2021年高考數(shù)學(xué)模擬考場(chǎng)仿真演練卷（江蘇專(zhuān)用）（解析版）

絕密★啟用前

2021年高考數(shù)學(xué)模擬考場(chǎng)仿真演練卷(江蘇專(zhuān)用)

第二模擬

本試卷共22題。全卷滿(mǎn)分150分。考試用時(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng):

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.已知全集U為實(shí)數(shù)集，4={尤|酎-3xW0},B={x\x>l],則AA(CuB)=()

A.{x|0Wx<l}B.{尤|0W尤Wl}C.{x|lWx<3}D.{x|0WxW3}

【答案】B

【分析】可求出集合4然后進(jìn)行補(bǔ)集和交集的運(yùn)算即可.

【解答】解：{尤|0<W3},B={x\x>\],

CuB={RxW1},AH(CuB)={x|04Wl}.

故選：B.

【知識(shí)點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算

2.已知復(fù)數(shù)z=(a-20(2+i)(a為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位)為純虛數(shù)，貝蛔=()

A.A/3B.3C.5D.近

【答案】C

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算及純虛數(shù)、復(fù)數(shù)的模的概念求得結(jié)果.

【解答】解：由題設(shè)知：z=(a-2D(2+0=(2a+2)+(a-4)i,

為純虛數(shù)，，2a+2=0,解得：a=-1,

.\z=-5i,|z|=5,

故選：C.

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模

3.為了更好地引領(lǐng)廣大團(tuán)員青年繼承和發(fā)揚(yáng)五四精神，為實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的中國(guó)夢(mèng)而努力奮斗，某學(xué)

校團(tuán)委在五四運(yùn)動(dòng)101周年紀(jì)念日即將來(lái)臨之際，舉行了“傳承五四精神，書(shū)寫(xiě)戰(zhàn)疫青春”云主題演講

活動(dòng).本次演講有6名同學(xué)和2名青年教師參加，在演講出場(chǎng)順序中要求兩位教師中間恰好間隔3名同

學(xué)，則8人不同的出場(chǎng)的順序種數(shù)為()

A.480B.960C.2880D.5760

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①在6人中任選3人，安排在2名教師中間，②將這個(gè)整體與其他

3人全排列，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①在6人中任選3人，安排在2名教師中間，有C6343A22種情況，

②將這個(gè)整體與其他3人全排列，有A?種排法，

3324

則有C6A3A2A4=5760種安排方法，

故選：D.

【知識(shí)點(diǎn)】排歹！J、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題

4.幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問(wèn)題：“設(shè)點(diǎn)M,N是銳角NAQB的一邊上的兩點(diǎn)，試在邊上找一

點(diǎn)、P,使得NMPN最大”.如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)尸為過(guò)M,N兩點(diǎn)且和射線(xiàn)QB相切的圓的切點(diǎn).根據(jù)

以上結(jié)論解決以下問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，給定兩點(diǎn)2),N(1,4),點(diǎn)尸在尤軸上

移動(dòng)，當(dāng)NMPN取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是()

A.1B.-7C.1或-7D.2或-7

【答案】A

【分析】根據(jù)米勒問(wèn)題的結(jié)論，P點(diǎn)應(yīng)該為過(guò)M,N的圓與無(wú)軸的切點(diǎn)，結(jié)合幾何關(guān)系求解即可.

【解答】解：依題意，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b),

則圓的方程為(X-a)2+(y-b)2=b2,

M,N兩點(diǎn)在圓上，所以，(-?)2+(245)252,

,(1-a)2+(4-b)2=b2

解得卜口或者卜一(舍)，

lb=2lb=10

故尸點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)芍本€(xiàn)的夾角與到角問(wèn)題

5.某學(xué)校要在6名男生和3名女生中選出5名學(xué)生進(jìn)行關(guān)于愛(ài)國(guó)主義教育相關(guān)知識(shí)的初賽，要求每人回答一

個(gè)問(wèn)題，答對(duì)得2分，答錯(cuò)得。分.已知6名男生中有2人不會(huì)答所有的題目，只能得。分，其余4人

可得2分，3名女生每人得2分的概率均為2.現(xiàn)選擇2名男生和3名女生，每人答一題，則所選隊(duì)員

3

得分之和為6分的概率為()

