4.1.2認(rèn)識(shí)三角形（備作業(yè)）2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)(北師大版)

4.1.2認(rèn)識(shí)三角形一、單選題1．下面四個(gè)圖形中，線段BE能表示三角形ABC的高的是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的高的定義（從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作一條垂線，三角形頂點(diǎn)和它對(duì)邊垂足之間的線段稱為三角形這條邊上的高）即可得．【解析】解：由三角形的高的定義可知，只有選項(xiàng)B中的線段能表示三角形的高，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高，熟記定義是解題關(guān)鍵．2．下列說(shuō)法中正確的是（

）A．三角形的三條中線必交于一點(diǎn) B．直角三角形只有一條高C．三角形的中線可能在三角形的外部 D．三角形的高線都在三角形的內(nèi)部【答案】A【分析】根據(jù)三角形中線及高線的定義逐一判斷即可得答案．【解析】A.三角形的三條中線必交于一點(diǎn)，故該選項(xiàng)正確，B.直角三角形有三條高，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，C.三角形的中線不可能在三角形的外部，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，D.三角形的高線不一定都在三角形的內(nèi)部，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中線及高線，熟練掌握定義是解題關(guān)鍵．3．如圖，在中，AB＝2020，AC＝2018，AD為中線，則與的周長(zhǎng)之差為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由AD為的中線，可得：，再利用，即可得到答案．【解析】解：AD為的中線，，，故選【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的中線的概念，掌握三角形的中線的含義是解題的關(guān)鍵．4．用直角三角板作△ABC的邊AB上的高，下列直角三角板位置擺放正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高，根據(jù)高線的定義即可得出結(jié)論．【解析】解：A、作出的是△ABC中BC邊上的高線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、作出的是△ABC中AC邊上的高線，故本選項(xiàng)正確；C、不能作出△ABC中BC邊上的高線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、作出的是△ABC中AB邊上的高線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖基本作圖，熟知三角形高線的定義是解答此題的關(guān)鍵．5．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC且與BC相交于點(diǎn)D，∠B=40°，∠BAD=30°，則∠C的度數(shù)是（）A．70°B．80°C．100°D．110°【答案】B【分析】利用三角形角平分線的性質(zhì)和內(nèi)角和是180度的性質(zhì)可知．【解析】解：AD平分∠BAC，∠BAD=30°，∴∠BAC=60°，∴∠C=180°﹣60°﹣40°=80°．故選B．6．如圖，中，，G為AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且于點(diǎn)H，下列判斷中，正確的個(gè)數(shù)是（

）①BG是的邊AD上的中線；②AD既是的角平分線，也是的角平分線；③CH既是的邊AD上的高，也是的邊AH上的高．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)三角形中線的定義、三角形角平分線的定義和三角形高的定義逐一判斷即可．【解析】解：因?yàn)镚為AD的中點(diǎn)，所以BG是的邊AD上的中線，故①正確；因?yàn)?，所以AD是的角平分線，AG是的角平分線，故②錯(cuò)誤；因?yàn)橛邳c(diǎn)H，所以CH既是的邊AD邊上的高，也是的邊AH上的高，故③正確，綜上正確的有2個(gè)故選C．【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形中線、角平分線和高的識(shí)別，掌握三角形中線的定義、三角形角平分線的定義和三角形高的定義是解決此題的關(guān)鍵．7．如圖所示，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分線，則∠CAD的度數(shù)為（

）A．40° B．45° C．50° D．55°【答案】A【分析】首先利用三角形內(nèi)角和定理求得∠BAC的度數(shù)，然后利用角平分線的性質(zhì)求得∠CAD的度數(shù)即可．【解析】解：∵∠B=67°，∠C=33°，∴∠BAC=180°∠B∠C=180°67°33°=80°∵AD是△ABC的角平分線，∴∠CAD=∠BAC=×80°=40°故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在中，若，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，且不與點(diǎn)B，C，D重合，則以AD為高的三角形的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)三角形高的定義即可求解．【解析】解：∵在中，，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，且不與點(diǎn)B，C，D重合，∴AD是，的高，共6個(gè)，故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形的高，解題的關(guān)鍵是熟知三角形高的定義．9．如圖，D，E分別是的邊AC，BC的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．DE是的中線 B．BD是的中線C． D．BD是的角平分線【答案】D【分析】根據(jù)三角形的中線、線段中點(diǎn)的定義、三角形的角平分線判斷即可得．【解析】點(diǎn)D，E分別是的邊AC，BC的中點(diǎn)，，是的邊AC上的中線，DE是的邊BC上的中線，則選項(xiàng)A、B、C正確，因?yàn)锽D不一定平分，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線、線段中點(diǎn)的定義、三角形的角平分線，掌握理解三角形中線的定義是解題關(guān)鍵．10．如圖，在中，已知點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，，且的面積12，則的面積為（

