高考數(shù)學（文）一輪復習教師用書第五章第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項和

第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項和1．等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的eq\a\vs4\al(差)都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，符號表示為an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))．(2)等差中項：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝eq\f(a＋b,2)，其中A叫做a，b的等差中項．2．等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n項和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(na1＋an,2).3．等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．(5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md4．與等差數(shù)列各項的和有關(guān)的性質(zhì)(1)若{an}是等差數(shù)列，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差數(shù)列，其首項與{an}首項相同，公差是{an}公差的eq\f(1,2).(2)若{an}是等差數(shù)列，Sm，S2m，S3m分別為{an}的前m項，前2m項，前3m項的和，則Sm，S2m－Sm，S(3)關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的性質(zhì)．①若項數(shù)為2n，則S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1).②若項數(shù)為2n－1，則S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).(4)兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和Sn，Tn之間的關(guān)系為eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1).1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若一個數(shù)列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列．()(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．()(3)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù)．()(4)已知等差數(shù)列{an}的通項公式an＝3－2n，則它的公差為－2.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．在等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，若a2＝4，a4＝2，則a6＝()A．－1 B．0C．1 D．6解析：選B∵eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為等差數(shù)列，∴2a4＝a2＋a6，∴a6＝2a4－a2＝2×2－43．(2017·全國卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項的和為()A．－24 B．－3C．3 D．8解析：選A設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6＝aeq\o\al(2,3)，即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2.又a1＝1，所以d2＋2d＝0.又d≠0，則d＝－2，所以{an}前6項的和S6＝6×1＋eq\f(6×5,2)×(－2)＝－24.4．已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，且a1＝1，a4＝4，則a10＝()A．－eq\f(4,5) B．－eq\f(5,4)C.eq\f(4,13) D.eq\f(13,4)解析：選A設(shè)等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的公差為d，由題意可知，eq\f(1,a4)＝eq\f(1,a1)＋3d＝eq\f(1,4)，解得d＝－eq\f(1,4)，所以eq\f(1,a10)＝eq\f(1,a1)＋9d＝－eq\f(5,4)，所以a10＝－eq\f(4,5).5．已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a3＋a9＝a10－a8，若an＝0，則n＝________.解析：因為a3＋a9＝a10－a8，所以a1＋2d＋a1＋8d＝a1＋9d－(a1＋7d)，解得a1＝－4d，所以an＝－4d＋(n－1)d＝(n－5)d，令(n－5)d＝0(d≠0)，可解得n＝5.答案：56．在等差數(shù)列{an}中，an>0，a7＝eq\f(1,2)a4＋4，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則S19＝________.解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a7＝eq\f(1,2)a4＋4，得a1＋6d＝eq\f(1,2)(a1＋3d)＋4，即a1＋9d＝8，所以a10＝8，因此S19＝eq\f(19a1＋a19,2)＝19×a10＝19×8＝152.答案：152eq\a\vs4\al(考點一等差數(shù)列的基本運算)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點——自主練透)[考什么·怎么考]等差數(shù)列的基本運算是高考中的常考內(nèi)容，多出現(xiàn)在選擇題、填空題和解答題的第1問中，屬于基礎(chǔ)題.1．若等差數(shù)列{an}的前5項和S5＝25，且a2＝3，則a7＝()A．12 B．13C．14 D．15解析：選B設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S5＝eq\f(5a2＋a4,2)，得eq\f(53＋a4,2)＝25，解得a4＝7，所以7＝3＋2d，解得d＝2，所以a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝13.2．(2017·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為()A．1 B．2C．4 D．8解析：選C設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＋a5＝24，,S6＝48，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＋a1＋4d＝24，,6a1＋\f(6×5,2)d＝48，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋7d＝24，,2a1＋5d＝16，))解得d＝4.3．