第二十二講與圓有關(guān)的計(jì)算

第二十二講與圓有關(guān)的計(jì)算命題點(diǎn)1扇形的相關(guān)計(jì)算類型一弧長的計(jì)算1．（2022?丹東）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，連接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，則的長為（）A．6π B．2π C．π D．π【答案】D【解答】解：∵直徑AB＝6，∴半徑OB＝3，∵圓周角∠A＝30°，∴圓心角∠BOC＝2∠A＝60°，∴的長是＝π，故選：D．2．（2022?廣西）如圖，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α，得到△AB′C′，連接B′C并延長交AB于點(diǎn)D，當(dāng)B′D⊥AB時(shí)，的長是（）A．π B．π C．π D．π【答案】B【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝DB＝AB′．∴∠AB′D＝30°，∴α＝30°，∵AC＝4，∴AD＝AC?cos30°＝4×＝2，∴，∴的長度l＝＝π．故選：B．3.（2022?甘肅）如圖，一條公路（公路的寬度忽略不計(jì)）的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ǎc(diǎn)O是這段弧所在圓的圓心，半徑OA＝90m，圓心角∠AOB＝80°，則這段彎路（）的長度為（）A．20πm B．30πm C．40πm D．50πm【答案】C【解答】解：∵半徑OA＝90m，圓心角∠AOB＝80°，∴這段彎路（）的長度為：＝40π（m），故選：C．類型二扇形面積的計(jì)算4．（2022?湖北）一個扇形的弧長是10πcm，其圓心角是150°，此扇形的面積為（）A．30πcm2 B．60πcm2 C．120πcm2 D．180πcm2【答案】B【解答】解：根據(jù)題意可得，設(shè)扇形的半徑為rcm，則l＝，即10π＝，解得：r＝12，∴S＝＝＝60π（cm2）．故選：B．5．（2021?柳州）如圖所示，點(diǎn)A，B，C對應(yīng)的刻度分別為1，3，5，將線段CA繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A首次落在矩形BCDE的邊BE上時(shí)，記為點(diǎn)A′，則此時(shí)線段CA掃過的圖形的面積為（）A．4 B．6 C． D．【答案】D【解答】解：由題意，知AC＝4，BC＝4﹣2＝2，∠A′BC＝90°．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得A′C＝AC＝4．在Rt△A′BC中，cos∠ACA′＝＝．∴∠ACA′＝60°．∴扇形ACA′的面積為＝π．即線段CA掃過的圖形的面積為π．故選：D．命題點(diǎn)２與扇形有關(guān)的陰影部分面積計(jì)算類型一直接和差法6．（2022?貴港）如圖，在?ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝45°，以點(diǎn)A為圓心、AD為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E，連接CE，若AB＝3，則圖中陰影部分的面積是．【答案】5﹣π【解答】解：過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，∵AD＝AB，∠BAD＝45°，AB＝3，∴AD＝×3＝2，∴DF＝ADsin45°＝2×＝2，∵AE＝AD＝2，∴EB＝AB?AE＝，∴S陰影＝S?ABCD?S扇形ADE?S△EBC＝3×2﹣﹣××2＝5﹣π，故答案為：5﹣π．7．（2022?河南）如圖，將扇形AOB沿OB方向平移，使點(diǎn)O移到OB的中點(diǎn)O′處，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，則陰影部分的面積為．【答案】+【解答】解：如圖，設(shè)O′A′交于點(diǎn)T，連接OT．∵OT＝OB，OO′＝O′B，∴OT＝2OO′，∵∠OO′T＝90°，∴∠O′TO＝30°，∠TOO′＝60°，∴S陰＝S扇形O′A′B′﹣（S扇形OTB﹣S△OTO′）＝﹣（﹣×1×）＝+．故答案為：+．8．（2022?貢井區(qū)模擬）如圖，正六邊形的邊長為2，分別以正六邊形的六條邊為直徑向外作半圓，與正六邊形的外接圓圍成的6個月牙形的面積之和（陰影部分面積）是．【答案】（6﹣π）【解答】解：6個月牙形的面積之和＝3π﹣（22π﹣6××2×）＝6﹣π，故答案為：6﹣π．類型二構(gòu)造和差法9．（2021?