）A．5 B． C．4 D．【答案】C【分析】由點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，可得△ABD的面積=△ACD的面積=S△ABC，由E是AD的中點(diǎn)，得出△ABE的面積=△DBE的面積=△ABC的面積，進(jìn)而得出△BCE的面積=△ABC的面積，再利用EF=2FC，求出△BEF的面積．【解析】解：∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，△ABC的面積12，∴△ABD的面積=△ACD的面積=S△ABC=6，∵E是AD的中點(diǎn)，∴△ABE的面積=△DBE的面積=△ABC的面積=3，△ACE的面積=△DCE的面積=△ABC的面積=3，∴△BCE的面積=△ABC的面積=6，∵EF=2FC，∴△BEF的面積=×6=4，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)中點(diǎn)找出三角形的面積與原三角形面積的關(guān)系．二、填空題11．三角形一個(gè)角的________與這個(gè)角的對(duì)邊相交，以這個(gè)角的________和________為端點(diǎn)的線段叫做三角形的角平分線．一個(gè)角的平分線與三角形的角平分線的區(qū)別是（請(qǐng)寫出兩條）：（1）_________；（2）_________．【答案】

平分線

頂點(diǎn)

交點(diǎn)

角的平分線有且只有一條，三角形的角平分線有三條

角的平分線是射線，三角形的角平分線是線段【分析】根據(jù)三角形角平分線的定義填空即可．【解析】解：∵三角形一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，以這個(gè)角的頂點(diǎn)和交為端點(diǎn)的線段叫做三角形的角平分線．三角形有三條角平分線，角的平分線只有一條．故答案為：平分線，頂點(diǎn)，交點(diǎn)，角的平分線有且只有一條，三角形的角平分線有三條，角的平分線是射線，三角形的角平分線是線段．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，以這個(gè)角的頂點(diǎn)和交為端點(diǎn)的線段叫做三角形的角平分線．解題關(guān)鍵是熟記三角形角平分線的定義．12．若∠AOB=4∠α,OC為∠AOB的角平分線，則∠AOC=_____∠α.【答案】2【分析】根據(jù)角平分線的定義求解即可.【解析】解：∠AOC=∠AOB=×4∠α=2∠α.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：從角的頂點(diǎn)引一條射線，把這個(gè)角分成相等的兩部分，那么這條射線叫這個(gè)角的平分線．13．在△ABC中，AD、AE分別是中線和高，∠BAC=90°，AB=12cm，AC=5cm，BC=13cm，則線段AE的長(zhǎng)為_(kāi)_________，△ABD的面積為_(kāi)________．【答案】

【分析】根據(jù)三角形面積公式可得AB?AC=BC?AE，依此可求AE的長(zhǎng)；根據(jù)三角形面積公式計(jì)算出S△ABC=30cm2，然后利用AD是邊BC的中線得到S△ABD=S△ABC．【解析】解：∵∠BAC=90°，AE是邊BC上的高，∴AB?AC=BC?AE，∴AE==5×12÷13=(cm)，即AE的長(zhǎng)度為cm；如圖，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AC=5cm，AB=12cm，∴S△ABC=AB?AC=×12×5＝30(cm2)．又∵AD是邊BC的中線，∴S△ABD=S△ACD=S△ABC=15(cm2)．∴△ABN的面積是15cm2；故答案為：cm；15cm2．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積：三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，即S△=×底×高．三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．14．如圖，在△ABC中，AD是BC上的中線，DE=3AE，若S△ABC=48，則S△ABE=_________．【答案】6【分析】據(jù)AD是△ABC的邊BC上的中線得出S△ABD=S△ABC=24，再由△ABD與△ABE是同高的兩個(gè)三角形即可求出S△ABE．【解析】解：∵AD是△ABC的邊BC上的中線，S△ABC=48，∴S△ABD=24，∵DE=3AE，∴S△ABE=S△ABD=6；故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積．中線能把三角形的面積平分，利用這個(gè)結(jié)論就可以求出三角形△ABE的面積．15．在直角三角形中，，，，是邊的中線，則邊上的高為_(kāi)_，的面積__．【答案】

