數(shù)學(xué)同步訓(xùn)練：正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．3。1正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一:正弦函數(shù)的圖象1．正弦函數(shù)y＝sinx（x∈R)的圖象關(guān)于______對(duì)稱．A．y軸B．直線x＝eq\f（π，2)C．直線x＝πD．直線y＝02．函數(shù)f（x)＝x－sinx零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．1B．2C．33．函數(shù)y＝sinx，x∈R的對(duì)稱中心為__________．知識(shí)點(diǎn)二：正弦函數(shù)的性質(zhì)4．下列四個(gè)函數(shù)中，為周期函數(shù)的是A．y＝3sinxB．y＝3xC．y＝sin｜x|（x∈R)D．y＝sineq\f（1，x）（x∈R且x≠0）5．函數(shù)y＝sin（x＋eq\f(π，4))在下列哪個(gè)區(qū)間上是遞減的A．［eq\f（π,4),eq\f(5π,4)]B．［－π,0］C．［－eq\f(π,4)，eq\f(3π,4）］D．[－eq\f(π，2)，eq\f(π，2)]6．函數(shù)f（x）＝cos（πx－eq\f（π,2）)－1,則下列命題正確的是A．f（x）是周期為1的奇函數(shù)B．f(x)是周期為2的偶函數(shù)C．f（x）是周期為1的非奇非偶函數(shù)D．f（x)是周期為2的非奇非偶函數(shù)7．（2010江西高考,文6）函數(shù)y＝sin2x＋sinx－1的值域?yàn)锳．［－1，1]B．[－eq\f（5，4），－1]C．［－eq\f(5,4)，1]D．[－1，eq\f（5，4）］8．函數(shù)y＝eq\r（－sin\f(x,3））的定義域是__________．9．求使下列函數(shù)取得最小值的自變量x的集合，并寫出最小值．(1）y＝－2sinx，x∈R；(2）y＝－2＋sineq\f（x，3），x∈R.知識(shí)點(diǎn)三:正弦型函數(shù)10．(2010湖北高考，文2)函數(shù)f(x)＝eq\r（3)sin(eq\f(x，2）－eq\f(π,4）），x∈R的最小正周期為A.eq\f(π，2）B．πC．2πD．4π11．（2010四川高考,理6)將函數(shù)y＝sinx的圖像上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)eq\f(π,10)個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),所得圖像的函數(shù)解析式是A．y＝sin(2x－eq\f(π,10））B．y＝sin（2x－eq\f（π，5）)C．y＝sin（eq\f(1，2)x－eq\f(π，10)）D．y＝sin（eq\f（1，2）x－eq\f(π,20）)12．用五點(diǎn)法作出函數(shù)y＝2sin(x－eq\f(π，3))＋3的圖象,并指出它的周期、頻率、相位、初相、最值及單調(diào)區(qū)間．能力點(diǎn)一:函數(shù)圖象的應(yīng)用13．已知簡諧運(yùn)動(dòng)f（x)＝2sin(eq\f（π,3）x＋φ）（|φ|〈eq\f(π，2））的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1），則該簡諧運(yùn)動(dòng)的最小正周期T和初相φ分別為A．T＝6，φ＝eq\f（π，6）B．T＝6,φ＝eq\f（π，3)C．T＝6π，φ＝eq\f(π,6)D．T＝6π，φ＝eq\f(π，3）14．(2010重慶高考，理6）已知函數(shù)y＝sin(ωx＋φ）(ω〉0，｜φ|<eq\f(π，2)）的部分圖象如圖所示,則A．ω＝1，φ＝eq\f（π，6）B．ω＝1，φ＝－eq\f（π，6）C．ω＝2，φ＝eq\f(π,6)D．ω＝2,φ＝－eq\f（π,6)15．（2010江西高考,文12)四位同學(xué)在同一個(gè)坐標(biāo)系中分別選定了一個(gè)適當(dāng)?shù)膮^(qū)間，各自作出三個(gè)函數(shù)y＝sin2x，y＝sin（x＋eq\f（π，6））,y＝sin（x－eq\f(π,3）)的圖象如下，結(jié)果發(fā)現(xiàn)恰有一位同學(xué)作出的圖象有錯(cuò)誤，那么有錯(cuò)誤的圖象是16．已知函數(shù)f（x）＝Asin(ωx＋φ)（A〉0,ω〉0)的圖象如圖．(1）求出f（x）的解析式;(2）若g(x)與f(x)的圖象關(guān)于x＝2對(duì)稱，求g（x)的解析式．能力點(diǎn)二：函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用17．