(2018·福州質(zhì)檢)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a2＝－d，若ak是a6與ak＋6的等比中項，則k＝()A．5 B．6C．9 D．11解析：選C因為ak是a6與ak＋6的等比中項，所以aeq\o\al(2,k)＝a6ak＋6.又等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a2＝－d，所以[a2＋(k－2)d]2＝(a2＋4d)[a2＋(k＋4)d]，所以(k－3)2＝3(k＋3)，解得k＝9，或k＝0(舍去)，故選C.4．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a12＝－8，S9＝－9，則S16＝________.解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a12＝a1＋11d＝－8，,S9＝9a1＋\f(9×8,2)d＝－9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝－1.))∴S16＝16×3＋eq\f(16×15,2)×(－1)＝－72.答案：－72[怎樣快解·準解]1．等差數(shù)列運算中方程思想的應用(1)等差數(shù)列運算問題的一般求法是設(shè)出首項a1和公差d，然后由通項公式或前n項和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解．(2)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題．[易錯提醒]在求解數(shù)列基本量運算中，要注意公式使用時的準確性與合理性，更要注意運算的準確性．在遇到一些較復雜的方程組時，要注意整體代換思想的運用，使運算更加便捷．2．等差數(shù)列前n項和公式的應用方法根據(jù)不同的已知條件選用兩個求和公式，若已知首項和公差，則使用公式Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d；若已知通項公式，則使用公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)，同時注意與性質(zhì)“a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…”的結(jié)合使用．eq\a\vs4\al(考點二等差數(shù)列的判定與證明)eq\a\vs4\al(重點保分型考點——師生共研)等差數(shù)列的判定與證明是高考中常見題型，其基本方法是等差數(shù)列的定義，即證明an＋1－an是一個與n無關(guān)的常數(shù)，既有選擇題、填空題也有解答題，但以解答題為主，難度不大.[典題領(lǐng)悟](2018·貴州適應性考試)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；(2)證明數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差數(shù)列，并求{an}的通項公式．[思維路徑](1)要求數(shù)列的項，可根據(jù)已知首項和遞推關(guān)系式，令n＝1,2可解得．(2)證明eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差數(shù)列，其關(guān)鍵應推出eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)為常數(shù)，對所給條件進行必要的變形即可．解：(1)由已知，得a2－2a1＝4則a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝由2a3－3a2＝得2a3＝12＋3a2，所以a3(2)證明：由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，得eq\f(nan＋1－n＋1an,nn＋1)＝2，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝2，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是首項eq\f(a1,1)＝1，公差d＝2的等差數(shù)列．則eq\f(an,n)＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.[解題師說]等差數(shù)列的判定與證明方法方法解讀適合題型定義法對于任意自然數(shù)n(n≥2)，an－an－1(n≥2，n∈N*)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列解答題中證明問題等差中項法2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列通項公式法an＝pn＋q(p，q為常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列選擇、填空題中的判定問題前n項和公式法驗證Sn＝An2＋Bn(A，B是常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列[注意]用定義證明等差數(shù)列時，容易漏掉對起始項的檢驗，從而產(chǎn)生錯解．比如，對于滿足an－an－1＝1(n≥3)的數(shù)列{an}而言并不能判定其為等差數(shù)列，因為不能確定起始項a2－a1是否等于1.[沖關(guān)演練]1．(2018·陜西質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，則S7等于()A．13 B．49C．35 D．63解析：選B由Sn＝an2＋bn(a，b∈R)可知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，所以S7＝eq\f(7a1＋a7,2)＝eq\f(7a2＋a6,2)＝49.2．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，設(shè)bn＝eq\f(1,an－1)(n∈N*)．求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．證明：∵an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2)，∴an＋1＝2－eq\f(1,an).∴bn＋1－bn＝eq\f(1,an＋1－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,2－\f(1,an)－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(an－1,an－1)＝1，∴{bn}是首項為b1＝eq\f(1,2－1)＝1，公差為1的等差數(shù)列．