A.AB.1°4c.3D.假

3105581

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，記“所選5位隊(duì)員得分之和為6分”為事件E,據(jù)此分3種情況討論：①男生得。分,

女生得6分，②男生得2分，女生得4分，設(shè)其為事件8,③男生得4分，女生得2分，設(shè)其為

事件C,求出三個(gè)事件的概率，將其相加即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，記”所選5位隊(duì)員得分之和為6分”為事件E,

分3種情況討論：

c乙

①男生得0分，女生得6分，設(shè)其為事件A,則尸(A)=—XC33(Z)3x(1)°=上，

033405

C】C1

22

②男生得2分，女生得4分，設(shè)其為事件8,則P(B)=-AJ-XC3(I)X(1)i=』Z,

033135

③男生得4分，女生得2分，設(shè)其為事件C,則尸(C)=-4xC31(1)iX(1)2=_￡,

■3345

0

故尸(E)=尸(A)+P(B)+P(C)=^_+^_+_￡=絲，

4051354581

故選：D.

【知識(shí)點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率、古典

概型及其概率計(jì)算公式

、(|x+11,-74x40、，

6.已知函數(shù)/(x)=J，g(%)=/-2x,設(shè)〃為實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)相，使/(小)-2g

lnx,eMx《巳

(〃)=0,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為()

A.[-1,4-00)B.(-8,-1]U[3,+8)

C.[-1,3]D.(-8,3]

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)/(x)的圖象，得出值域?yàn)閇-2,6],利用存在實(shí)數(shù)出使/(M-2g(〃)=0,得出

2g(〃)的值域滿(mǎn)足-2W2“2-4”W6,即可.

【解答】解：??&(x)=爐-2心設(shè)〃為實(shí)數(shù)，

2g(〃)=24-4〃，

9Jy=2a1-4&,tzGR,

??當(dāng)〃=1時(shí),y最小值=-2,

|x+l|,-7<x<0

???函數(shù)/(x)

lnx,e

/(-7)=6,f(e?)=-2,

，值域?yàn)閇-2,6]

???存在實(shí)數(shù)如使/(相)~2g(〃)=0,

-2W2〃2-4〃W6,

即-lWaW3,

【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

7.點(diǎn)M,N分別是棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-AiBiCiDi中棱BD,CG的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCC/1（包

括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng).若Rh〃面AMN,則P4i的長(zhǎng)度范圍是（）

D.[2,引

【答案】B

【分析】取SG的中點(diǎn)E,2S的中點(diǎn)R連結(jié)4E,AiF,EF,取E尸中點(diǎn)。，連結(jié)4。，推導(dǎo)出平面AMN

〃平面AiER從而點(diǎn)尸的軌跡是線(xiàn)段ER由此能求出的長(zhǎng)度范圍.

【解答】解：取SG的中點(diǎn)E,的中點(diǎn)R連結(jié)小￡AiF,EF,取中點(diǎn)。，連結(jié)40,

?.?點(diǎn)M,N分別是棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-AiSCbDi中棱BC,CG的中點(diǎn),

：.AM//AiE,MN//EF,

'：AM^MN=M,AxEC\EF=E,

：.平面AMN//平面AiEF,

:動(dòng)點(diǎn)P在正方形2CGS(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且B4i〃面AMN,

點(diǎn)尸的軌跡是線(xiàn)段ER

22

VAiE=AiF=^2+1=V5,EF=dF+]2=&,

：.AIO±EF,

...當(dāng)P與。重合時(shí)，Bh的長(zhǎng)度取最小值4。=府過(guò)尊挈

當(dāng)尸與E(或尸)重合時(shí)，B4i的長(zhǎng)度取最大值為AiE=AbF=近.

的長(zhǎng)度范圍為[心但，V5L

2

故選:B.

【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算

8.已知定義在R上的函數(shù)y=/(x+1)-3是奇函數(shù)，當(dāng)xe(1,+8)時(shí)，/(x)2x+——-3,則不等式，

x-1

(X)-3血(x+1)>0的解集為()

A.(1,+8)B.(-1,0)U(e,+8)

C.(0,1)u(e,+8)D.(-1,0)u(1,+8)

【答案】D

【分析】根據(jù)已知可得對(duì)(0,+8),均有/(x+1)20,從而可得y=/(尤+1)-3在(0,+°°)上單

調(diào)遞增，由函數(shù)的奇偶性可知函數(shù)y=/(x+l)-3在R上單調(diào)遞增，作出函數(shù)y=/(x+l)-3的

大致圖象，利用圖象的平移可得/(無(wú))-3的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求得不等式的解集.

