數(shù)學(xué)同步練習(xí)：均值不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。2均值不等式1．若a〉b>0，則下列不等式成立的是(）A．a(chǎn)>b〉eq\f（a＋b，2）>eq\r（ab）B．a(chǎn)>eq\f(a＋b,2）〉eq\r（ab）>bC．a(chǎn)〉eq\f（a＋b,2）>b〉eq\r（ab）D．a(chǎn)>eq\r（ab)〉eq\f（a＋b，2）>b2．函數(shù)y＝x(1－3x）(0<x<eq\f（1,3））的最大值是（)A。eq\f(4，243)B。eq\f(1,12）C。eq\f(1,64)D。eq\f（1，72）3．已知x、y∈R＋，且x＋4y＝1，則x·y的最大值為__________．4．求證：24m＋eq\f（6，m）≥24（m>0)．答案：1．B2．B∵0〈x〈eq\f(1，3)，∴0〈1－3x〈1。∴y＝x（1－3x)＝eq\f(1，3)×3x（1－3x）≤eq\f(1,3)·(eq\f（3x＋1－3x，2)）2＝eq\f(1,12），當(dāng)且僅當(dāng)3x＝1－3x，即x＝eq\f(1,6)時(shí)取等號(hào)．3。eq\f（1,16）因?yàn)閤，y∈R＋,且x＋4y＝1，所以xy＝eq\f(1，4)x·4y≤eq\f（1,4)(eq\f（x＋4y，2）)2＝eq\f（1,16），當(dāng)且僅當(dāng)x＝4y＝eq\f（1,2）時(shí)取等號(hào)．所以x·y的最大值為eq\f（1，16）。4．證明：∵m>0，由基本不等式，得24m＋eq\f（6，m)≥2eq\r（24m·\f（6,m））＝2eq\r（144)＝24，當(dāng)且僅當(dāng)24m＝eq\f（6,m)，即m＝eq\f（1，2）時(shí)取等號(hào)．課堂鞏固1．已知實(shí)數(shù)a,b滿足a＋b＝2，則3a＋3b的最小值是(）A．18B．6C．2eq\r(3)D．2eq\r（4，3）2．某工廠產(chǎn)品第一年產(chǎn)量為A,第二年的增長(zhǎng)率為a,第三年的增長(zhǎng)率為b,這兩年的平均增長(zhǎng)率為x，則()A．x＝eq\f(a＋b，2)B．x≤eq\f(a＋b,2）C．x>eq\f(a＋b,2)D．x≥eq\f(a＋b，2）3．已知x、y都是正數(shù)，(1)如果xy＝15,則x＋y的最小值是________．（2）如果x＋y＝15，則xy的最大值是________．4．正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是__________．5．已知x>2，求y＝x＋eq\f（1，x－2）的最小值．6．已知a>0，b〉0,求證:(a＋eq\f(1,a）)(b＋eq\f（1,b））≥4。答案：1．B∵a＋b＝2,∴3a＋3b≥2eq\r(3a·3b）＝2eq\r（3a＋b）＝6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)取等號(hào)．2．B設(shè)平均增長(zhǎng)率為x,則第三年產(chǎn)量為A（1＋x)2＝A（1＋a)(1＋b），即(1＋x）2＝（1＋a）（1＋b)．又(1＋a）（1＋b)≤(eq\f(1＋a＋1＋b，2）)2，∴1＋x≤eq\f（2＋a＋b，2）,即x≤eq\f(a＋b,2）.3。(1）2eq\r（15）(2）eq\f（225，4)(1）x＋y≥2eq\r（xy)＝2eq\r（15)；（2)xy≤（eq\f（x＋y,2））2＝eq\f(225,4）。4．[9，＋∞）∵a，b是正數(shù)，∴ab＝a＋b＋3≥2eq\r(ab）＋3，解得eq\r(ab)≥3，即ab≥9。5．解:∵x>2，∴x－2〉0.y＝x＋eq\f(1,x－2)＝x－2＋eq\f（1，x－2）＋2≥2eq\r（（x－2)·\f（1,x－2)）＋2＝4。6．證明：因?yàn)閍〉0，b〉0，由基本不等式，可知a＋eq\f(1,a）≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\f（1，a),即a＝1時(shí)取等號(hào);b＋eq\f(1，b）≥2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝eq\f(1,b），即b＝1時(shí)取等號(hào)．因?yàn)樯鲜鰞蓚€(gè)不等式的兩邊均為正數(shù)，由不等式的性質(zhì)，得（a＋eq\f（1，a）)（b＋eq\f(1，b）)≥4.1．已知x、y>0且x＋y＝1，則p＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f（1，y）的最小值為（)A．3B．4C．5D．61．答案:C原式＝x＋eq\f（x＋y,x）＋y＋eq\f（x＋y，y)＝3＋eq\f（y，x）＋eq\f（x，y)≥3＋2＝5。2．(天津高考，理6)設(shè)a〉0，b〉0.若eq\r(3)是3a與3b的等比中項(xiàng),則eq\f（1,a）＋eq\f(1,b）的最小值為（)A．8B．4C．1D.eq\f（1,4)2．答案：Beq\r（3)是3a與3b的等比中項(xiàng)?3a·3b＝3?3a＋b＝3?a＋b＝1,∵a〉0，b〉0，∴eq\r（ab）≤eq\f（a＋b，2）＝eq\f（1，2）?ab≤eq\f(1，4).∴eq\f(1，a)＋eq\f(1，b)＝eq\f(a＋b，ab)＝eq\f（1，ab）≥eq\f(1，\f（1，4）)＝4.3．點(diǎn)P（x，y）是直線x＋3y－2＝0上的動(dòng)點(diǎn)，則代數(shù)式3x＋27y有（）A．最大值8B．最小值8C．最小值6D．最大值63．答案：C∵點(diǎn)P（x，y）在直線x＋3y－2＝0上，∴x＋3y＝2.∴3x＋27y＝3x＋33y≥2eq\r(3x·33y)＝2eq\r（3x＋3y)＝2eq\r(32)＝6?！