2024年浙江寧波鄞州中學(xué)強(qiáng)基招生數(shù)學(xué)試卷真題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024年浙江省寧波市鄞州中學(xué)強(qiáng)基招生數(shù)學(xué)試卷一、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分．1．若，且，則．2．．3．已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值為．4．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最大值5，則的值為．5．已知中，上的一點(diǎn)，，，則的最大值為．6．若點(diǎn)為線段中點(diǎn)，，且，，，，則．7．如圖，在中，，分別在，上，連接交于，若，，，，共線，的面積為，則的面積為．8．已知整數(shù)，，滿足，則的最小值為．9．已知，，是大于1的正整數(shù)，且為整數(shù)，則．10．已知、為圓的兩條切線，連接交圓于點(diǎn)，若，，，則．二、解答題：本題共2小題，共16分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．11．已知，矩形的A，B頂點(diǎn)分別在x軸，y軸上，反比例函數(shù)與矩形的，分別交于，，的面積為．(1)判斷并證明直線與的關(guān)系．(2)求k的值．(3)若E，F(xiàn)分別為直線和反比例函數(shù)上的動(dòng)點(diǎn)，M為中點(diǎn)，求的最小值．12．如圖，在中，，是垂心，是外心，延長交于，于．(1)求證：．(2)證明：，，，四點(diǎn)共圓．(3)若，求．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．##【分析】根據(jù)觀察方程組的系數(shù)特點(diǎn)，可把方程組轉(zhuǎn)化成的形式，其中，是其兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到結(jié)果．本題考查了解方程組，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用．關(guān)鍵是觀察方程組的系數(shù)特點(diǎn)，得到，是方程的兩個(gè)根，得到結(jié)果．【詳解】解：，∴，∴，，，是方程的兩個(gè)根，，．故答案為：．2．【分析】本題主要考查了數(shù)字變化的規(guī)律，將改寫為，改寫為，，再利用裂項(xiàng)相消法即可解決問題．【詳解】解：∵，∴原式．故答案為：．3．【分析】本題主要考查二次根式的最值問題，勾股定理，用幾何法構(gòu)造直角三角形，結(jié)合最短路徑問題是解決問題的關(guān)鍵．本題利用幾何法求解，通過構(gòu)造圖示的三個(gè)直角三角形，即，，，則由勾股定理可知，即，同理可得：，，進(jìn)而得到，可知當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，最小，即為長，根據(jù)勾股定理求出，即可求解．【詳解】解：構(gòu)造圖示的三個(gè)直角三角形，即，，，滿足，，，，，，則由勾股定理可知，即，同理可得，，，即可知當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小值為的長，當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，．在中，．故答案為：．4．1或7【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值、二次函數(shù)的最值，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．依據(jù)題意，由的對(duì)稱軸是直線，結(jié)合當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而分類討論即可判斷得解．【詳解】解：由題意，的對(duì)稱軸是直線，當(dāng)時(shí)，．∵當(dāng)時(shí)，有最大值5，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴最大值可能在這三個(gè)數(shù)處取得：①當(dāng)最大值為，或，∵當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)有最小值，不符合題意，②當(dāng)最大值為，或∵當(dāng)時(shí)，，此時(shí)最大值在對(duì)稱軸右側(cè)取得，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)最大值在處取得，不符合題意，∴或均不合題意，③當(dāng)最大值為，或，∵當(dāng)時(shí)，，此時(shí)最大值在對(duì)稱軸處取得，不符合題意，∴，綜上，或7．故答案為：1或7．5．90°【分析】本題考查了四點(diǎn)共圓，圓的有關(guān)知識(shí)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．由題意可得點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)與圓相切時(shí)，有最大值，由“”可證，可得，可證四邊形是矩形，可得，即可求解．【詳解】解：如圖，以為邊作等邊，連接，過點(diǎn)作于，，設(shè)，則，，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與圓相切時(shí)，有最大值，此時(shí)：，是等邊三角形，，，，，又，，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是矩形，，故答案為：．6．3【分析】先畫出圖形，過作．延長交于．由，得，證明，得，，由面積，得，，，，，，最后再計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，過作．延長交于．，，為線段中點(diǎn)，，在和中，，，，面積，，，，，，，．