【解答】解：因?yàn)橛?1,+8)時(shí)，f(x)

X-1

則可令x=xi+l,此時(shí)xi>0,

所以當(dāng)xiE(0,+°°)時(shí)，f(xi+1)2為+1-2,

X1

即對(duì)VxE(0,+8),均有了(x+1)20,

因?yàn)閥=/(x+l)-3,所以=f(x+1),

所以y=/(尤+1)-3在(0,+8)上單調(diào)遞增,

由函數(shù)y=f(x+1)-3是奇函數(shù)，

所以函數(shù)y=/(x+1)-3在R上單調(diào)遞增，

故可大致畫(huà)出函數(shù)y=/(x+l)-3的圖象，

對(duì)于/(無(wú))-3只需要將〉=/(彳+1)-3向右平移1個(gè)單位即可得到,

當(dāng)x>0時(shí)，In(x+1)>0,此時(shí)只需要/(x)>3即可，

由圖象可知，此時(shí)xe(1,+8),

當(dāng)-l<x<0時(shí)，In(x+1)<0,此時(shí)只需要/(x)<3即可，

由圖象可知，此時(shí)疣(-1,0).

綜上，不等式的解集為(-1,0)U(1,+8).

故選：D.

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求

的，選對(duì)得分，錯(cuò)選或漏選不得分。

22

9.已知雙曲線(xiàn)一--工-=1的離心率為2,則左的值可以為()

k2-54k

A.-3B.6--?.]41C.3D.6+141

【答案】BC

【分析】判斷雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)所在軸，然后利用離心率列出方程求解即可.

/-5>0

k>0

【解答】解：當(dāng)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸時(shí)，，9，解得％=3.

k-5+4k.

-2-----=4

k'-5

k2-5<0

k<0…!—

雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸時(shí)，可得，，角牛得k=6-,

-我-（k2-5）_A

-------------4

-4k

故選：BC.

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線(xiàn)的性質(zhì)

10.已知函數(shù)/(%)=sinu)x+cos3x的最小正周期是ir,則下列判斷正確的有()

A.函數(shù)/(x)的圖象可由函數(shù)丫=&$皿2苫的圖象向左平移2L個(gè)單位得到

4

B.函數(shù)/G)在區(qū)間［工，旦口上是減函數(shù)

88

C.函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(工，0)對(duì)稱(chēng)

8

D.函數(shù)/(x)取得最大值時(shí)x的取值集合為&|x=k兀玲，k€Z}

【答案】BCD

【分析】先利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【解答】解：(x)=sin3x+cos3x=J^sin(o)x+_ZL)的周期T=2n.=n,

4G)

兀

...3=2,f(x)=V2sin(2x+-^),

對(duì)A,函數(shù)/(x)的圖象可由函數(shù)丫=加國(guó)112彳的圖象向左平移三個(gè)單位得到，A不正確；

8

對(duì)8,由工W2x+工〈亞可得，2L<X<12L,故/co在區(qū)間［工，且L］上單調(diào)遞減,

24飛28飛飛888

B正確；

對(duì)C,因?yàn)?(-三)=0,得到函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為(工，0),C正確.

88

對(duì)，因?yàn)閟in(2x+^~)=l》2x+：=彳+2k冗=x=k兀+'(k￡Z>。正確?

故選：BCD.

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)y=Asin(sx+(p)的圖象變換、三角函數(shù)的周期性、兩角和與差的三角函數(shù)

n.下列命題中正確命題是()

A.函數(shù)了(無(wú))^V2+X2+/1T有最小值2

V2+x2

B.4x7=0”的一個(gè)必要不充分條件是“尤=5”

C.命題0：3xGR,tanx=l；命題q：VxGR,x2-x+1>0.則命題"pA(一'q)"是假命題

D.函數(shù)/(x)=/-3記+1在點(diǎn)(2,f(2))處的切線(xiàn)方程為y=-3

【答案】CD

【分析】A令五貶,g(r)=t+L利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，即可判斷出正誤；B((x

=5"今"x2-4x-5=0,?,反之不成立，即可判斷出正誤；C命題p：3X=-2L,tanx=l,因此是

4

22

真命題；命題夕：VxGR,X-X+1=+.?.>0,是真命題.即可判斷出正誤；。函數(shù)/(x)

=/-3f+l,f'(x)=3f-6x,/(2)=0,f(2)=-3,即可得出函數(shù)/(x)在點(diǎn)(2,f(2))

處的切線(xiàn)方程，即可判斷出正誤.

