數(shù)學(xué)同步練習(xí)第五章§數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精高手支招6體驗(yàn)成功基礎(chǔ)鞏固1.在命題“①復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的實(shí)部是a,虛部是bi;②復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈C）的實(shí)部是a,虛部是b;③任何兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大??；④任何兩個(gè)虛數(shù)都不能比較大小”中正確命題的個(gè)數(shù)有（）A.0B。1C。2D.3答案:B思路分析：四個(gè)命題中①②③均錯,只有④正確,其中①錯在虛部是bi，應(yīng)為b;②錯在其中的a，b∈C,應(yīng)將其改為a,b∈R，故選B項(xiàng).2。已知x∈R,+（x2-8x+15)i是實(shí)數(shù)，則（)A.x=3.5B。x≠3。1C。x=1。3D.x=5答案：D思路分析:∵+（x2—8x+15）i是實(shí)數(shù)，∴解得x=5。3。若復(fù)數(shù)cos2θ+i（1—tanθ)(θ∈R)為純虛數(shù),則θ的值是（）A。kπ+(k∈Z）B.kπ-(k∈Z)C。+(k∈Z)D。kπ±（k∈Z)答案：B思路分析：由于復(fù)數(shù)cos2θ+i（1—tanθ）(θ∈R)為純虛數(shù)，故其實(shí)部為零,虛部不為零，即由此cos2θ=0可得cos2θ-sin2θ=0,即tan2θ=1，∴tanθ=±1。而1-tanθ≠0,∴tanθ=-1。∴θ=kπ—(k∈Z）.4。下面四個(gè)命題中,真命題是（）①—1的平方根只有一個(gè),就是i②i是方程x2+1=0的一個(gè)根③2i是一個(gè)無理數(shù)④1-ai(a∈R)是一個(gè)復(fù)數(shù)A.①②B.②③C.①④D.②④答案:D思路分析：①中—1的平方根應(yīng)有兩個(gè),就是±i,故①不正確。所以,A、C兩項(xiàng)可排除。②顯然正確，而i是一個(gè)虛數(shù),故③不正確.所以B項(xiàng)可排除,因此,應(yīng)選擇D項(xiàng),其實(shí)，④顯然正確.5。滿足條件｜z-i｜=|3+4i｜的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是（）A.一條直線B。兩條直線C.圓D。橢圓答案：C思路分析:類比圓的復(fù)數(shù)“標(biāo)準(zhǔn)方程”，|z—i｜=｜z-(0+i）｜=5,用復(fù)數(shù)模的幾何意義和圓的復(fù)數(shù)方程求解?！遼3+4i|=5，∴|z—i｜=5表示以(0,1)為圓心，5為半徑的圓。故選C項(xiàng).6。已知復(fù)數(shù)(x—2)+yi（x,y∈R）的模是,則的最大值是（)A.B.C.D。答案：D思路分析:∵(x-2）+yi（x，y∈R)的模是，即|（x-2）+yi｜=，亦即（x—2)2+y2=3,∴復(fù)數(shù)z=x+yi（x,y∈R)所對應(yīng)點(diǎn)A（x，y）是以M（2,0）為圓心，以為半徑的圓.而可以先變形為，可以理解為過O(0,0)和A(x，y）兩點(diǎn)的直線斜率,自己畫一下草圖可知，斜率的最值恰好在直線OA與圓相切時(shí)取得，∴的最大值為。7.已知M={1,2，（a2—3a—1)+(a2-5a—6)i｝,N={—1,3｝,M∩N=｛3},則實(shí)數(shù)a=______________.答案：-1思路分析：∵M(jìn)∩N=｛3｝，∴（a2-3a-1）+(a2-5a—6）i=3,∴解得a=—1.8.已知關(guān)于x、y的方程組有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a、b的值.解：∵x、y是實(shí)數(shù),∴根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，由方程(1）可得解得x=將它們代入方程(2），得(5+4a）—（6+b）i=9-8i,∵a、b是實(shí)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，∴∴a=1，b=2。9.已知復(fù)數(shù)z=k2—3k+(k2-5k+6）i（k∈R),且z＜0，則k=_____________。答案：2思路分析:認(rèn)真審題，“z＜0”說明“z是實(shí)數(shù)且小于0”，然后具體求解:∵z＜0,則z∈R。故虛部k2-5k+6=0，∴(k-2）(k—3)=0，∴k=2或k=3。但k=3時(shí)，z=0，不合題意，故舍去。故k=2。綜合應(yīng)用10。若方程x2+mx+2xi=-1—mi有實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的值,并求出此實(shí)根。解：設(shè)實(shí)根為a,代入方程,并由復(fù)數(shù)相等的定義,得消去m，得a=±1,∴m=±2。因此，當(dāng)m=—2時(shí),原方程的實(shí)根為x=1;當(dāng)m=2時(shí),原方程的實(shí)根為x=—1.思路分析：利用復(fù)數(shù)相等的定義可以解復(fù)數(shù)計(jì)算及有關(guān)復(fù)數(shù)方程的系列問題。11.已知關(guān)于t的一元二次方程t2+(2+i）t+2xy+(x—y)i=0,（x,y∈R），（1)當(dāng)方程有實(shí)根時(shí),求點(diǎn)(x，y）的軌跡方程；(2)求方程的實(shí)根的取值范圍.解：(1）設(shè)實(shí)根為t,則t2+（2+i)t+2xy+(x—y)i=0，即(t2+2t+2xy）+(t+x-y）i=0,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得消去t得(y-x)2+2(y—x)+2xy=0，即（x—1)2+（y+1）2=2?！嗨簏c(diǎn)(x，y)的軌跡方程為（x-1)2+（y+1)2=2.(1)由（2）知，所求點(diǎn)(x，y）的軌跡是以（1，-1)為圓心，以r=(為半徑的圓，故由于直線t+x—y=0與圓(x-1)2+（y+1)2=2有公共點(diǎn)，∴≤,即|t+2|≤2,-4≤t≤0.故方程的實(shí)根的取值范圍為［-4，0］。答：（1)點(diǎn)(x，y)的軌跡