eq\a\vs4\al(考點三等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項和的最值)eq\a\vs4\al(重點保分型考點——師生共研)等差數(shù)列的性質(zhì)在高考中也是?？純?nèi)容.靈活應用由定義推導出的重要性質(zhì)，在解題過程中可以達到避繁就簡的目的.常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).,公差不為零的等差數(shù)列，其前n項和的最值在高考中時常出現(xiàn)，題型既有選擇題、填空題也有解答題，難度不大.[典題領(lǐng)悟]1．在等差數(shù)列{an}中，a1＝29，S10＝S20，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的最大值為()A．S15 B．S16C．S15或S16 D．S17解析：選A∵a1＝29，S10＝S20，∴10a1＋eq\f(10×9,2)d＝20a1＋eq\f(20×19,2)d，解得d＝－2，∴Sn＝29n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.∴當n＝15時，Sn取得最大值．2．(2018·石家莊一模)已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱，且f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)，若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a50)＝f(a51)，則數(shù)列{an}的前100項的和為?? ()A．－200 B．－100C．－50 D．0[學審題]①由函數(shù)的對稱性及單調(diào)性知f(x)在(－∞，－1)上也單調(diào)；②結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)知a50＋a51＝－2.解析：選B因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱，又函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)，所以f(x)在(－∞，－1)上也單調(diào)，且數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列．又f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝eq\f(100a1＋a100,2)＝50(a50＋a51)＝－100.[解題師說]1．應用等差數(shù)列的性質(zhì)解題的2個注意點(1)如果{an}為等差數(shù)列，m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出現(xiàn)am－n，am，am＋n等項時，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與am(或其他項)有關(guān)的條件；若求am項，可由am＝eq\f(1,2)(am－n＋am＋n)轉(zhuǎn)化為求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值．(2)要注意等差數(shù)列通項公式及前n項和公式的靈活應用，如an＝am＋(n－m)d，d＝eq\f(an－am,n－m)，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(na2＋an－1,2)(n，m∈N*)等．2．求等差數(shù)列前n項和Sn最值的2種方法(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式Sn＝an2＋bn，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解．(2)鄰項變號法：①當a1>0，d<0時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；②當a1<0，d>0時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.3．理清等差數(shù)列的前n項和與函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列的前n項和公式為Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d可變形為Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，令A＝eq\f(d,2)，B＝a1－eq\f(d,2)，則Sn＝An2＋Bn.當A≠0，即d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，(n，Sn)在二次函數(shù)y＝Ax2＋Bx的圖象上，即為拋物線y＝Ax2＋Bx上一群孤立的點．利用此性質(zhì)可解決前n項和Sn的最值問題．[沖關(guān)演練]1．(2018·岳陽模擬)在等差數(shù)列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝()A．95 B．100C．135 D．80解析：選B由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8構(gòu)成新的等差數(shù)列，于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100.2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，則滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為(A．6 B．7C．12 D．13解析：選C因為a1>0，a6a7<0，所以a6>0，a7<0，等差數(shù)列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，所以S12>0，S13<0，所以滿足Sn>0的最大自然數(shù)n3．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知前6項和為36，最后6項的和為180，Sn＝324(n＞6)，則數(shù)列{an}的項數(shù)為________．解析：由題意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36，又Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝324，∴18n＝324，∴n＝18.答案：18(一)普通高中適用作業(yè)A級——基礎(chǔ)小題練熟練快1．(2018·蘭州診斷考試)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，則S9＝()A．36 B．72C．144 D．288解析：選B法一：∵a8＋a10＝2a1＋16d＝28，a1＝2∴d＝eq\f(3,2)，∴S9＝9×2＋eq\f(9×8,2)×eq\f(3,2)＝72.法二：∵a8＋a10＝2a9＝28，∴a9＝14∴S9＝eq\f(9a1＋a9,2)＝72.2．(2018·安徽兩校階段性測試)若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，則a4＋S7的值是()A．20 B．36C．24 D．72解析：選C由a2＋S3＝4及a3＋S5＝12，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋4d＝4，,6a1＋12d＝12，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝0，,d＝1，))∴a4＋S7＝8a1＋24d＝3．(2018·西安質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，則正整數(shù)k＝()A．21 B．22C．23 D．24解析：選C由3an＋1＝3an－2?an＋1－an＝－eq\f(2,3)?{an}是等差數(shù)列，則an＝eq\f(47,3)－eq\f(2,3)n.