2

【解答】解：令巧2+*2=’>&，s(力=f+—>g'(f)=1-3=t>3因此函數(shù)g⑺單調(diào)遞

=21

函數(shù)/(尤)^2+X+/0有最小值?返，大于2,因此A不正確；

7^72

“/-飄-5=0”的一個(gè)充分不必要條件是“x=5”，因此2不正確；

命題0：3x=-^-,tanx—1,因此是真命題；命題q：VxeR,x2-x+l=6卷)2_(^>0,是真

命題.則命題“p八(「q)”是假命題，C正確；

函數(shù)/(x)=x3-3x^+1,f'(x)=3^-6x,f'(2)=0,f(2)=-3,；.函數(shù)/(x)在點(diǎn)(2,

f(2))處的切線(xiàn)方程為y=-3,Z)正確.

故選：CD.

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程、復(fù)合命題及其真假、充分條件、必要條件、充要條件、基

本不等式及其應(yīng)用

12.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中p(X=0)=」，E(X)、D(X)分別為隨機(jī)變量X均值與方差，則下列

3

結(jié)論正確的是()

A.P(X=l)=E(X)B.E(3X+2)=4

C.D(3X+2)=4D.D(X)="1

【答案】AB

【分析】推丑陋同尸(X=l)=2從而￡(X)=AX—+1X—D(X)=(0-2)2xl+(1-2)2

3u3133333

x2=2,由此能過(guò)河卒子同結(jié)果.

39

【解答】解：隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中p(x=o)=」，

3

:.p(x=i)=2,

3

E(X)=OX^-+1X-1=|'

OOo

D(x)=(0-2)2XA+(I-2)2x2=2,

33339

在A中，P(X=l)=E(X),故A正確；

在2中，E(3X+2)=3E(X)+2=3*u+2=4，故2正確；

在C中，。(3X+2)=9。(X)=9x2=2,故C錯(cuò)誤；

9

在。中，D(X)=2,故￡>錯(cuò)誤.

9

故選：AB.

【知識(shí)點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知直線(xiàn)/：y=kx+l(在R),若直線(xiàn)上/總存在點(diǎn)M與兩點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)連線(xiàn)的斜率之積為

-3m(m>0),則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

【分析】由題意利用斜率公式可得1y2=-3m(x2-l)能成立，即(國(guó)3Mf+2米+1-3m=0能成立.由

y=kx+l

判別式△》()，可得-12+36加20,由此可得根的范圍.

【解答】解：設(shè)M(x,y)在直線(xiàn)/：y=fcc+l(髭R)上，

則KMA'KMB=-^—'-^—=~3m,故產(chǎn)=-3m(x2-1).

x+1X-1

由<y—3m(x-1)能成立，可得(F+3MxI+2,kx+l-3m—0能成立.

y=kx+l

.?.△=43-4(3+3加)(1-3m)=12MM-12機(jī)+36加220,

Vm>0,；.12二-12+36/篦20,故-12+36mN0,

3

故答案為：機(jī)》工.

3

【知識(shí)點(diǎn)】直線(xiàn)的斜率

14.數(shù)學(xué)家也有許多美麗的錯(cuò)誤，如法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1640年提出了以下猜想6=22X1(〃=0,1,2,…)

是質(zhì)數(shù).直到1732年才被善于計(jì)算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出尸5=641*6700417,不是質(zhì)數(shù).現(xiàn)設(shè)斯=log21log2

CFn-1)](〃=1,2,???),bn=———---則表示數(shù)列｛兒｝的前〃項(xiàng)和S〃=_______.

an(&n+D

【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得斯=10g2[10g2(F?-1),代入勿=—」一通過(guò)裂項(xiàng)求和方法即

an('『1)

可得出｛瓦｝的前〃項(xiàng)和勵(lì).

