數(shù)學(xué)同步訓(xùn)練：正弦定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前)1.在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊長(zhǎng)，下列等式恒成立的是（)A.a+sinA=b+sinBB。bsinC=csinAC.absinC=bcsinBD。asinC=csinA解析:根據(jù)正弦定理可知有，asinC=csinA.答案：D2。在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=4∶1∶1，則a∶b∶c等于（）A。3∶1∶1B.2∶1∶1C.∶1∶1D.∶1∶1解析：根據(jù)正弦定理有，a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC。由已知得A=120°，B=30°，C=30°，a∶b∶c=sin120°∶sin30°∶sin30°=∶1∶1.答案：D3.在△ABC中,已知a=3，b=4,c=5，則sinA=____________,sinB=____________,sinC=____________，=_____________,=____________，=___________。由此可以看出______________________(兩橫線上填符號(hào)“=”或“≠”）.解析：由已知條件可以判斷，這個(gè)三角形是以∠C為直角的直角三角形，可知，sinA=，sinB=,從而這兩個(gè)三角函數(shù)值可求出,繼而后幾個(gè)空也不難填出。答案：1==4。在△ABC中，已知a=，A=45°,則=______________.解析:∵=2，∴。答案：210分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類訓(xùn)練,可用于課中）1.不解三角形，下列判斷中正確的是(）A。a=7,b=14，A=30°，有兩解B。a=30,b=25,A=150°,有一解C.a=6,b=9，A=45°，有兩解D.b=9，c=10，B=60°，無解解析：在A中，a=bsinA，故有一解；在B中，A＞90°,a＞b，故有一解；在C中，a＜bsinA，無解；在D中，c＞b＞csinB，有兩解。答案：B2.已知△ABC的外接圓的半徑是3，a=3，則∠A等于（）A.30°或150°B.30°或60°C。60°或120°D。60°或150°解析：根據(jù)正弦定理得，sinA==12，0°＜A＜180°,∴A=30°或150°。答案：A3。在△ABC中，已知A=30°，C=105°，則2a∶b=___________.解析：由題意知,B=180°-30°-105°=45°,由正弦定理=2R，∴。答案：4.在△ABC中，已知=2,則其外接圓的直徑為___________.解析：根據(jù)正弦定理有==2R（其中R是其外接圓的半徑），故由已知得2R=2。答案：25。在△ABC中，已知cosA=，cosB=，則a∶b∶c=___________.解析：由已知及同角三角函數(shù)間的關(guān)系得sinA=,sinB=，sinC=sin［π—(A+B)]=sin（A+B)=sinAcosB+cosAsinB=，由正弦定理得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=13∶20∶21。答案：13∶20∶216。已知△ABC中，，試判斷這個(gè)三角形的形狀。解：∵，∴，得sin2B=sin2A。于是2B=2A或2B=π-2A，即A=B或A+B=.所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.30分鐘訓(xùn)練（鞏固類訓(xùn)練,可用于課后)1.在△ABC中，已知sin2A=sin2B+sin2A。等腰三角形B。直角三角形C。等腰直角三角形D。等腰或直角三角形解析：由正弦定理及已知條件得a2=b2+c2，從而可知該三角形是直角三角形。答案：B2.在△ABC中，已知（b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,則sinA∶sinB∶sinC等于（）A.6∶5∶4B.7∶5∶3C.3∶5∶7解析:由已知設(shè)b+c=4k（k＞0)，則c+a=5k，a+b=6k，由此解得a=，b=，c=,由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3。答案：B3。在△ABC中，a=80,b=100,A=45°,則此三角形解的情況是(）A.一解B。兩解C.一解或兩解D。無解解析:∵bsinA≈70。7＜a，且b＞a，∴有兩解，選B.答案:B4.在△ABC中，a,b，c分別是A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)。若A=105°，B=45°，b=2，則c=___________.解析：由題可知C=180°-105°—45°=30°，由正弦定理得=2。答案：25.在△ABC中，已知a=3，b=4，C=60°，則△ABC的面積為__________.解析：先找出b邊上的高h(yuǎn)=asinC=3sin60°，S△ABC=12absinC=12×3×4sin60°=3。答案：36。在△ABC中，已知a=，b=,B=45°，求邊c。解：∵，∴sinA=。又∵b＜a,∴B＜A，∴A=60°或120°.當(dāng)A=60°時(shí)，C=75°，c=；當(dāng)A=120°時(shí)，C=15°,c=。7。在△ABC中，已知sinA=，cosB=，求sinC的值.解：∵cosB=＞0，0＜B＜π，∴B是銳角，sinB=.∵sinA=＜,∴A＜B,A是銳角,cosA=.又sinC=sin［π—(A+B）］=sin(A+B）=sinAcosB+cosAsinB,∴sinC=。8.已知三個(gè)城市的中心位置A、B、C剛好分別位于一個(gè)銳角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)處,并且另一城市的中心位置O到這三個(gè)城市A、B、C的距離相等（假定這四個(gè)城市的中心位置位于同一平面上）,且△BOC、△COA、△AOB的面積的關(guān)系為S△BOC+S△AOB=2S△COA,試判斷tanAtanC是否為定值，說明理由.解：∵O到這三個(gè)城市A，B，C的距離相等∴O是銳角△ABC的外心，∴∠BOC=2∠A，∠AOB=2∠C，∠AOC=2∠B.設(shè)其外接圓的半徑為R,則有S△BOC=,S△COA=，S△AOB=.由已知S△BOC+S△AOB=2S△COA，sin2A+sin2C=2sin2B，2sin（A+C)cos(A-C）=4sinBcosB。又sin(A+C）=sinB≠0,∴cos（A-C)=2cosB=-2cos（A+C），∴cosAcosC+sinAsinC=—2cosAcosC+2sinAsinC，∴tanAtanC=3,即tanAtanC為定值3。9.（2006高考湖南卷，理16)如右圖,D是直角△ABC斜邊BC上一點(diǎn),AB=AD,記∠CAD=α,∠ABC=β.（1）證明sinα+cos2β=0;（2）若AC=DC,求β的值。（1）證明：如下圖，∵α=-（π-2β)=2β-,∴sinα=sin（2β—）=-cos2β.即sinα+cos2β=0．（2）解：在△ADC中，由正弦定理得?！鄐inβ=sinα由（1)得sinα=—cos2β，∴sinβ=cos2β=（1—2sin2β）,即sin2β-sinβ=0.解得sinβ=或sinβ=．∵0＜β＜,∴sinβ=β=.10.航空測(cè)量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔10000m，速度為180km(千米)/h(小時(shí)）,飛機(jī)先看到山頂?shù)母┙菫?5°,如右圖，經(jīng)過420s（秒）后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，求山頂?shù)暮０胃叨龋ㄈ?1.4，=1。7）。解：如圖,∵∠A=15°，