∵ak·ak＋1<0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(47,3)－\f(2,3)k))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(45,3)－\f(2,3)k))<0，∴eq\f(45,2)<k<eq\f(47,2)，又∵k∈N*，∴k＝23.4．(2018·東北三校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的首項為3，{bn}為等差數(shù)列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b2＝12，則a8＝()A．0 B．－109C．－181 D．121解析：選B設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，則d＝b3－b2＝－14，因為an＋1－an＝bn，所以a8－a1＝b1＋b2＋…＋b7＝eq\f(7b1＋b7,2)＝7b4＝7×(－2－14)＝－112，又a1＝3，所以a8＝－109.5．(2018·云南11?？鐓^(qū)調(diào)研)在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝eq\f(3an,an＋3)，則a4＝()A.eq\f(3,4) B．1C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,2)解析：選A依題意得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋3,3an)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,3)，eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,3)，故數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,a1)＝eq\f(1,3)為首項、eq\f(1,3)為公差的等差數(shù)列，則eq\f(1,an)＝eq\f(1,3)＋eq\f(n－1,3)＝eq\f(n,3)，an＝eq\f(3,n)，a4＝eq\f(3,4).6．(2018·東北四市高考模擬)已知數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝2，a1＝－5，則|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝()A．9 B．15C．18 D．30解析：選C由an＋1－an＝2可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.7．(2016·北京高考)已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和．若a1＝6，a3＋a5＝0，則S6＝________.解析：∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2.∴S6＝6a1＋eq\f(6×6－1,2)d＝6×6－30＝6.答案：68．等差數(shù)列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，則{an}的前n項和Sn的最大值為________．解析：∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝a5＋a6<0，,a5>0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5>0，,a6<0，))∴Sn的最大值為S5.答案：S59．若等差數(shù)列{an}的前17項和S17＝51，則a5－a7＋a9－a11＋a13＝________.解析：因為S17＝eq\f(a1＋a17,2)×17＝17a9＝51，所以a9＝3.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)知a5＋a13＝a7＋a11，所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3.答案：310．在等差數(shù)列{an}中，公差d＝eq\f(1,2)，前100項的和S100＝45，則a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________.解析：因為S100＝eq\f(100,2)(a1＋a100)＝45，所以a1＋a100＝eq\f(9,10)，a1＋a99＝a1＋a100－d＝eq\f(2,5)，則a1＋a3＋a5＋…＋a99＝eq\f(50,2)(a1＋a99)＝eq\f(50,2)×eq\f(2,5)＝10.答案：10B級——中檔題目練通抓牢1．(2018·湖南五市十校聯(lián)考)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，則S8＝()A．72 B．88C．92 D．98解析：選C法一：由Sn＋1＝Sn＋an＋3，得an＋1－an＝3，故數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列，又a4＋a5＝23＝2a1＋7d＝2a1＋21，∴a1＝1，S8＝8a1＋eq\f(8×7,2)d＝92.法二：由Sn＋1＝Sn＋an＋3，得an＋1－an＝3，故數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列，S8＝eq\f(8a1＋a8,2)＝eq\f(8a4＋a5,2)＝92.2．(2018·廣東潮州二模)在我國古代著名的數(shù)學專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增一十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里，良馬先至齊，復還迎駑馬，二馬相逢，問：幾日相逢()A．8日 B．9日C．12日 D．16日解析：選B設(shè)n日相逢，則依題意得103n＋eq\f(nn－1,2)×13＋97n＋eq\f(nn－1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝1125×2，整理得n2＋31n－360＝0，解得n＝9(負值舍去)，故選B.3．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，其中n∈N*，則下列命題錯誤的是()A．若an>0，則Sn>0B．若Sn>0，則an>0C．若an>0，則{Sn}是單調(diào)遞增數(shù)列D．若{Sn}是單調(diào)遞增數(shù)列，則an>0解析：選D由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：?n∈N*，an>0，則Sn>0，反之也成立．a(chǎn)n>0，d>0，則{Sn}是單調(diào)遞增數(shù)列．因此A、B、C正確．對于D，{Sn}是單調(diào)遞增數(shù)列，則d>0，而an>0不一定成立．4．在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項和為Sn，當且僅當n＝8時Sn取得最大值，則d的取值范圍為________．解析：由題意，當且僅當n＝8時Sn有最大值，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d<0，,a8>0，,a9<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d<0，,7＋7d>0，,7＋8d<0，))解得－1<d<－eq\f(7,8).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,8)))5．