數(shù)學同步訓練：二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2。2.2二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象5分鐘訓練1.拋物線y=x2-2x+1的對稱軸是(）A.直線x=1B。直線x=-1C。直線x=2D。直線x=—2答案：A解析一：因為拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸方程是y=，將已知拋物線中的a=1,b=—2代入,求得x=1.解析二：可將拋物線配方為y=a（x-h)2+k的形式,對稱軸為x=h，已知拋物線可配方為y=（x-1）2，所以對稱軸x=1。2。設集合A={x｜|x—2|≤2，x∈R},B={y｜y=—x2,-1≤x≤2｝,則(A∩B)等于（)A.RB.｛x|x∈R，x≠0｝C.{0}D.答案：B解析：A=［0，2］,B=［-4，0］，所以（A∩B)={x|x∈R,x≠0｝。3。函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與函數(shù)y=3x2+2x—1的圖象關于原點對稱，則a=_____________，b=_____________,c=_____________。答案：-321解析：設點(x，y）在y=3x2+2x-1的圖象上，那么點（—x，—y）在y=ax2+bx+c的圖象上。所以-y=a（-x）2+b（—x）+c，即y=-ax2+bx—c。從而a=-3，b=2，c=1.4。下列四個函數(shù)中:A.y=x2-3x+2B.y=5-x2C。y=-x2+2xD。y=x2-4x+4(1）圖象經(jīng)過坐標原點的函數(shù)是_____________；（2）圖象的頂點在x軸上的函數(shù)是_____________；(3)圖象的頂點在y軸上的函數(shù)是_____________。答案：(1）C（2)D(3）B10分鐘訓練1。函數(shù)y=—ax+1與y=ax2在同一坐標系的圖象大致是圖中的(）答案：D解析:因為函數(shù)y=ax2一定經(jīng)過坐標原點，所以先排除答案A、B。對a＞0、a＜0兩種情況進行討論、分析、驗證.2.當a、b為實數(shù)，二次函數(shù)y=a(x-2）2+b有最小值-1時,則有（)A。a＜bB。a=bC.a＞bD。a與b的大小無法確定答案：C解析：二次函數(shù)有最小值—1，所以a＞0，b=—1。所以a＞b.3.已知函數(shù)f（x）=x2+2（a-1)x+2在區(qū)間(-∞，4］上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A。a≤-3B。a≥—3C。a≤5答案：A解析:二次函數(shù)的對稱軸x=1-a在x=4的右側,即1-a≥4.∴a≤-3.4.若0<x〈，則函數(shù)y=x（1—2x)的最大值為____________.答案：解析：y=-2（x)2+?！摺剩?，)，∴ymax=.5。已知二次函數(shù)f（x）滿足f(2+x)=f(2-x)(x∈R),且f(x)在(2,+∞）上是減函數(shù)，則f(5）,f(-2）,f（3）的大小關系為____________.答案：解析：依題意,二次函數(shù)f（x）的對稱軸是x=2，且在（-∞,2）上是增函數(shù)?！遞（5）=f（—1)，且，∴.6。某省兩相近重要城市之間人員交流頻繁，為了緩解交通壓力,特修一條專用鐵路,用一列火車作為交通車，已知該車每次拖4節(jié)車廂，一日能來回16次,如果每次拖7節(jié)車廂，則每日能來回10次,每日來回的次數(shù)是車頭每次拖掛車廂個數(shù)的一次函數(shù)，每節(jié)車廂能載乘客110人。問這列火車每天來回多少次，每次應拖掛多少車廂才能使運營人數(shù)最多?并求出每天最多運營人數(shù).解：設每日來回y次,每次掛x節(jié)車廂,由題意,得y=kx+b。當x=4時y=16,當x=7時y=10，得下列方程組解得k=—2，b=24.∴y=—2x+24。由題意,知每日掛車廂最多時,營運人數(shù)最多，設每日營運S節(jié)車廂，則S=xy=x（—2x+24)=-2x2+24x=—2（x—6）2+72.所以當x=6時,Smax=72，此時y=12.則每日最多運營人數(shù)為110×6×12=7920(人）。30分鐘訓練1.（2006陜西高考,文2）函數(shù)f(x)=（x∈R)的值域是（）A。（0,1)B。(0,1］C。［0,1）D。［0，1]答案：B解析：函數(shù)f(x）=（x∈R)，∴1+x2≥1?！嘣瘮?shù)的值域是（0，1］。2.設b〉0，二次函數(shù)y=ax2+bx+a2—1的圖象為下圖之一,則a的值為（）A.1B?！?C。D。答案：B解析：∵b〉0,∴不是前兩個圖形,從后兩個圖形看〉0,∴a〈0.故應是第3個圖形?！哌^原點，∴a2-1=0.結合a<0.