把函數(shù)y＝sinx（x∈R)的圖象向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長度,再把所得的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)(縱坐標(biāo)不變)，得到的圖象所表示的函數(shù)是A．y＝sin（2x－eq\f（π，3）），x∈RB．y＝sin(eq\f（x，2)＋eq\f(π,6)），x∈RC．y＝sin(2x＋eq\f（π，3)),x∈RD．y＝sin(2x＋eq\f（2π,3）),x∈R18．函數(shù)f（x）＝（eq\f(1，2)）x－sinx在區(qū)間［0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．1B．2C．319．函數(shù)f(x）＝sin(eq\f（π，4）－2x)的單調(diào)增區(qū)間為__________。20．方程sinx＝lgx的實(shí)根有__________個(gè)．21．求函數(shù)y＝sin2x－sinx＋1在x∈[eq\f（π，3)，eq\f（3π，4)］上的最大值和最小值．22．（2010廣東高考，文16)設(shè)函數(shù)f(x)＝3sin（ωx＋eq\f(π,6）），ω＞0,x∈(－∞,＋∞)，且以eq\f（π,2）為最小正周期．（1)求f(0）；(2）求f（x)的解析式；(3）已知f(eq\f(α，4）＋eq\f(π，12）)＝eq\f(9,5)，求sinα的值．23．已知函數(shù)y＝eq\f（1,2)sinx＋eq\f（1,2)|sinx|。(1)畫出函數(shù)的簡圖．（2)這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)嗎?如果是，求出它的最小正周期．（3)指出這個(gè)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．24．已知曲線y＝Asin（ωx＋φ)（A>0，ω〉0）上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq\f(π,8),eq\r(2）），且此點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與x軸交于點(diǎn)（eq\f（3π，8）,0）．若φ∈（－eq\f（π，2），eq\f（π,2）），（1）試求這條曲線的函數(shù)表達(dá)式;(2)用“五點(diǎn)法"畫出(1）中函數(shù)在［0，π]上的圖象．答案與解析基礎(chǔ)鞏固1．B2。A3.(kπ，0)，k∈Z4.A5．Ay＝sin(x＋eq\f（π,4)）的遞減區(qū)間是2kπ＋eq\f(π，2）≤x＋eq\f(π,4）≤2kπ＋eq\f（3π，2），k∈Z,即2kπ＋eq\f（π，4)≤x≤2kπ＋eq\f(5π，4），k∈Z，∴選項(xiàng)A符合要求．6．D∵f（x)＝cos(πx－eq\f（π，2））－1＝sinπx－1，∴周期T＝eq\f(2π，π）＝2.又∵f（－x）≠±f（x)，∴f(x)為非奇非偶函數(shù)．7．C令t＝sinx，則t∈[－1,1］，y＝t2＋t－1＝（t＋eq\f(1,2）)2－eq\f（5,4），t∈［－1，1］，∴y∈[－eq\f(5，4）,1]．8．［6kπ－3π，6kπ］，k∈Z9．解:(1）因?yàn)閷?duì)于y＝sinx，x∈R，當(dāng)x＝2kπ＋eq\f(π,2)（k∈Z）時(shí)有最大值1，所以對(duì)于y＝－2sinx,x∈R,當(dāng)x＝2kπ＋eq\f（π,2)（k∈Z)時(shí)有最小值－2,x的集合為｛x|x＝2kπ＋eq\f（π,2),k∈Z}．(2)因?yàn)閷?duì)于y＝sinx，x∈R，當(dāng)x＝2kπ－eq\f（π,2)(k∈Z)時(shí)有最小值－1，把eq\f（x,3）當(dāng)作一個(gè)整體，相當(dāng)于上式中的x，則有當(dāng)eq\f(x，3)＝2kπ－eq\f(π,2)（k∈Z)時(shí)，y＝－2＋sineq\f（x,3)有最小值，即當(dāng)x＝6kπ－eq\f（3π,2)(k∈Z）時(shí)，y＝－2＋sineq\f(x,3）,x∈R有最小值－3，x的集合為{x｜x＝6kπ－eq\f（3π,2），k∈Z}．10．D11．C函數(shù)y＝sinx的圖象上的點(diǎn)向右平行移動(dòng)eq\f（π,10)個(gè)單位長度可得函數(shù)y＝sin（x－eq\f（π，10)）的圖象；橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)可得函數(shù)y＝sin（eq\f（1，2)x－eq\f(π，10））的圖象，所以所求函數(shù)的解析式是y＝sin（eq\f（1，2）x－eq\f(π,10））．12．