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝________.解析：因為等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，所以am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，數(shù)列的公差d＝1，am＋am＋1＝Sm＋1－Sm－1＝5，即2a1＋2m－1＝所以a1＝3－m.由Sm＝(3－m)m＋eq\f(mm－1,2)×1＝0，解得m＝5.答案：56．(2018·廣西三市第一次聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n－1(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝log4an＋1，求{bn}的前n項和Tn.解：(1)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，當n＝1時，a1＝2－1＝1，滿足an＝2n－1，∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)得，bn＝log4an＋1＝eq\f(n＋1,2)，則bn＋1－bn＝eq\f(n＋2,2)－eq\f(n＋1,2)＝eq\f(1,2)，∴數(shù)列{bn}是首項為1，公差d＝eq\f(1,2)的等差數(shù)列，∴Tn＝nb1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(n2＋3n,4).7．已知遞增等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2a3＝15，S4＝(1)求數(shù)列{an}的通項公式以及Sn的表達式；(2)若數(shù)列{bn}滿足：b1＝1，bn＋1－bn＝eq\f(1,anan＋1)，求數(shù)列{bn}的通項公式．解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d>0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2a3＝a1＋da1＋2d＝15，,S4＝4a1＋6d＝16，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝7，,d＝－2))(舍去)，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1，Sn＝eq\f(n1＋2n－1,2)＝n2，n∈N*.(2)由(1)知，bn＋1－bn＝eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，bn－b1＝(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－3)－\f(1,2n－1)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n－1)))＝eq\f(n－1,2n－1)(n≥2)，∴bn＝eq\f(3n－2,2n－1).當n＝1時，b1＝1也符合上式，∴bn＝eq\f(3n－2,2n－1)(n∈N*)．C級——重難題目自主選做已知數(shù)列{an}滿足，an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)．(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求a1的值；(2)當a1＝2時，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.解：(1)法一：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd.由an＋1＋an＝4n－3，得a1＋nd＋a1＋(n－1)d＝4n－3，∴2dn＋(2a1－d)＝4n－3即2d＝4,2a1－d＝－3，解得d＝2，a1＝－eq\f(1,2).法二：在等差數(shù)列{an}中，由an＋1＋an＝4n－3，得an＋2＋an＋1＝4(n＋1)－3＝4n＋1，∴2d＝an＋2－an＝4n＋1－(4n－3)＝4，∴d＝2.又∵a1＋a2＝2a1＋d＝2a1＋2＝1，∴a1＝－eq\f(1,2).(2)由題意知，①當n為奇數(shù)時，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝2＋4[2＋4＋…＋(n－1)]－3×eq\f(n－1,2)＝eq\f(2n2－3n＋5,2).②當n為偶數(shù)時，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＝1＋9＋…＋(4n－7)＝eq\f(2n2－3n,2).綜上，Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2n2－3n＋5,2)，n為奇數(shù)，,\f(2n2－3n,2)，n為偶數(shù).))(二)重點高中適用作業(yè)A級——保分題目巧做快做1．(2018·蘭州診斷考試)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，則S9＝()A．36 B．72C．144 D．288解析：選B法一：∵a8＋a10＝2a1＋16d＝28，a1＝2∴d＝eq\f(3,2)，∴S9＝9×2＋eq\f(9×8,2)×eq\f(3,2)＝72.法二：∵a8＋a10＝2a9＝28，∴a9＝14∴S9＝eq\f(9a1＋a9,2)＝72.2．(2018·湖南五市十校聯(lián)考)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，則S8＝()A．72 B．88C．92 D．98解析：選C法一：由Sn＋1＝Sn＋an＋3，得an＋1－an＝3，故數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列，又a4＋a5＝23＝2a1＋7d＝2a1＋21，∴a1＝1，S8＝8a1＋eq\f(8×7,2)d＝92.法二：由Sn＋1＝Sn＋an＋3，得an＋1－an＝3，故數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列，S8＝eq\f(8a1＋a8,2)＝eq\f(8a4＋a5,2)＝92.3．(2018·東北四市高考模擬)已知數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝2，a1＝－5，則|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝()A．9 B．15C．18 D．30解析：選C由an＋1－an＝2可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.4.(2018·安徽江南十校模擬)《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學名著，書中《均屬章》有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知A，B，C，D，E五人分5錢，A，B兩人所得與C，D，E三人所得相同，且A，B，C，D，E每人所得依次成等差數(shù)列．問五人各得多少錢？”(“錢”是古代的一種重量單位)．在這個問題中，E所得為()A.eq\f(2,3)錢 B.eq\f(4,3)錢C.eq\f(5,6)錢 D.eq\f(3,2)錢解析：選A由題意，設(shè)A所得為a－4d，B所得為a－3d，C所得為a－2d，D所得為a－d，E所得為a，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5a－10d＝5，,2a－7d＝3a－3d，))解得a＝eq\f(2,3)，故E所得為eq\f(2,3)錢．