邊三角形，解直角三角形求出AD＝2，可得OD＝2，再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接OD，∵OF⊥AD，∴∠AEO＝90°，∴∠OAD＋∠AOF＝