∴a=—1。3。若函數(shù)y=x2-3x-4的定義域為［0，m］,值域為[,—4],則m的取值范圍是（)A。（0，4］B.［，4］C。［，3］D。[,+∞）答案：C解析：∵y=(x)2,∴當x=時,ymin=.∴m≥.令x2—3x-4=—4，得x=0或x=3.∴≤m≤3。4。（探究題)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則abc,b2-4ac,2a+b,a+b+c這四個式子中,值為正數(shù)的有（）A.4個B。3個C.2個D。1個答案:B解析：∵二次函數(shù)的圖象開口向上,∴a>0.又∵圖象與x軸有兩個交點,∴方程ax2+bx+c=0有兩個相異實根，即Δ=b2-4ac〉0。二次函數(shù)圖象的對稱軸在原點右側、直線x=1的左側,故0<<1，即—b〈2a，2a+b〉0。觀察圖象可知f（1)=a+b+c<0。5.如圖,在同一直角坐標系中,二次函數(shù)的圖象與兩坐標軸分別交于點A(-1，0）、點B(3，0)和點C(0,—3)，一次函數(shù)的圖象與拋物線交于B、C兩點.（1）二次函數(shù)的解析式為______________。(2）當自變量______________時,兩函數(shù)的函數(shù)值都隨x增大而增大。(3）當自變量______________時，一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值。（4）當自變量______________時,兩函數(shù)的函數(shù)值的積小于0.答案：（1）y=x2-2x-3(2）x≥1(3)0〈x<3（4）x<—1解析：（1）設二次函數(shù)的解析式為y=a(x+1)（x—3）（a〉0)?！邎D象過(0，—3），∴-3=a×1×(-3)，a=1.∴函數(shù)解析式為y=x2-2x-3。（2)函數(shù)的對稱軸方程為x=1,當x≥1時,兩函數(shù)的函數(shù)值都隨x增大而增大.（3)當0<x〈3時，一次函數(shù)的圖象在二次函數(shù)圖象的上方.（4）當x〈-1時,兩函數(shù)的函數(shù)值的積小于0.6.設函數(shù)f(x)=若f（-4）=f（0),f(-2）=—2，則f（x)的解析式為f(x)=_________.答案：解析:由題意,得∴f(x）=7.（創(chuàng)新題)有一個二次函數(shù)的圖象，三位學生分別說出了它的一些特點：甲:對稱軸是直線x=4;乙:與x軸兩個交點的橫坐標都是整數(shù);丙:與y軸交點的縱坐標也是整數(shù)，且以這三個交點為頂點的三角形面積為3。請你寫出滿足上述全部特點的一個二次函數(shù)解析式：。______________________.答案：y=或y=或y=，或y=。解法一：設所求解析式為y=a（x-x1)(x-x2）,且設x1〈x2，則其圖象與y軸兩交點分別是A(x1，0)，B（x2，0），與y軸交點坐標是（0，ax1x2）。∵拋物線的對稱軸是直線x=4，∴x2-4=4-x1，即x1+x2=8。①∵S△ABC=3,∴(x2-x1)·|ax1x2｜=3,即x2—x1=。②①②兩式相加減,可得x2=.∵x1、x2是整數(shù),ax1x2也是整數(shù)，∴ax1x2是3的約數(shù),共可取值為±1,±3。當ax1x2=±1時,x2=7，x1=1,a=±;當ax1x2=±3時，x2=5，x1=3，a=±。因此,所求解析式為y=±(x—7)(x—1）或y=±（x-5）（x-3），即y=或y=或y=或y=。解法二:用猜測驗證法。例如：猜測與x軸交點為A（5，0)，B(3,0）。再由題設條件求出a，看c是否是整數(shù)。若是,則猜測得以驗證，填上即可.8。已知二次函數(shù)的對稱軸為x=,截x軸上的弦長為4,且過點（0,-1),求函數(shù)的解析式。解：∵二次函數(shù)的對稱軸為x=,可設所求函數(shù)為f（x)=a(x+）2+b，又∵f（x)截x軸上的弦長為4,∴f（x)過點(+2，0）和（-2，0)，f(x)又過點(0，—1）.∴∴f(x)=（x+)2-2.9。心理學家發(fā)現(xiàn)，學生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x（單位：分)之間滿足函數(shù)關系：y=-0。1x2+2。6x+43(0<x<30）.y值越大,表示接受能力越強.（1)x在什么范圍內(nèi),學生的接受能力逐步增強?x在什么范圍內(nèi)，學生的接受能力逐步降低？(2)第10分時，學生的接受能力是什么?（3)第幾分時,學生的接受能力最強?解：(1）y=-0.1x2+2。6x+43=—0.1（x—13）2+59。9，所以當0≤x≤13時，學生的接受能力逐步增強;當13<x≤30時，學生的接受能力逐步下降.（2)當x=10時,y=-0.1×（10—13)2+59。9=59。第10分時，學生的接受能力為59。(3)當x=13時，y取得最大值。所以在第13分時,學生的接受能力最強.