寧夏）如圖，已知⊙O的半徑為1，AB是直徑，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AB的長為半徑畫弧．兩弧相交于C、D兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：連接BC，如圖，由作法可知AC＝BC＝AB＝2，∴△ACB為等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∴S弓形BC＝S扇形BAC﹣S△ABC，∴圖中陰影部分的面積＝4S弓形BC+2S△ABC﹣S⊙O＝4（S扇形BAC﹣S△ABC）+2S△ABC﹣S⊙O＝4S扇形BAC﹣2S△ABC﹣S⊙O＝4×﹣2××22﹣π×12＝π﹣2．故選：A．10．（2021?興安盟）如圖，兩個半徑長均為的直角扇形的圓心分別在對方的圓弧上，扇形CFD的圓心C是的中點(diǎn)，且扇形CFD繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，半徑AE、CF交于點(diǎn)G，半徑BE、CD交于點(diǎn)H，則圖中陰影面積等于（）A． B． C．π﹣1 D．π﹣2【答案】D【解答】解：兩扇形的面積和為：＝π，過點(diǎn)C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分別為M、N，則四邊形EMCN是矩形，∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴EC平分∠AEB，∴CM＝CN，∴矩形EMCN是正方形，∵∠MCG+∠FCN＝90°，∠NCH+∠FCN＝90°，∴∠MCG＝∠NCH，在△CMG與△CNH中，，∴△CMG≌△CNH（ASA），∴中間空白區(qū)域面積相當(dāng)于對角線是的正方形面積，∴空白區(qū)域的面積為：××＝1，∴圖中陰影部分的面積＝兩個扇形面積和﹣2個空白區(qū)域面積的和＝π﹣2．故選：D．11．（2022?資陽）如圖．將扇形AOB翻折，使點(diǎn)A與圓心O重合，展開后折痕所在直線l與交于點(diǎn)C，連接AC．若OA＝2，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：連接CO，直線l與AO交于點(diǎn)D，如圖所示，∵扇形AOB中，OA＝2，∴OC＝OA＝2，∵點(diǎn)A與圓心O重合，∴AD＝OD＝1，CD⊥AO，∴OC＝AC，∴OA＝OC＝AC＝2，∴△OAC是等邊三角形，∴∠COD＝60°，∵CD⊥OA，∴CD＝＝＝，∴陰影部分的面積為：＝﹣，故選：B．12．（2022?赤峰）如圖，AB是⊙O的直徑，將弦AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到AD，此時(shí)點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)D落在AB上，延長CD，交⊙O于點(diǎn)E，若CE＝4，則圖中陰影部分的面積為（）A．2π B．2 C．2π﹣4 D．2π﹣2【答案】C【解答】解：連接OE，OC，BC，由旋轉(zhuǎn)知AC＝AD，∠CAD＝30°，∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，∴∠EOC＝90°，即△EOC為等腰直角三角形，∵CE＝4，∴OE＝OC＝2，∴S陰影＝S扇形OEC﹣S△OEC＝﹣×＝2π﹣4，故選：C．類型三等積轉(zhuǎn)化法13．（2021?泰安）若△ABC為直角三角形，AC＝BC＝4，以BC為直徑畫半圓如圖所示，則陰影部分的面積為．【答案】４【解答】解：設(shè)AB交半圓于點(diǎn)D，連接CD．∵BC是直徑，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB；又∵△ABC為等腰直角三角形，∴CD垂直平分斜邊AB，∴CD＝BD＝AD，∴＝，∴S弓形BD＝S弓形CD，∴S陰影＝SRt△ABC﹣SRt△BCD；∵△ABC為等腰直角三角形，CD是斜邊AB的垂直平分線，∴SRt△ABC＝2SRt△BCD；又SRt△ABC＝×4×4＝8，∴S陰影＝4；故答案為：4．14.．（2020?朝陽）如圖，點(diǎn)A，B，C是⊙O上的點(diǎn)，連接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，過點(diǎn)O作OD∥AB交⊙O于點(diǎn)D，連接AD，BD，已知⊙O半徑為2，則圖中陰影面積為．【答案】【解答】解：∵∠ACB＝15°，∴∠AOB＝30°，∵OD∥AB，∴S△ABD＝S△ABO，∴S陰影＝S扇形AOB＝．故答案為：．命題點(diǎn)３圓切線與陰影部分求面積結(jié)合15．（2021?揚(yáng)州）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，連接BD，以點(diǎn)B為圓心，BA長為半徑作⊙B，交BD于點(diǎn)E．