4

3【分析】根據(jù)三角形的高線的定義知BC是邊AC上的高線．由三角形中線的定義知AD＝BD，則△ACD與△BCD的等底同高的兩個(gè)三角形，它們的面積相等．【解析】如圖，，，是邊上的高，即邊上的高為，又是邊的中線，，．故答案是：4；3．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，三角形的角平分線、中線和高．此題利用了“等底同高”的兩個(gè)三角形的面積相等來(lái)求△BCD的面積的．16．已知如圖所示AD、AE分別是△ABC的中線、高，且AB=5cm，AC=3cm，,則△ABD與△ACD的周長(zhǎng)之差為_(kāi)________，△ABD與△ACD的面積關(guān)系為_(kāi)________.【答案】

2cm

相等【分析】根據(jù)△ABD與△ACD的周長(zhǎng)的差=ABAC，三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形，由此即可解答．【解析】解：△ABD的周長(zhǎng)=AB+AD+BD，△ACD的周長(zhǎng)=AC+AD+CD，∵AD是BC的中線，∴BD=CD，∵AB=5cm，AC=3cm，∴△ABD的周長(zhǎng)△ACD的周長(zhǎng)=AB+AD+BDACADCD=ABAC=2（cm），∵△ABD與△ACD的底相等，高都是AE，∴它們的面積相等．故答案為2cm；相等．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線概念和性質(zhì)，熟知三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分是解題的關(guān)鍵．17．如圖，某地有三個(gè)車站A，B，C，順次連接AB，BC，CA，構(gòu)成三角形，一輛公共汽車從B站前往C站．（1）當(dāng)汽車行駛到點(diǎn)D時(shí)，剛好有，連接AD，AD這條線段是中BC邊上的____________，在中，這樣的線段有____________條，此時(shí)____________（填“有”或“沒(méi)有”）面積相等的三角形；（2）汽車?yán)^續(xù)向前行駛，當(dāng)行駛到點(diǎn)E時(shí)，發(fā)現(xiàn)，那么AE這條線段是中的____________，在中，這樣的線段有____________條；（3）汽車?yán)^續(xù)向前行駛，當(dāng)行駛到點(diǎn)F時(shí)，發(fā)現(xiàn)，那么AF是中BC邊上的____________，在中，這樣的線段有____________條．【答案】（1）中線，3，有；（2）角平分線，3；（3）高，3【分析】（1）由于BD=CD，則點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，AD是中線，一個(gè)三角形有三條中線，三角形的中線把三角形成面積相等的兩個(gè)三角形；（2）由于，得到AE是三角形的角平分線，一個(gè)三角形有三條角平分線；（3）由于，得到AF是三角形高，一個(gè)三角形有三條高．【解析】解：（1）AD是中BC邊上的中線，在中，這樣的線段有3條，此時(shí)△ABD與△ACD面積相等；（2）AE這條線段是中的角平分線，在中，這樣的線段有3條；（3）AF是中BC邊上的高，在中，這樣的線段有3條．故答案為：（1）中線，3，有；（2）角平分線，3；（3）高，3．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高線、角平分線、中線的概念，理解好相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．18．如圖，點(diǎn)D在線段BC上，AC⊥BC，AB＝8cm，AD＝6cm，AC＝4cm，則在△ABD中，BD邊上的高是__cm．【答案】4cm【分析】從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它對(duì)邊所作的垂線段（頂點(diǎn)至對(duì)邊垂足間的線段）,叫做三角形的高．這條邊叫做底．【解析】因?yàn)锳C⊥BC，所以三角形ABD中，BD邊上的高是：AC=4cm故答案為：4cm【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：三角形的高．理解三角形的高的定義是關(guān)鍵．19．如圖，在中，是邊上的高，平分，若，，則__________．【答案】50°【分析】由角平分線的定義和已知可求出∠BAC，由是邊上的高和已知條件可以求出∠C，然后運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理，即可完成解答.【解析】解：∵平分，若∴=2；又∵是邊上的高，∴=90°又∵+∠B+∠C=180°∴∠B=180°60°70°=50°故答案為50°.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線、高的定義以及三角形內(nèi)角和的知識(shí)，考查知識(shí)點(diǎn)較多，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵.20．如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D、E、F分別為邊BC、AD、CE的中點(diǎn)，若△ABC的面積為16，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)____．【答案】4.【分析】因?yàn)辄c(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分別是BC、AD的中點(diǎn)，可得△EBC的面積是△ABC面積的一半；利用三角形的等積變換可解答．