2021屆人教a版 平面向量 單元測試

平面向量

一、單選題

1.在中，點P是A8上一點，且方=2畫+1而，又N=貝!|f的值

33

為

1215

AA?JnLJ?13?

3323

【答案】A

【解析】本題考查向量加法的平行四邊形法則或三角形法則.

由AP=tAB得AC+CP=t（AC+CB）所以

CP=t（AC+CB）-AC=（i-t）CA+tCB,因為屈=—瓦+—而，所以1=］故選

A

2.已知％5滿足同=26,忖=3,不/=-6,則M在日上的投影為（）

A.-2B.-1C.-3D.2

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)向量投影的定義，即可求解.

【詳解】

“在辦的投影為同2首昔7

故選:A

【點睛】

本題考查向量的投影，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知向量a=(2,m),B=(l,l),若a?彼=卜，-囚，則實數(shù)加=()

A.-B?--C.一

223

【答案】D

【解析】

試題分析:3,選D.

考點：向量坐標(biāo)運算

【方法點睛】平面向量數(shù)量積的類型及求法

(1)求平面向量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式a-b=|a|,b|cos9；二是坐標(biāo)公式

a?6=*兇+外丫2；三是利用數(shù)量積的幾何意義.

(2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運算時，可先利用平面向量數(shù)量積的運算律或相關(guān)公

式進行化簡.

4.設(shè)“是AABC的垂心，且3函+4麗+5阮=0，則cosNBHC的值為()

回RV5?V6nV70

105614

【答案】D

【解析】

【分析】

由三角形垂心性質(zhì)及已知條件可求得|麗卜

y,由向量的夾角公

式即可求解.

【詳解】

由三角形垂心性質(zhì)可得，HAHB=HBHC=7JCHA^不妨設(shè)

HAHB=HBHC=HCHA=x，

：3耐+4而+5比=。,

3HA-HB+4HB+5HC-HB=O'

.?.即=7^7,

小“HBHCV70

…小麗=-丁

故選：D.

【點睛】

本題考查平面向量的運用及向量的夾角公式，解題的關(guān)鍵是由三角形的垂心性質(zhì)，進而

用同一變量表示出|而卜|阮卜要求學(xué)生有較充實的知識儲備，屬于中檔題.

5.已知/4后+A￡)=AC，且AC=。，BD=b>則A3=()

A.^(a-b1-T

B.-(a+bc.押D.—a—b

2、2

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的加減法運算，列方程組即可求AB.

【詳解】

AB+AD=a--1/-

根據(jù)條件《._，AB=-\ci—b\.

AD-AB=b2、'

故選：A.

【點睛】

本題考查向量的加減運算，屬于基礎(chǔ)題.

6.已知向量￡_1〃，忖1,則總+5=()

同

A.V2B.GC.75D."

【答案】A

【解析】

【分析】

利用設(shè)B=(cosa,sina),a=由Z?B=02cosa+力sina=0,

轉(zhuǎn)化位mn

fj+B-1=+cosa,-1=+sina,進而化簡求解即可

\lm2+n2\lm2+n2/

【詳解】

設(shè)B=(cosa,sina),〃=,由75=0=/ncosa+〃sina=0,

/

mn

/+cosa,/

7ml+//yjm2+n

2

m22〃2cosa2〃sina.2/

—7+cosa+r+r+sina+-r

m~+n~>/m24-H2冊之+〃2m~+n~

m2+n2.?2mcos6z2〃sina

―；----7+cos~2a+sma+——=r+—j=—

m~+Vnr+/?7rrr+rr

2x0

2+=垃

y/ni2+n2

答案選A

【點睛】

本題考查向量的模運算，屬于基礎(chǔ)題

7.如圖,D,E,F分別是MBC的邊AB,BC,CA的中點，則而一麗等于（）

B.FC

C.FED.BE

【答案】D

【解析】

AF-DB=AF-AD=DF=BE'故選D.

8.已知￡為單位向量，2+B=（3,4）,則|+1?可的最大值為（）

A.6

B.5

C.4

D.3

【答案】B

【解析】

試題分析：設(shè)M=（cose,sine）,B=（3-cos6,4-sin。），

l+M-B=l+（3—cose）cos8+（4-sine）sin。=4sin6+3cos6=5sin（e+o）,最

大值為5.

考點：向量運算.