2=n=n,

【解答】解:a?=log2[log2(F?-1)]=log2[log2(2°)log22

則bn=——"——b=_/工、-=△■■二

n(n+l)nn+1

，數(shù)列｛兒｝的前n項(xiàng)和sn=\-A+A-A++A--A_=i--L-=—D-,

223nn+1n+1n+1

故答案為：

n+1

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列遞推式、數(shù)列的求和

15.A,B,C,。為球面上四點(diǎn)，M,N分別是A5,的中點(diǎn)，以MN為直徑的球稱(chēng)為A3,CD的“伴隨

球”，若三棱錐A-BCD的四個(gè)頂點(diǎn)在表面積為64TT的球面上，它的兩條邊AB,CD的長(zhǎng)度分別為2枚和

4?,則AB,8的伴隨球的體積的取值范圍是.

【分析】由已知求出三棱錐A-BCD的外接球的半徑，求出OM,ON的長(zhǎng)度，進(jìn)一步求出MN的范圍，則

答案可求.

【解答】解：由題意可知，球的半徑為R=4,分別取球。的兩條弦AB,CO的中點(diǎn)M,N,

則OM="_7=3,?？?山2-]2=2,即弦AB，C。分別是以。為球心，

半徑為3和2的球的切線(xiàn)，且弦AB在以。為球心，半徑為2的球的外部，

MN的最大距離為2+3=5,最小距離為3-2=1.

當(dāng)M,O,N三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，分別取最大值5與最小值1.

故半徑分別為立，工，

22

：.AB,C。的伴隨球的體積的取值范圍是[匹，1252L].

66

故答案為：[工，終兀J

66

【知識(shí)點(diǎn)】球的體積和表面積

16.如圖，某景區(qū)有景點(diǎn)A,B,C,D.經(jīng)測(cè)量得，BC=6km,ZABC=120°,sin/8AC=Y^l,ZACD^

14

60°,CD^AC,則AO=km,現(xiàn)計(jì)劃從景點(diǎn)8處起始建造一條棧道BM,并在M處修建觀景臺(tái).為

獲得最佳觀景效果，要求觀景臺(tái)對(duì)景點(diǎn)A、。的視角/4加。=120。.為了節(jié)約修建成本，棧道3M長(zhǎng)度

的最小值為km.

【分析】在AABC中，直接由正弦定理求解的長(zhǎng)度；以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，以2C所在直線(xiàn)為無(wú)軸建立平面

直角坐標(biāo)系，求出M點(diǎn)的軌跡，可知M點(diǎn)在圓x2+(y_io百)2=弘的一段圓弧上，再由圓心到

B點(diǎn)的距離減去半徑求得棧道長(zhǎng)度的最小值.

【解答】解：在△ABC中，BC=6,ZABC=120°,sin/B4c=2^1,

14

由正弦定理可得：一二一=一空一，即

sinZBACsinZABCV2^^

_142

解得：AC=Wi_

在△ACD中，由NAC￡>=60°,CD=AC,得△ACD為等邊三角形，可得AO=AC=

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

由sinNBAC=^，得cos/BAC=答'

sinZACB=sin(120°+ZBAC)=sinl20°cosZBAC+cos120°sinZBAC

5771V21V21

彳FyTy百=—>

cosZACB=Vl-sin2ZACB=^Y-

在△ABC中，由正弦定理可得：——蛆——=~,解得42=12.

_sinZACBsinl20°

點(diǎn)的坐標(biāo)為(-6,6?).

sinZ￡)Cx=sin(60°+ZACB)=sin60°cosZACB+cos60°sinZACB

=運(yùn)矩△叵=組，

272714

則cos/OCx=hsin2/DCx=%

二。點(diǎn)坐標(biāo)為(9,95).

設(shè)y),則卜1rL"%巨，k".

MAx+6皿x-9

廠

x+6x-9

VZAMB=120°,J由到角公式可得：tanl20°-代

ty-W3y-9V3

+~x+6-x-9

整理得：x2+(y-10?)2=84

二?M點(diǎn)在圓>2+@_]02=%的一段圓弧上.

圓心為（0,10立），半徑為2折.