啻鷶?shù)式3x＋27y有最小值6。4．若直線ax＋by＋1＝0(a,b>0)過圓x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0的圓心，則eq\f（1,a）＋eq\f（4,b)的最小值為（)A．8B．12C．16D．204．答案：C∵圓心坐標(biāo)為(－4，－1),∴－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1.∴eq\f(1，a）＋eq\f(4，b）＝eq\f(4a＋b，a)＋eq\f（4（4a＋b),b）＝8＋eq\f（b，a）＋eq\f（16a，b)≥8＋2eq\r（\f(b，a)×\f(16a，b)）＝16。(當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（b，a)＝\f(16a，b),，4a＋b＝1，)）即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,8），，b＝\f(1,2））)時(shí)“＝”成立）5．設(shè)點(diǎn)（m，n)在直線x＋y＝1位于第一象限內(nèi)的圖象上運(yùn)動(dòng)，則log2m＋log2n的最大值是________．5．答案：－2由題意可知m>0，n>0,m＋n＝1,∴l(xiāng)og2m＋log2n＝log2mn≤log2(eq\f(m＋n，2))2＝log2eq\f（1，4）＝－2，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝eq\f(1,2)時(shí)取“＝”．6．設(shè)x〉0，則y＝3－3x－eq\f（1,x)的最大值是________．6．答案：3－2eq\r（3）∵x>0，∴3x＋eq\f（1,x)≥2eq\r(3x·\f(1,x））＝2eq\r(3）(當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(\r（3），3）時(shí)，等號(hào)成立）．∴－（3x＋eq\f（1,x)）≤－2eq\r（3).∴3－3x－eq\f(1,x）≤3－2eq\r（3)，即函數(shù)y＝3－3x－eq\f(1，x)的最大值是3－2eq\r(3)。7．某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1與車庫(kù)到車站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車站的距離成正比，如果在距車站10千米處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元,那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站__________千米處．7．答案：5由已知得y1＝eq\f(20,x），y2＝0.8x（x為倉(cāng)庫(kù)與車站的距離），費(fèi)用之和y＝y(tǒng)1＋y2＝0。8x＋eq\f(20，x）≥2eq\r(0.8x·\f(20,x））＝8，當(dāng)且僅當(dāng)0。8x＝eq\f(20,x)，即x＝5時(shí)“＝"成立．8。求f(x）＝2＋log2x＋eq\f（5，log2x）的最值（0〈x〈1）．8．答案：解：∵0〈x〈1，∴l(xiāng)og2x〈0.∴(－log2x）＋(－eq\f（5，log2x)）≥2·eq\r（(－log2x）·（－\f（5,log2x))）＝2eq\r(5）.∴f(x)＝2－[(－log2x)＋（－eq\f(5，log2x))］≤2－2eq\r（5)，當(dāng)且僅當(dāng)－log2x＝－eq\f(5,log2x），即log2x＝－eq\r（5)時(shí),等號(hào)成立．∴f（x）max＝2－2eq\r（5）,不存在最小值．9．求函數(shù)f(x)＝eq\f（－2x2＋x－3，x）(x>0)的最大值，及此時(shí)x的值．9．答案：解：f(x）＝1－(2x＋eq\f(3，x））．因?yàn)閤>0,所以2x＋eq\f（3，x）≥2eq\r(6)，即－（2x＋eq\f（3，x)）≤－2eq\r(6）。因此f(x)≤1－2eq\r（6)，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝eq\f(3,x)，即x2＝eq\f(3,2)時(shí)，式中等號(hào)成立．由于x>0，因此x＝eq\f(\r(6），2）時(shí)，式中等號(hào)成立．因此f（x）max＝1－2eq\r（6），此時(shí)x＝eq\f(\r(6），2).10．某商品進(jìn)貨價(jià)為每件50元，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)銷售價(jià)格每件x元（50≤x≤80）時(shí)，每天銷售的件數(shù)為p＝eq\f(105,（x－40）2)，若想每天獲得的利潤(rùn)最多，則銷售價(jià)為多少元?10．答案：解法一：利潤(rùn)＝銷售件數(shù)×（銷售價(jià)格－進(jìn)貨價(jià)格)．如何把目標(biāo)函數(shù)整理成能使用基本不等式的形式是正確解題的關(guān)鍵．由題意，知利潤(rùn)S＝（x－50)·eq\f(105,（x－40)2)＝(x－50)·eq\f(105,(x－50)2＋20（x－50）＋100)＝eq\f（105,（x－50)＋\f(100,(x－50))＋20）?！選－50≥0,∴(x－50）＋eq\f(100,(x－50））≥20.∴S≤eq\f(105,20＋20)＝2500，當(dāng)且僅當(dāng)（x－50)＝eq\f(100，（x－50)),即x＝60或x＝40(不合題意,舍去）時(shí)取等號(hào)．解法二:在基本不等式eq\f(a＋b,2）≥eq\r（ab)