9.如圖，OC-2OP,AB—2AC,OM=mOB,ON=nOA，若機=—,那么〃

8

()

12「34

A.5B,-C-4D.-

【答案】C

【解析】

試題分析：由0。=2。戶，A月=2而1，知點C是AB的中點，點P是0C的中點，

所以反=；（赤+函n而=；（礪+函，又麗=（礪，ON=nOAt

從而福=麗一兩=〃礪一一OBMP=OP-OM=-OA——OB

隊間848

再注意到點M,P,N共線，所以存在實數(shù)X,使=成立;

—?3—■1—?1—.

即：nOA——OB=A（-OA一一OB）

8481

1,

_n=-A3

又因為0A03不共線，所以有｛4,=〃=：；

--=--24

I88

故選C.

考點：1.平面向量基本定理；2.向量的加減法；3.向量共線.

10.在AABC,角A,8,C的邊分別為a,b,C,且csin(B+工］=@a,

I3j2

CA.CB=20?。=7,則AABC的內(nèi)切圓的半徑為（）

A.72B.1C.3D.73

【答案】D

【解析】

由csin[B+工)=且。及正弦定理得2sinC(—sinB+—cos8)=出sinA，

(3J222

整理得sirtBsinC+V3cosBsinC二百sinA.

,/sinA=sin(B+C)=sin3cosC+cosBsinC,

?e?sinBsinC+V3cosBsinC=>/3sinBcosC+>/3cosBsinC，

?e?sinBsinC=>/3sinBcosC，

又sinfiwO,

***sinC=A/3COSC?故tanC=>/3,C=y.

：?CACB=abcosC=20,

ab=40.

22

由余弦定理得/=a+b-2ahcosC，

即49=a2+/-ah=(rz+Z?)2-3ah-(a+b?-120，

解得〃+/?=13.

，Q+/?+C=20.

Sgsc=^absinC=；(a+b+c)r,

”=G選D.

點睛:

(1)解三角形中，余弦定理和三角形的面積公式經(jīng)常綜合在一起應(yīng)用，解題時要注意

余弦定理中的變形，如Y+從=3+份2—297,這樣借助于。力和三角形的面積公式聯(lián)

系在一起.

（2）求三角形內(nèi)切圓的半徑時，可利用分割的方法，將三角形分為三個小三角形，且

每個小三角形的高均為內(nèi)切圓的半徑，然后利用公式廠=2s產(chǎn)可得半徑.

a+b+c

--1rr1

11.△ABC中，m=(cosA,sinA),〃=(85民一51113),若〃2-〃=5，則角。為()

27r51

B.—D.

3*~6

【答案】B

【解析】

【分析】

!1jr

根據(jù)向量數(shù)量積得cosAcos8—sinAsin8=—，cos(A+B)=—,A+8=-即可求

2'’23

解.

【詳解】

由題：AA6C中，m=(cosA,sinA),”=(cosB,—sinB),

ITrii

若/”?〃=—,即cosAcosB-sinAsin8=一

22

1jr

COS(A+3)=5，A+B=]

所以話.

故選：8

【點睛】

此題考查根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解三角形的內(nèi)角，關(guān)鍵在于熟練掌握兩角和

的余弦公式的逆用.

12.如圖所示，已知在AA5c中，。是邊AB的中點，則。方=（）

B4--------------------

urn1uu'uuniuuruuniuiruimiuir

A.BC--BAB.-BC+-BAC.-BC--BAD.BC+-BA

2222

【答案】B

【解析】

【分析】

由題易知：BD=—BA,再根據(jù)向量的加法法則計算即可.

2

【詳解】

是邊4?的中點，，有方='麗，，前=麗+6方=一百己+，胡.

22

故選：B.

【點睛】

本題考查向量的加法法則，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題

13.已知向量萬萬滿足可。+9=5,且同=2,同=1,則向量。與5的夾角為

【答案】|

【解析】

【分析】

由?。ㄈf+萬）=5可求得］石=1，利用向量夾角公式即可得解.

【詳解】

因為磯萬+可=5,同=2,

所以萬2十萬石=5，解得：a石=1,

a-b1

H=麗二

所以向量1與5的夾角為

【點睛】

本題主要考查了向量的數(shù)量積運算及向量夾角的數(shù)量積表示，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

14.已知向量a=1)=(3,m),若a〃(a+。，則機=.