則長(zhǎng)度的最小值為加“10后戶(hù)-2亞=1岫-2收?

故答案為：677；10V3-2V21-

【知識(shí)點(diǎn)】解三角形

四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。考生根據(jù)要求作答。

17.已知△A8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,從條件①/+/_，=2區(qū)從inC,條件②

3一

Z?sinC+V§ccos8,條件③(層+/-/XacosB+bcosA)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，解答下列問(wèn)題.

(I)求角。的大?。?/p>

(II)若。=2,當(dāng)〃，人分別取何值時(shí)，△ABC面積取得最大值，并求出其最大值.

【分析】(/)利用正弦定理，余弦定理可求。的大小，

(〃)由余弦定理及基本不等式可求"的范圍，再由三角形的面積公式即可求解.

【解答】解：(/)若選①由余弦定理及/+/-(?■=2^^〃bsinC得2R?cosC=2^~absinC，

所以tanC=、/5，

因?yàn)镃E(0,71),

所以C=_ZL,

3___

若選②由正弦定理及F4=Z?sinC+Fccos3得，V3sinA=sinBcosC+sinCcosL

所以V^sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB,

所以J^sinBcosC=sinBsinC,

因?yàn)锽e(0,ii),

所以sin3W0,

所以tanC=、/§,

所以c=2L,

3

若選③，由余弦定理及(層+從-c2)?(〃cos5+/?cosA)=abc得,2abeosC(tzcosB+Z?cosA)=abc,

由正弦定理得2cosc(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,

所以2coscsin(A+B)=sinC,

因?yàn)閟inCWO,

所以cosC=」，

2

所以c=?L,

3

(//)由c=2及c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab^ab,

得abW4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào).

所以SAABc=/absinC《M，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)△A2C面積取得最大值加.

【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理

a+1

18.已知數(shù)列｛斯｝滿(mǎn)足〃i=l,nan+\=2(n+1)。〃+〃+2,設(shè)---

n

(I)判斷數(shù)列｛勿｝是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；

(II)若④〈入瓦3，對(duì)都成立，求人的取值范圍.

【分析】(I)直接利用數(shù)列的關(guān)系式的變換和等比數(shù)列的定義求出結(jié)果；

(H)利用(I)的結(jié)論，利用數(shù)列的單調(diào)性和恒成立問(wèn)題的應(yīng)用求出結(jié)果.

=

【解答】解：(I)數(shù)列｛斯｝滿(mǎn)足=1,nan+i2(H+1)斯+幾+2,

整理得〃〃/1=2(〃+1)an+2(n+1)-n,

a_i_i+1at

即〃(tZn+i+l)=2(n+1)(即+1),兩邊同除以〃(n+1)得：n---二2,3-

n+1n

即bn+l=2bn，

故數(shù)列｛5｝是以b]=g-=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

(II)由(I)得：

irln

bn=2X2=2-

n

所以an=n*2-l-

n2n

若an<Xb,?,則n'2-l<X-2,

即人

二n?2J

設(shè)入

22n

則_=(n+l)?2.1n?2n-l_(1-nA2"1+3

cn+l-cn--.2(n+1)~~~-^2(nH)

當(dāng)n—\時(shí)，C2-ci>0,

當(dāng)"22時(shí)，Cn+i-Cn<0,

所以數(shù)列｛Cn｝從第二項(xiàng)起單調(diào)遞減，

所以(c);CL7?

maxc2]6

要使得斯VM"2,對(duì)V吒N+均成立，

則只需使得人>~2：-1恒成立,

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列遞推式、等比數(shù)列的性質(zhì)

19.“在線(xiàn)學(xué)習(xí)”是中小學(xué)生疫情防控期間的主要學(xué)習(xí)手段之一.某校高三年級(jí)對(duì)〃名學(xué)生線(xiàn)上學(xué)習(xí)與線(xiàn)下

學(xué)習(xí)的效果進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：己知從"名學(xué)生中任選一名，取到線(xiàn)上學(xué)習(xí)的女同學(xué)的概率

為專(zhuān)

線(xiàn)上學(xué)習(xí)線(xiàn)下學(xué)習(xí)

男同學(xué)3015

女同學(xué)20m

(1)根據(jù)如表說(shuō)明，能有多大把握認(rèn)為線(xiàn)上學(xué)習(xí)與線(xiàn)下學(xué)習(xí)的效果與性別有關(guān)?