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，二次根式的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)，利用中線倍長是解題關(guān)鍵．7．【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積問題等內(nèi)容，在初中競(jìng)賽、自招、強(qiáng)基等題目中，梅涅勞斯定理和塞瓦定理是必須掌握的基礎(chǔ)內(nèi)容．根據(jù)梅涅勞斯定理和塞瓦定理可得出和，從而得出，再利用即可得解．【詳解】解：梅涅勞斯定理：如圖，，證明：過作交延長線于點(diǎn)，則，，；塞瓦定理：如圖，，根據(jù)上述梅涅勞斯定理，可得出，在中，是梅涅線，①在中，是梅涅線，②．根據(jù)梅涅勞斯定理，在中，是梅涅線，，，，，，，，根據(jù)塞瓦定理可得，，，而，，，故答案為：30．8．118【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握完全全平方公式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)，得出，從而得出，，，然后再進(jìn)行運(yùn)算，得出結(jié)論即可．結(jié)論．【詳解】解：，，，，，，即，故答案為：118．9．12【分析】先求出，再不妨設(shè)，則，據(jù)此得到，當(dāng)時(shí)，則，不符合題意，據(jù)此可得或，當(dāng)時(shí)，，則，可得，則；當(dāng)時(shí)，，則，則，可得．【詳解】解：，、、是大于1的正整數(shù)，∴不妨設(shè)，∴，，∴，∵為整數(shù)，∴，當(dāng)時(shí)，則，不符合題意，∴或，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；綜上所述，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，分式的乘法計(jì)算，根據(jù)題意推出，且或是解題的關(guān)鍵．10．【分析】連接，，，作，設(shè)，證是等邊三角形，得出，證，，得出，得出是直徑，再利用勾股定理列方程求出，即可．【詳解】解：連接，，，過點(diǎn)A作作于F，設(shè)，同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍，，，，是等邊三角形，，，，是的切線，，，，，，，，，，，同理可證：，得出：，，，，，是直徑，，，，，，，，，，，(負(fù)值已舍去），．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，切線長定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，解一元二次方程等知識(shí)．作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．11．(1)，理由見解析(2)6(3)【分析】（1）可表示出，，從而得出，，進(jìn)而表示出和，進(jìn)而得出，進(jìn)而證得，從而，從而得出；（2）作于，可推出，從而，進(jìn)一步得出結(jié)果；（3）取點(diǎn)，，則直線與直線關(guān)于O對(duì)稱，連接，并延長交于H，連接，則，可得出當(dāng)最小時(shí)，最小，作直線，交y軸與，且使與雙曲線在第一象限的圖象相切，切點(diǎn)為，連接，作，則的最小值是的長，可設(shè)直線的解析式為：，由整理得，，從而得出，求得的值，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖1，，理由如下：，矩形的A，B頂點(diǎn)分別在軸，y軸上，反比例函數(shù)與矩形的，分別交于D，C，，，，，，，，，，，，；（2）解：如圖2，作于G，，，，，，（舍去），；（3）解：如圖3，取點(diǎn)，，則直線與直線關(guān)于O對(duì)稱，連接，并延長交于，連接，則，M是的中點(diǎn)，，當(dāng)最小時(shí)，最小，作直線，交y軸與Q，且使與雙曲線在第一象限的圖象相切，切點(diǎn)為，連接，作，當(dāng)重合，重合，則的最小值是的長，直線的解析式為：，設(shè)直線的解析式為：，由整理得，，，，（舍去），，，直線為，∴，，∴，∴，當(dāng)最小時(shí)，最小，的最小值是的長，．【點(diǎn)睛】本題考查了求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象的交點(diǎn)與方程（組）之間的關(guān)系，三角形中位線的性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形的中位線．12．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）以為圓心，為半徑作圓，連接，延長交圓于點(diǎn)，連接，，，，，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)N，由垂心，得到垂直關(guān)系，得到證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)中位線性質(zhì)得出，從而得到結(jié)果；（2）先求出，再結(jié)合，證明，得到四點(diǎn)共圓；（3）以為圓心，為半徑作圓，連接，延長交圓于點(diǎn)，連接，，，，，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)N，設(shè)，用表示出的各邊，利用勾股定理，得到一元二次方程，利用求根公式求方程的根，得到結(jié)果．【詳解】（1）解：以為圓心，為半徑作圓，連接，延長交圓于點(diǎn)，連接，，，，，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)N，如圖所示：是直徑，∴，，，為垂心，，，，，，是平行四邊形，，∵，O為外心，∴，∵，∴為的中位線，∴，∴，即；（2）解：連接，，，，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)N，如圖所示：，∴，為垂心，，，，∴，∴，∴，，、、、四點(diǎn)共圓；（3）解：以為圓心，為半徑作圓，連接，延長交圓于點(diǎn)，連接，，，，