數(shù)學(xué)同步練習(xí)：應(yīng)用舉例

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.2應(yīng)用舉例1．如圖所示，為了測(cè)量隧道口AB的長(zhǎng)度，給定下列四組數(shù)據(jù)，應(yīng)當(dāng)測(cè)量的數(shù)據(jù)是()A．α、a、bB．α、β,aC．a(chǎn)、b、γD．α、β，b2．已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°方向，燈塔B在觀察站C的南偏東40°方向，則燈塔A與燈塔B的距離為(）A．a(chǎn)kmB.eq\r(3）akmC.eq\r（2)akmD．2akm3．某人向東走了xkm，然后向右轉(zhuǎn)150°，向新方向走了3km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)eq\r（3)km，則x的值為_(kāi)_________．4．在高出海平面200m的小島頂上A處，測(cè)得位于正西和正東的兩船的俯角分別為45°和30°,此時(shí)兩船的距離為_(kāi)_________．答案：1．C選擇易到達(dá)、容易測(cè)量的長(zhǎng)度a、b和∠γ，然后利用余弦定理求AB的長(zhǎng)度．2．B如圖所示,可知∠ACB＝120°，AC＝BC＝a,在△ABC中，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB,則AB＝2AD＝2acos30°＝eq\r（3）a。3.eq\r(3)或2eq\r（3）根據(jù)余弦定理知(eq\r（3）)2＝x2＋32－2·3·x·cos30°，解得x＝eq\r(3）或2eq\r（3）。4．200(eq\r（3)＋1）m如圖，BH＝AH＝200m,而CH＝AH·tan60°＝200eq\r(3）m,∴兩船相距200(eq\r（3)＋1)m．課堂鞏固1．兩座燈塔A和B到海岸觀察站O的距離相等，燈塔A在觀察站沿北偏東40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10°B．北偏西10°C．南偏東10°D．南偏西10°2．如圖,D、C、B三點(diǎn)在地面同一直線上,DC＝a，從C、D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別是α、β(α<β),則點(diǎn)A離地面的高AB等于()A。eq\f(asinαsinβ，sin（β－α））B。eq\f(asinαsinβ，cos（β－α))C.eq\f（acosαcosβ,sin(β－α)）D.eq\f(acosαcosβ,cos（β－α)）3．在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，同學(xué)們?cè)谙嗑?0海里的A、B兩個(gè)小島上活動(dòng)結(jié)束后，有人提出到隔海相望的未知的C島上體驗(yàn)生活,為合理安排時(shí)間，他們需了解C島與B島或A島的距離．為此他們測(cè)得從A島望C島和B島成60°的視角,從B島望C島和A島成75°的視角，那么B島和C島之間的距離是__________海里．4．甲在A處，乙在甲的北偏東45°距A10千米的C處，乙正沿南偏東75°方向以9千米/時(shí)的速度奔向B處，甲欲以21千米/時(shí)的速度與乙會(huì)合，則甲、乙會(huì)合的最短時(shí)間為_(kāi)_________小時(shí)．5．（遼寧高考，文18)如圖，A，B，C，D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂,測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75°，30°,于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°，AC＝0。1km,試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B，D的距離(計(jì)算結(jié)果精確到0。01km，eq\r（2)≈1.414,eq\r(6）≈2。449）．6．（海南、寧夏高考，文17)如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B,C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量．已知AB＝50m，BC＝120m，于A處測(cè)得水深A(yù)D＝80m，于B處測(cè)得水深BE＝200m,于C處測(cè)得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值．答案:1．B如圖所示，∵∠OBC＝60°，∠AOB＝80°，∴∠ABO＝50°?！唷螦BC＝∠OBC－∠ABO＝10°.2．A由圖可知,△ADC中，∠DAC＝β－α。由正弦定理，得eq\f(AC，sinα）＝eq\f（a,sin（β－α))，即AC＝eq\f(asinα,sin（β－α））。