（1）試判斷CD與⊙B的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求圖中陰影部分的面積．【答案】（１）CD與⊙B相切（２）【解答】解：（1）過點(diǎn)B作BF⊥CD，垂足為F，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB．在△ABD和△FBD中，，∴△ABD≌△FBD（AAS），∴BF＝BA，則點(diǎn)F在圓B上，∴CD與⊙B相切；（2）∵∠BCD＝60°，CB＝CD，∴△BCD是等邊三角形，∴∠CBD＝60°∵BF⊥CD，∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，∴∠ABF＝60°，∵AB＝BF＝，∴AD＝DF＝AB·tan30°＝2，∴陰影部分的面積＝S△ABD﹣S扇形ABE＝＝．命題點(diǎn)４圓錐、圓柱的相關(guān)計(jì)算16.（2022?東營）用一張半圓形鐵皮，圍成一個底面半徑為4cm的圓錐形工件的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則圓錐的母線長為（）A．4cm B．8cm C．12cm D．16cm【答案】B【解答】解：設(shè)半圓形鐵皮的半徑為rcm，根據(jù)題意得：πr＝2π×4，解得：r＝8，所以圍成的圓錐的母線長為8cm，故選：B．17.2022?濟(jì)寧）已知圓錐的母線長8cm，底面圓的直徑6cm，則這個圓錐的側(cè)面積是（）A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2【答案】D【解答】解：∵底面圓的直徑為6cm，∴底面圓的半徑為3cm，∴圓錐的側(cè)面積＝×8×2π×3＝24πcm2．故選：D．18.（2022?牡丹江）圓錐的底面圓半徑是1，母線長是3，它的側(cè)面展開圖的圓心角是（）A．90° B．100° C．120° D．150°【答案】C【解答】解：圓錐側(cè)面展開圖的弧長是：2π×1＝2π，設(shè)圓心角的度數(shù)是n度．則＝2π，解得：n＝120．故選：C．19．（2022?廣安）蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．下圖是一個蒙古包的示意圖，底面圓半徑DE＝2m，圓錐的高AC＝1.5m，圓柱的高CD＝2.5m，則下列說法錯誤的是（）A．圓柱的底面積為4πm2 B．圓柱的側(cè)面積為10πm2 C．圓錐的母線AB長為2.25m D．圓錐的側(cè)面積為5πm2【答案】C【解答】解：∵底面圓半徑DE＝2m，∴圓柱的底面積為4πm2，所以A選項(xiàng)不符合題意；∵圓柱的高CD＝2.5m，∴圓柱的側(cè)面積＝2π×2×2.5＝10π（m2），所以B選項(xiàng)不符合題意；∵底面圓半徑DE＝2m，即BC＝2m，圓錐的高AC＝1.5m，∴圓錐的母線長AB＝＝2.5（m），所以C選項(xiàng)符合題意；∴圓錐的側(cè)面積＝×2π×2×2.5＝5π（m2），所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．20．（2021?廣西）如圖，從一塊邊長為2，∠A＝120°的菱形鐵片上剪出一個扇形，這個扇形在以A為圓心的圓上（陰影部分），且圓弧與BC，CD分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，將剪下來的扇形圍成一個圓錐，則圓錐的底面圓半徑是．【答案】【解答】解：連接AC、AE，如圖，∵四邊形ABCD為菱形，∴∠BAC＝∠BAD＝×120°＝60°，AB＝BC，∴△ABC為等邊三角形，∵圓弧與BC相切于E，∴AE⊥BC，∴BE＝CE＝1，∴AE＝＝＝，設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，根據(jù)題意得2πr＝，解得r＝，即圓錐的底面圓半徑為．故答案為．命題點(diǎn)５圓與正多邊形的相關(guān)計(jì)算21.（2022?綿陽）在2022年北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國人的浪漫．如圖，將“雪花”圖案（邊長為4的正六邊形ABCDEF）放在平面直角坐標(biāo)系中，若AB與x軸垂直，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，﹣3），則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（2﹣2，3）B．（0，1+2）C．（2﹣，3）D．（2﹣2，2+）【答案】A【解答】解：如圖，連接BD交CF于點(diǎn)M，則點(diǎn)B（2，1），在Rt△BCM中，BC