【答案】-3

【解析】

試題分析：a+b=(2,l+m),由于〃〃?，+可，lx(l+m)=1x2,解得加=一3.

考點：向量平行的條件.

15.若向量％=(―1,3),5=住,2),向量“一石與萬的夾角為彳，則整數(shù)k=

【答案】1

【解析】

7T

由題意得cos

V24+k

—y--------------,-=>2攵之+%一3=0?.?攵￡Z.?.攵=1

2Vio7(i+^)2+i

16.已知A(1,2)和B(3,2),若向量〃=(x+3,x2-3x-4)與福相等，貝Ux=

【答案】-1

【解析】

【分析】

首先求出向量A%,再由向量相等的定義可得關(guān)于x的方程組，解方程即可.

【詳解】

?/A(l,2),8(3⑵，

幾=(2,0)，

又'JI可量a-(x+3,x2_3x_4)與AB相等，

尤+3=2

4，解得：X=—1

f2-3x—4=0

【點睛】

本題主要考查向量的表示以及向量相等的定義，屬于基礎(chǔ)題型.

三、解答題

17.（本小題滿分10分）已知|￡|=2,伍|=3,￡與坂的夾角為60?,c=5a+3b,

d-3a+kb,

c±d,求k的值。

【答案】k=~—

14

【解析】

試題分析：首先由已知條件整理出的值，由轉(zhuǎn)化為32=0代入已知向量

后整理得攵的方程，從而解得上的值

試題解析:

=2x3xcos60=3

?：cA-d:.c-d=0(5a+35)?(3a+kb\=15a+3kb+(9+5k^a-b

29

=60+3&x9+3(9+5&)=0；M

L4

考點：向量的數(shù)量積運算

18.ABCD是梯形，AB/7CD,且AB=2CD,M、N分別是DC和AB的中點，已知而

=2萬」，試用2、落示加。

【答案】：

【解析】試題分析：由圖可得：MN=MA+AD+DN,根據(jù)已知標(biāo)=—■!■通，

2

—?1―-

￡>N=—A3代入即可得

4

試題解析：如圖可得：MN=MA+AD+DN=--AB+AD+-AB=b--a

244

考點：向量的加減運算

19.已知汗=(3,1),5=(—2,1),求￡+石和一3訝+25.

【答案】a+b=(1,2),-35+2b=(-13,-1)

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向量線性運算的坐標(biāo)運算法則計算可得.

【詳解】

解：???￡=(3,1),B=(-2,l),

a+B=(3-2,1+1)=(1,2),

-3a+2b=-3(3,1)+2(-2,1)=(-9,-3)+(-4,2)=(-13,-1).

【點睛】

本題考查平面向量線性運算的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

20.如圖，已知QABCD的三個頂點A,B,C的坐標(biāo)分別是(—2,1),(-1,3),(3,4),

求頂點。的坐標(biāo).

【答案】(2,2)

【解析】

【分析】

設(shè)頂點。的坐標(biāo)為(x,y),表示出通，反的坐標(biāo)，根據(jù)麗=覺得到方程組，解得.

【詳解】

解：設(shè)頂點。的坐標(biāo)為(X,y).

?「4—2,1),8(—1,3),C(3,4),

AB=(-1-(-2),3-1)=(1,2),阮=(3—x,4—y),

又AB=DC，

所以(l,2)=(3-x,4—y).

1=3—x,x=2,

即.c,解得《

、2=4—y,>=2.

所以頂點。的坐標(biāo)為(2,2).

【點睛】

本題考查向量的坐標(biāo)運算，向量相等，屬于基礎(chǔ)題.

21.已知向量，〃=(3sinx,cosx),?=(—cosx,cosx),fix)=m-n—^^.

(1)求函數(shù)近幻的最大值及取得最大值時x的值；

(2)若方程/(x)=a在區(qū)間10,扯有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)”的取值范圍.

【答案】(D百；⑵(—區(qū)—與

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)向量的數(shù)量積運算，化簡得到/(x)=&si〃(2x+警)

6

,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出最值，

(2)求出函數(shù)/G)的單調(diào)區(qū)間，并畫出y=/(x)和丫=。的圖象，由圖象可得

到答案.

試題解析：(1次0=〃??"一避=—3sinxcosx+再cos?*—亞=—2sin2x+亞(1+cos2x)—

2222

亞

2

3

5