2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第四章 專題三 利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式配套課件

專題三利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式2025年高考一輪總復(fù)習(xí)第四章

數(shù)列題型一an＋1＝an＋f(n)型(累加法)題型二an＋1＝anf(n)(累乘法)[例2]若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，則an＝________.[例3]在數(shù)列{an}中，若a1＝1，an＋1＝3an＋2，則通項(xiàng)an＝____________.解析：an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)，答案：2×3n-1－1又因?yàn)閍1＋1＝2≠0，所以{an＋1}是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，所以an＋1＝2×3n-1，an＝2×3n-1－1.【反思感悟】由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式的常用方法[例4](1)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1＝4，an＋1＝2an＋2n+1，則an＝()A.n·2n-1

B.(n＋1)·2nC.n·2n+1

D.(n－1)·2n答案：B(2)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝(

)A.－3×2n-1

B.3×2n-1C.5n＋3×2n-1

D.5n－3×2n-1答案：D方法二，設(shè)an＋1＋k·5n+1＝2(an＋k×5n)，則an＋1＝2an－3k×5n，與題中遞推公式比較得k＝－1，即an＋1－5n+1＝2(an－5n)，所以數(shù)列{an－5n}是首項(xiàng)為a1－5＝－3，公比為2的等比數(shù)列.則an－5n＝－3×2n-1.故an＝5n－3×2n-1.故選D.題型五an＋1＝pan＋qan－1型通性通法：可化為an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，化簡(jiǎn)后與原式系數(shù)對(duì)比，求得x1，x2的值，得到新數(shù)列{an＋1－x1an}的性質(zhì).

通性通法：等號(hào)左右同時(shí)取倒數(shù)，視具體情況選取適當(dāng)?shù)臉?gòu)造法解題.【互動(dòng)探究】1.在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，則其通項(xiàng)公式an＝(

)A.2n－1B.2n-1＋1C.2n－1D.2(n－1)解析：方法一，∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又答案：Aa1＝1，∴a1＋1＝2，∴{an＋1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.故選A.方法二，∵a1＝1，an＋1＝2an＋1，∴a2＝3，a3＝7，a4＝15.由a1＝1，排除D；由a3＝7，排除B；由a4＝15，排除C.故選A.

2.(2023年廣州市調(diào)研)如圖3-1所示的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，….記各層球數(shù)構(gòu)成數(shù)列圖3-1解析：由題意可得{an＋1－an}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，則an＋1－an＝2＋n－1＝n＋1.可得an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋上式對(duì)n＝1也