【解析】解：解：如圖，點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=EC，而高相等，∴S△BEF=S△BEC，∵E是AD的中點(diǎn)，∴S△BDE=S△ABD，S△CDE=S△ACD，∴S△EBC=S△ABC，∴S△BEF=S△ABC，且S△ABC=16，∴S△BEF=4，即陰影部分的面積為4cm2．故答案為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形面積及三角形面積的等積變換，三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．三、解答題21．如圖，在中，分別是邊上的中線和高，．求和的長(zhǎng)．【答案】【分析】根據(jù)的面積和高即可求得，再根據(jù)三角形的中線從而求得和．【解析】解：在中，是邊上的高，，，，，∵是邊上的中線，∴，∴，∴的長(zhǎng)為3cm，的長(zhǎng)為1.5cm．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積的有關(guān)計(jì)算以及三角形的中線的應(yīng)用，本題中正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在中（），，邊上的中線把的周長(zhǎng)分成和兩部分，求和的長(zhǎng)．【答案】，【分析】由題意可得，，由中線的性質(zhì)得，故可求得，即可求得．【解析】由題意知，，∵，D為BC中點(diǎn)∴∴即則BC=24，CD=BD=12則且28＞24符合題意．【點(diǎn)睛】本題考查了中線的性質(zhì)，中線是三角形中從某邊的中點(diǎn)連向?qū)堑捻旤c(diǎn)的線段．23．如圖，已知，AD、AE分別為△ABC的中線和高，AB=13，AC=5．（1）△ABD和△ACD的周長(zhǎng)相差多少？（2）△ABD和△ACD的面積有什么關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）△ABD和△ACD的周長(zhǎng)相差是8；（2）△ABD和△ACD的面積相等．理由見(jiàn)解析．【分析】（1）分別表示出△ABD與△ACD的周長(zhǎng)，由AD是BC的中線，可得它們的差＝AB?AC；（2）三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形，據(jù)此答題即可．【解析】（1）△ABD的周長(zhǎng)是AB、BD、AD三邊的和△ACD的周長(zhǎng)是AC、CD、AD三邊的和因?yàn)锳D為△ABC的中線∴BD=DC所以△ABD和△ACD的周長(zhǎng)差就是AB與AC的差故△ABD和△ACD的周長(zhǎng)相差是8；（2）因?yàn)锳D為△ABC的中線∴BD=DC所以△ABD和△ACD是等底同高的三角形故△ABD和△ACD的面積相等．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中線，高的概念和性質(zhì)，三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分是解答此題的關(guān)鍵．24．（1）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，畫出△ABC的中線AT；（2）如圖2，在△FGH中，畫出邊GH的高FM，邊GF的高HN和邊FH的高GP．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）連接,交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與交于,即為△ABC的中線；（2）用直角三角板的一條直角邊與所畫的高線的邊重合，另一條直角邊過(guò)另一個(gè)頂點(diǎn)，即可作出相應(yīng)邊的高．【解析】解：（1）△ABC的中線AT如圖所示：；（2）邊GH的高FM，邊GF的高HN和邊FH的高GP，如圖所示：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線以及三角形的高，能夠根據(jù)三角形中線和高的定義畫出圖形是解題的關(guān)鍵．25．如圖，AD是△ABC的中線，E是AD的中點(diǎn)，連接EB，EC，CF⊥BE于點(diǎn)F．若BE＝9，CF＝8，求△ACE的面積．【答案】18【分析】根據(jù)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分的知識(shí)進(jìn)行解答即可．【解析】解：∵CF⊥BE于點(diǎn)F．BE＝9，CF＝8，∴S△BCE＝＝＝36，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∴S△EBD＝S△ECD＝S△EBC＝18，∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴S△ACE＝S△ECD＝18，答：△ACE的面積18．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形面積及三角形中線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是明確三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．26．如圖，AD是△ABC的邊BC上的中線，已知AB=5，AC=3．（1）邊BC的取值范圍是；（2）△ABD與△ACD的周長(zhǎng)之差為；（3）在△ABC中，若AB邊上的高為2，求AC邊上的高．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）直接根據(jù)三角形三邊關(guān)系進(jìn)行解答即可；（2