5．(2018·云南11?？鐓^(qū)調(diào)研)在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝eq\f(3an,an＋3)，則a4＝()A.eq\f(3,4) B．1C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,2)解析：選A依題意得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋3,3an)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,3)，eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,3)，故數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,a1)＝eq\f(1,3)為首項、eq\f(1,3)為公差的等差數(shù)列，則eq\f(1,an)＝eq\f(1,3)＋eq\f(n－1,3)＝eq\f(n,3)，an＝eq\f(3,n)，a4＝eq\f(3,4).6．(2016·北京高考)已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和．若a1＝6，a3＋a5＝0，則S6＝________.解析：∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2.∴S6＝6a1＋eq\f(6×6－1,2)d＝6×6－30＝6.答案：67．在等差數(shù)列{an}中，公差d＝eq\f(1,2)，前100項的和S100＝45，則a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________.解析：因為S100＝eq\f(100,2)(a1＋a100)＝45，所以a1＋a100＝eq\f(9,10)，a1＋a99＝a1＋a100－d＝eq\f(2,5)，則a1＋a3＋a5＋…＋a99＝eq\f(50,2)(a1＋a99)＝eq\f(50,2)×eq\f(2,5)＝10.答案：108.(2018·廣東深圳中學月考)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a3＝7，a1＋a7＝10，Sn為其前n項和，則使Sn取到最大值的n＝________.解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝7，,2a4＝10，))故d＝a4－a3＝－2，an＝a3＋(n－3)d＝7－2(n－3)＝13－2n.令an>0，得n<6.5.所以在等差數(shù)列{an}中，其前6項均為正，其他各項均為負，于是使Sn取到最大值的n的值為6.答案：69．(2018·廣西三市第一次聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n－1(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝log4an＋1，求{bn}的前n項和Tn.解：(1)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，當n＝1時，a1＝2－1＝1，滿足an＝2n－1，∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)得，bn＝log4an＋1＝eq\f(n＋1,2)，則bn＋1－bn＝eq\f(n＋2,2)－eq\f(n＋1,2)＝eq\f(1,2)，∴數(shù)列{bn}是首項為1，公差d＝eq\f(1,2)的等差數(shù)列，∴Tn＝nb1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(n2＋3n,4).10.設(shè)數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，其前n項和為Sn，已知對任意n∈N*，Sn是aeq\o\al(2,n)和an的等差中項．(1)證明：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；(2)若bn＝－n＋5，求{an·bn}的最大項的值并求出取最大值時n的值．解：(1)證明：由已知可得2Sn＝aeq\o\al(2,n)＋an，且an>0，當n＝1時，2a1＝aeq\o\al(2,1)＋a1，解得a1＝1.當n≥2時，有2Sn－1＝aeq\o\al(2,n－1)＋an－1，所以2an＝2Sn－2Sn－1＝aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＋an－an－1，所以aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝an＋an－1，即(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1，因為an＋an－1>0，所以an－an－1＝1(n≥2)．故數(shù)列{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．(2)由(1)可知an＝n，設(shè)cn＝an·bn，則cn＝n(－n＋5)＝－n2＋5n＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))2＋eq\f(25,4)，因為n∈N*，當n＝2或n＝3時，{an·bn}的最大項的值為6.B級——拔高題目穩(wěn)做準做1.設(shè){an}是等差數(shù)列，d是其公差，Sn是其前n項和，且S5<S6，S6＝S7>S8，則下列結(jié)論錯誤的是()A．d<0B．a(chǎn)7＝0C．S9>S5D．當n＝6或n＝7時Sn取得最大值解析：選C由S5<S6，得a1＋a2＋a3＋a4＋a5<a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，即a6>0.同理由S7>S8，得a8<0.又S6＝S7，∴a1＋a2＋…＋a6＝a1＋a2＋…＋a6＋a7，∴a7＝0，∴B正確；∵d＝a7－a6<0，∴A正確；而C選項，S9>S5，即a6＋a7＋a8＋a9>0，可得2(a7＋a8)>0，由結(jié)論a7＝0，a8<0，知C選項錯誤；∵S5<S6，S6＝S7>S8，∴結(jié)合等差數(shù)列前n項和的函數(shù)特性可知D正確．選C.2.若數(shù)列{an}滿足eq\f(an＋1,2n＋5)－eq\f(an,2n＋3)＝1，且a1＝5，則數(shù)列{an}的前200項中，能被5整除的項數(shù)為()A．90 B．80C．60 D．40解析：選B數(shù)列{an}滿足eq\f(an＋1,2n＋5)－eq\f(an,2n＋3)＝1，即eq\f(an＋1,2n＋1＋3)－eq\f(an,2n＋3)＝1，又eq\f(a1,2×1＋3)＝1，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n＋3)))是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴eq\f(an,2n＋3)＝n，∴an＝2n2＋3n，列表如下：項12345678910an的個位數(shù)5474509290∴每10項中有4項能被5整除，∴數(shù)列{an}的前200項中，能被5整除的項數(shù)為80，故選B.3.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，S