(II)從線(xiàn)上學(xué)習(xí)的同學(xué)中，采用按性別分層抽樣的方法選取10人，再?gòu)倪x取的10人中隨機(jī)抽取3人作

為代表參加學(xué)校組織的視頻會(huì)，設(shè)抽取的3人中女同學(xué)人數(shù)為X,寫(xiě)出X的分布列并求出數(shù)學(xué)期望E(X).

參考公式：心=------n(ad「bc：,)--------,其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

尸(及2%)0.0100.0050.001

k6.647.8810.83

【分析】(I)根據(jù)題意求"，冽，補(bǔ)全2X2列聯(lián)表，計(jì)算K2,與臨界值比較即可判斷；

(II)計(jì)算出分層抽樣抽取的男同學(xué)和女同學(xué)人數(shù)，寫(xiě)出X的所有可能取值，分別計(jì)算概率可

得分布列，進(jìn)而求出數(shù)學(xué)期望.

【解答】解：(I)因?yàn)閺摹麑W(xué)生中任選一名，取到線(xiàn)上學(xué)習(xí)的女同學(xué)的概率為工，

5

所以22=工，

n5

所以幾=100,

因?yàn)?0+15+20+根=100,

所以m=35,

所以2X2列聯(lián)表為：

線(xiàn)上學(xué)習(xí)線(xiàn)下學(xué)習(xí)合計(jì)

男同學(xué)301545

女同學(xué)203555

合計(jì)5550100

根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)得翳/吠書(shū)”>7.88,

所以有99.5%的把握認(rèn)為線(xiàn)上學(xué)習(xí)與線(xiàn)下學(xué)習(xí)的效果與性別有關(guān).

(II)根據(jù)分層抽樣方法得到抽取男同學(xué)有理10=6人，女生有4人,

50

由題意可得X的所有可能取值為0,1,2,3,

p3p2p1

則尸（x=o）=-^-=1,P（x=i）=-fc'-=A,

C36r32

b10-0

plr2p3

則尸（X=2）=:6'4=_g_,p（X=3）=-^-=J_

c310c330

v10v10

所以x的分布列為:

X0i23

p231

2To30

：.E(X)=OxA+lxA+2X_L+3XJ^=A.

6210105

【知識(shí)點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差、獨(dú)立性檢驗(yàn)

20.如圖，四邊形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，ACLBC,△MAC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，以AC

為折痕，將△MAC向上折疊到AD4c的位置，使點(diǎn)。在平面ABC內(nèi)的射影在A8上，再將△AMC向下

折疊到△EAC的位置，使平面EAC_L平面ABC,形成幾何體。ABCE.

(1)點(diǎn)尸在BC上，若〃平面EAC,求點(diǎn)P的位置；

(2)求直線(xiàn)與平面EBC所成角的余弦值.

【分析】(1)點(diǎn)尸為BC的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)￡＞在平面ABC內(nèi)的射影為。，連接?！?,OC,取AC的中點(diǎn)H,連

接EH,由題意知EHLAC,EH_L平面ABC,由題意知O0_L平面ABC,得￡＞。〃平面EAC,取

BC的中點(diǎn)F,連接OF,則。尸〃AC,從而0歹〃平面EAC,平面。。尸〃平面EAC,由此能證明

DF〃平面EAC.

(2)連接OH,由。尸，OH,。。兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OF,OH,。。所在直線(xiàn)分別

為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線(xiàn)A2與平面EBC所成角的余弦值.

【解答】解：(1)點(diǎn)尸為BC的中點(diǎn)，

理由如下：設(shè)點(diǎn)。在平面ABC內(nèi)的射影為。，連接?！?,OC,

'：AD=CD,：.OA=OC,

.?.在Rt/XABC中，。為A2的中點(diǎn)，

取AC的中點(diǎn)連接即，由題意知即，AC,

又平面EAC_L平面ABC,平面EACH平面ABC^AC,

.，.￡W_L平面ABC,由題意知￡)0_L平面ABC,

J.DO//EH,；.r)O〃平面EAC,

取BC的中點(diǎn)R連接OF,則OF"AC,

又OBC平面EAC,ACu平面EAC,OP〃平面EAC,