在Rt△ABC中,AB＝AC·sinβ，∴AB＝eq\f(asinαsinβ,sin(β－α)）。3．5eq\r（6)在△ABC中，由題意知∠CAB＝60°，∠ABC＝75°,∴∠ACB＝45°。由正弦定理eq\f(AB，sin45°)＝eq\f(BC,sin60°)，∴BC＝5eq\r（6）.4。eq\f（2，3）設(shè)甲、乙會(huì)合的最短時(shí)間為x,在△ACB中,AC＝10，AB＝21x，CB＝9x，∠ACB＝45°＋75°＝120°.由余弦定理,得(21x）2＝102＋(9x)2－2×10×9x·cos120°,∴36x2－9x－10＝0.解得x＝eq\f(2,3）或x＝－eq\f(5,12）(舍去）．5．解:在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1。又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底邊AD的中垂線，所以BD＝BA。在△ABC中,eq\f（AB，sin∠BCA)＝eq\f(AC，sin∠ABC)，即AB＝eq\f（ACsin60°,sin15°）＝eq\f(3\r(2）＋\r(6）,20），因此,BD＝eq\f(3\r（2）＋\r（6），20)≈0.33(km）．故B，D的距離約為0。33km。6．解:作DM∥AC交BE于N，交CF于M.DF＝eq\r（MF2＋DM2）＝eq\r(302＋1702）＝10eq\r（298),DE＝eq\r（DN2＋EN2)＝eq\r（502＋1202）＝130,EF＝eq\r((BE－FC）2＋BC2）＝eq\r(902＋1202)＝150。在△DEF中,由余弦定理,cos∠DEF＝eq\f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)＝eq\f(1302＋1502－102×298，2×130×150)＝eq\f(16,65）.1．江岸邊有一炮臺(tái)高30米,江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角,則兩條船相距（）A．10eq\r(3）米B．100eq\r（3）米C．20eq\r(30）米D．30米1．答案:D如圖所示，設(shè)炮臺(tái)頂部為A，兩條船分別為B，C，炮臺(tái)底部為D，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，∠BDC＝30°,AD＝30,分別在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得DB＝30,DC＝30eq\r（3),在△DBC中，由余弦定理，得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos30°＝900，∴BC＝30.2．在200m的山頂上,測(cè)得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°，則塔高為(）A.eq\f（400,3）mB。eq\f(400\r(3），3）mC.eq\f(200\r(3)，3）mD。eq\f(200，3）m2．答案：A如圖，在Rt△CDB中，CD＝200，∠BCD＝90°－60°＝30°，BC＝eq\f(200,cos30°）＝eq\f(400\r（3),3)，在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30°，∠ACB＝60°－30°＝30°,∴∠BAC＝120°.由eq\f(BC,sin120°)＝eq\f（AB，sin30°)，∴AB＝eq\f(BC·sin30°，\f(\r(3）,2））＝eq\f（400,3）m.3．如圖所示，貨輪在海上以40km/h的速度由B到C航行,航向的方位角∠NBC＝140°，A處有燈塔，其方位角∠NBA＝110°，在C處觀測(cè)燈塔A的方位角∠N′CA＝35°，由B到C需航行半小時(shí),則C到燈塔A的距離是()A．10eq\r（6)kmB．10eq\r(2）kmC．10（eq\r(6)－eq\r(2）)kmD．10(eq\r(6）＋eq\r（2））km3．答案:C在題圖中，∠ABC＝30°，∠N′CB＝40°，∠N′CA＝35°，∴∠BAC＝180°－(30°＋75°)＝75°。由正弦定理，得eq\f(BC，sinA)＝eq\f(AC,sin30°)，∴AC＝eq\f（20×sin30°，sin75°)＝10(eq\r（6)－eq\r(2）)．4．甲船在島A的正南B處以4km/h的速度向正北航行，AB＝10km，同時(shí)乙船自島A出發(fā)以6km/h的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間為(）A。eq\f(150，7)minB。eq\f(17，7）hC．21。5minD．2.15h4．答案：A設(shè)航行th后,兩船相距d，如圖，經(jīng)分析，當(dāng)0〈t≤eq\f（5，2）或t>eq\f（5,2）時(shí)d的表達(dá)式均為d＝eq\r（AB′2＋AC2－2AB′ACcos120°）＝eq\r(28t2－20t＋100）＝2eq\r（7t2－5t＋25)，∴當(dāng)t＝eq\f（5，14）h時(shí)，d取最?。