解：(1）列表：x－eq\f(π,3）0eq\f（π,2）πeq\f（3π，2）2πxeq\f(π,3)eq\f(5π，6)eq\f(4π，3)eq\f（11π,6）eq\f（7π,3)y35313(2)描點(diǎn)．(3)作圖，如下圖．周期T＝2π，頻率f＝eq\f（1，T）＝eq\f(1，2π），相位為x－eq\f（π，3），初相為－eq\f(π，3），最大值為5,最小值為1,函數(shù)的減區(qū)間為［2kπ＋eq\f（5π，6）,2kπ＋eq\f（11π,6)],k∈Z，增區(qū)間為[2kπ－eq\f(π,6)，2kπ＋eq\f(5π，6)]，k∈Z。將函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象向左、向右兩邊擴(kuò)展即得y＝2sin（x－eq\f(π,3）)＋3的圖象．能力提升13．A14．D由圖象知T＝π,∴ω＝2.∴y＝sin(2x＋φ）．又由于y＝sin(2x＋φ）圖象過點(diǎn)(eq\f（π,3),1），∴sin(eq\f(2π，3)＋φ)＝1.∴eq\f(2π,3）＋φ＝2kπ＋eq\f（π,2），∴φ＝2kπ－eq\f（π,6)（k∈Z）．∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f（π,6）。15．C函數(shù)y＝sin2x取最小值－1時(shí)x的值為x＝kπ－eq\f(π,4)（k∈Z），y＝sin(x＋eq\f（π,6))取最小值－1時(shí)x的值為x＝2kπ－eq\f（2π，3）(k∈Z），y＝sin(x－eq\f(π，3))取最小值－1時(shí)x的值為x＝2kπ－eq\f(π,6)（k∈Z），因此三個(gè)函數(shù)中沒有兩個(gè)函數(shù)有相同的最低點(diǎn)，所以C錯(cuò)誤．16．解：(1）由圖知A＝2。周期T＝7－(－1)＝8，∴eq\f（2π,ω）＝8,ω＝eq\f(π,4）.∵點(diǎn)（1,2)在圖象上，∴2＝2sin(eq\f（π,4)·1＋φ)，即sin(φ＋eq\f(π，4）)＝1。∴φ＝eq\f(π,4）.∴f(x)的解析式為f(x）＝2sin(eq\f(π,4）x＋eq\f（π，4)）．（2）在y＝g(x)的圖象上任取一點(diǎn)P(x,y)，則點(diǎn)P關(guān)于x＝2的對(duì)稱點(diǎn)P′(4－x，y)在y＝f（x）的圖象上，∴y＝2sin［eq\f(π，4)·(4－x）＋eq\f(π，4)］，即y＝2sin(eq\f(5π,4）－eq\f(π,4）x）．∴g(x）的解析式為g（x）＝2sin（eq\f（5π,4)－eq\f(π,4）x）．17．C18．B19．［eq\f（3π，8）＋kπ，eq\f(7π，8）＋kπ］，k∈Zf(x）＝sin（eq\f(π,4）－2x）＝－sin(2x－eq\f（π,4）），由eq\f（π，2）＋2kπ≤2x－eq\f(π，4）≤eq\f(3π,2）＋2kπ,k∈Z,得eq\f(3π,8)＋kπ≤x≤eq\f（7π,8)＋kπ,k∈Z。20．321．解：y＝sin2x－sinx＋1＝（sinx－eq\f（1,2)）2＋eq\f（3,4）?！選∈[eq\f（π，3），eq\f(3π，4)]，∴由正弦函數(shù)的圖象知eq\f（\r（2)，2)≤sinx≤1。而函數(shù)y＝（t－eq\f（1,2）)2＋eq\f(3,4）在［eq\f（\r(2),2)，1］上單調(diào)遞增，∴當(dāng)sinx＝eq\f(\r(2)，2)時(shí)，f(x)min＝eq\f(3－\r(2）,2）；當(dāng)sinx＝1時(shí)，f（x）max＝1.22．解：（1)由題設(shè)可知f（0)＝3sineq\f(π，6）＝eq\f（3，2）。（2)∵f(x)的最小正周期為eq\f（π,2)，∴ω＝eq\f（2π,\f（π,2)）＝4.∴f（x）＝3sin（4x＋eq\f（π，3)）．(3)由f（eq\f（α,4)＋eq\f（π，12)）＝3sin(α＋eq\f(π，3）＋eq\f(π,6））＝3cosα＝eq\f（9,5)，∴cosα＝eq\f(3，5）.∴sinα＝±eq\r(1－cos2α）＝±eq\f(4，5).拓展探究23．解:（1)y＝eq\f(1,2)sinx＋eq\f（1,2）｜sinx|＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（sinx，，0))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈［2kπ，2kπ＋π］k∈Z，，x∈[2kπ－π，2kπ］k∈Z.))函數(shù)圖象如圖所示．(2)由圖象知該函數(shù)是周期函數(shù),且函數(shù)的最小正周期是2π。(3)由圖象知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為［2kπ，2kπ＋eq\f（π，2)］(k∈Z）．24．解：(1）依題意,A＝eq\r（2），T＝4×(eq\f（3π,8）－eq\f（π，8）)＝π.∵T＝eq\f(2π，