鄑＝eq\f(5,14)×60＝eq\f（150，7）min時(shí)兩船相距最近．5．A和B兩人同時(shí)拉動(dòng)有繩子相縛的物體,當(dāng)A和B所拉著的繩子與鉛直線成30°、45°的角時(shí)，A和B的手上所承受的力之比為_(kāi)_________．5。答案：eq\r(2)根據(jù)力的合成與平衡,得F1＋F2＝－G，如圖，所求的力之比為相應(yīng)平行四邊形的邊長(zhǎng)之比，由正弦定理得eq\f（|F1｜，sin45°）＝eq\f(｜F2|，sin30°），∴|F1｜∶｜F2|＝sin45°∶sin30°＝eq\r(2）.6．有一長(zhǎng)為10m的斜坡，傾斜角為75°,在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，通過(guò)加長(zhǎng)坡面的方法將它的傾斜角改為30°，則坡底要延長(zhǎng)__________m。6．答案：10eq\r(2)在△ABB′中，∠B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°,AB＝10m，由正弦定理，得BB′＝eq\f（ABsin45°，sin30°）＝10eq\r（2).7．在某年的奧運(yùn)會(huì)比賽前，C國(guó)教練布置戰(zhàn)術(shù)時(shí)，要求擊球手以連接本壘及游擊手的直線成15°的方向把球擊出．由經(jīng)驗(yàn)和測(cè)速儀顯示，通常情況下，球速為游擊手最大跑速的4倍，則游擊手在這種布置下__________接著球．(能，不能)7．答案：不能假設(shè)游擊手能接到球,接球點(diǎn)為B，則游擊手從A點(diǎn)跑出，本壘為O點(diǎn)，則∠AOB＝15°,OB＝vt，AB≤eq\f（vt,4)，在△AOB中，由正弦定理可得eq\f（OB，sin∠OAB)＝eq\f（AB,sin15°),所以sin∠OAB＝eq\f(OBsin15°，AB)≥eq\f（vt,\f（vt，4))·eq\f（\r（6)－\r(2)，4)＝eq\r（6）－eq\r(2)>1.所以∠OAB不存在，即游擊手不能接到球．8．如圖，某海島上一觀察哨A上午11時(shí)測(cè)得一輪船在海島北偏東60°的C處，12時(shí)20分時(shí)測(cè)得船在海島北偏西60°的B處，12時(shí)40分輪船到達(dá)位于海島正西方且距海島5km的E港口，如果輪船始終勻速直線前進(jìn)，問(wèn)船速多少?8．答案：解：輪船從點(diǎn)C到點(diǎn)B耗時(shí)80分鐘，從點(diǎn)B到點(diǎn)E耗時(shí)20分鐘，而船始終勻速行進(jìn)，由此可見(jiàn)：BC＝4EB.設(shè)EB＝x,則BC＝4x.由已知得∠BAE＝30°，只要求出BE＝x的值，便可求出輪船的速度,在△ABE中，要求BE，至少還應(yīng)求得一角或一邊．在此求出AB。在△AEC中，由正弦定理，得eq\f（EC，sin∠EAC）＝eq\f(AE，sinC）,即sinC＝eq\f（AEsin∠EAC,EC）＝eq\f(5sin150°，5x）＝eq\f（1,2x).在△ABC中，由正弦定理,得eq\f（BC,sin120°）＝eq\f（AB,sinC），即AB＝eq\f（BCsinC，sin120°)＝eq\f（4x·\f（1,2x）,sin120°)＝eq\f（4，\r（3）)。在△ABE中，由余弦定理,得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AEcos30°＝eq\f(16,3）＋25－2×eq\f（4\r(3），3)×5×eq\f(\r（3),2）＝eq\f(31,3)。∴BE＝eq\r(\f（31,3))km。∴船的速度為eq\f（\r(31),\r（3)）÷eq\f（1,3)＝eq\r(93)≈9.64(km/h）．9．如圖，一輛汽車從O點(diǎn)出發(fā)，沿海岸一條直線公路以100km/h的速度向東勻速行駛．汽車開(kāi)動(dòng)時(shí)，在O點(diǎn)南偏東方向距O點(diǎn)500km且與海岸距離為300km的海上M處有一快艇，與汽車同時(shí)出發(fā)，要把一件重要的物品遞送給這輛汽車的司機(jī)，問(wèn)快艇至少必須以多大的速度行駛，才能把物品遞送到司機(jī)手中，并求快艇以最小速度行駛時(shí)的方向與OM所成的角．9．答案：解：設(shè)快艇從M處以vkm/h的速度出發(fā)，沿MN方向航行,t小時(shí)后與汽車相遇，在△MON中,MO＝500，ON＝100t，MN＝vt,設(shè)∠MON＝α，由題意知sinα＝eq\f(3，5)，則cosα＝eq\f（4,5)。由余弦定理知MN2＝OM2＋ON2－2OM·ONcosα，即v2t2＝5002＋1002t2－2×500×100t×eq\f（4,5),整理，得v2＝(500×eq\f（1,t)－80)2＋3600.當(dāng)eq\f（1，t）＝eq\f（80，500)，即t＝eq\f（25,4）時(shí)，veq\o\al（2，min）＝3600，∴vmin＝60°，即快艇至少必須以60km/h的速度行駛,此時(shí)MN＝60