2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 專(zhuān)題六 幾何體的外接球與內(nèi)切球問(wèn)題配套課件

專(zhuān)題六幾何體的外接球與內(nèi)切球問(wèn)題2025年高考一輪總復(fù)習(xí)第六章

立體幾何題型一定義法

定義法一般用于解決旋轉(zhuǎn)體、正棱錐以及正棱柱的切、接問(wèn)題.球心一般在旋轉(zhuǎn)體的軸或正棱錐的高所在的直線上，解題的關(guān)鍵是先作軸截面并大致作出球心，再用待定系數(shù)法把關(guān)鍵長(zhǎng)度設(shè)為未知數(shù)，根據(jù)外接球的球心到球面上各點(diǎn)距離相同、內(nèi)切球的球心到各切點(diǎn)距離相同，最后用勾股定理等幾何方法求出球的半徑.[例1]已知一個(gè)圓錐底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)切球的表面積為()A.π

3πB. 2C.2πD.3π

解析：依題意，作出圓錐與球的軸截面，如圖6-1所示.設(shè)球的半徑為r，易知軸截面三角形邊AB圖6-1答案：C

[例2]棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球O，M為CD中點(diǎn)，N為BM中點(diǎn)，連接AN交球O于P，Q兩點(diǎn)，則PQ的長(zhǎng)為()解析：如圖6-2所示，設(shè)△BCD的中心為E，則AE⊥平面BCD.

圖6-2因?yàn)檎拿骟wABCD的棱長(zhǎng)為1，作出正四面體ABCD過(guò)A，B，M三點(diǎn)的截面，如圖6-3所示.

圖6-3答案：A答案：A【題后反思】三棱錐的內(nèi)切球半徑可通過(guò)等體積法求得，即內(nèi)切球半徑r＝3V棱錐

S表.注意四棱錐不一定有內(nèi)切球.【互動(dòng)探究】1.某圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和2，若該圓臺(tái)的外接球的表面積為16π，則該圓臺(tái)的高為_(kāi)_________.

解析：因?yàn)閳A臺(tái)上、下底面的圓心與球心在同一直線上，所以設(shè)球心到上底面的距離為d1，到下底面的距離為d2，圓臺(tái)的軸截面如圖D33所示.圖D33圖D34因此球的半徑R滿足R2＝r2＋d2＝12＋3＝15.所以外接球的表面積S＝4πR2＝4π×15＝60π.答案：60π題型二補(bǔ)形法

若幾何體可通過(guò)補(bǔ)形的方法變成常見(jiàn)的易求外接球的幾何體(如長(zhǎng)方體、圓柱、直棱柱等)，可通過(guò)求補(bǔ)形后的幾何體的外接球半徑來(lái)確定原幾何體的外接球半徑.∴PA2＋PB2＋PC2＝8.以PA，PB，PC為過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱作長(zhǎng)方體，如圖6-4所示.圖6-4答案：B[例5]在三棱錐A-BCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AC＝BD＝3，則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為()A.C.22πB.11πD.44π解析：如圖6-5，把三棱錐A-BCD補(bǔ)形為長(zhǎng)方體AHDG-EBFC.圖6-5長(zhǎng)方體的外接球?yàn)槿忮FA-BCD的外接球.答案：B外接球，所得截面的面積是

[例6](多選題)在《九章算術(shù)》中，四個(gè)面都為直角三角形的四面體被稱(chēng)為鱉臑.如圖6-6，在四面體S-ABC中，△ABC是直角三角形，AB⊥BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是SB，BC的中點(diǎn)，且AE⊥SC，SA＝AB＝2，SC＝2，BC＝4，則下列說(shuō)法正確的是()A.BC⊥平面SABB.四面體S-ABC是鱉臑C.點(diǎn)E是四面體S-ABC外接球的球心D.過(guò)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面截四面體S-ABC的圖6-6解析：∵SA＝AB，SE＝EB，∴AE⊥SB.又AE⊥SC，SB∩SC＝S，∴AE⊥平面SBC，則AE⊥BC.又AB⊥BC，AE∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB，故A正確.由BC⊥平面SAB，得BC⊥SA，∵AB＝2，BC＝4，又SA＝2，SC＝2

∴SA2＋AC2＝SC2，可得SA⊥AC. 而AC∩BC＝C， ∴SA⊥平面ABC. 綜上所述，四面體S-ABC的四個(gè)面都是直角三角形，四面體S-ABC是鱉臑，故B正確. ∵△SAC，△SBC都是以SC為斜邊的直角三角形，則SC的中點(diǎn)G為四面體S-ABC外接球球心，故C錯(cuò)誤.

如圖6-7所示，把四面體S-ABC補(bǔ)全為長(zhǎng)方體ABCD-SPMN，其中SA，AB，BC為長(zhǎng)方體中首尾相連且兩兩相互垂直的三條棱，點(diǎn)H為PM中點(diǎn).圖6-7答案：ABD【互動(dòng)探究】解析：如圖D35所示，把正四面體P-ABC補(bǔ)全為正方體AMPN-HBGC，其中正四面體的楞均為正方體表面的對(duì)角線.正四面體P-ABC外接球的球心為正方體的中心O，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，連接OF.圖D35∵點(diǎn)Q是球面上任意一點(diǎn)，答案：C

4.(多選題)如圖6-8，在多面體ABCDEF中，底面ABCD為正方形，BF⊥底面ABCD，DE∥BF，AB＝DE＝BF＝1，點(diǎn)G為線段AF上的動(dòng)點(diǎn).下列說(shuō)法正確的是()A.DF⊥平面AECB.多面體ABCDEF的外接球的表面積為3π圖6-8解析：如圖D36所示建立空間直角坐標(biāo)系.圖D36D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，E(0，0，1)，F(xiàn)(1，1，1).又AC∩AE＝A，∴DF⊥平面AEC，故A正確.

∵底面ABCD為正方形，BF⊥底面ABCD，DE∥BF，AB＝DE＝BF＝1，∴幾何體ABCDEF可以補(bǔ)成一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體，如圖D37所示.圖D37

取DF的中點(diǎn)O，可得O為正方體外接球的球心，即O為幾何體ABCDEF外接球的球心.∴幾何體ABCDEF的外接球的半徑為R＝其表面積為S＝4πR2＝3π，故B正確.如圖D38所示，把△ADF沿AF折成與△BAF共面，連接BD.圖D38答案：ABD【題后反思】補(bǔ)形法的注意事項(xiàng)

(1)若幾何體存在三條兩兩互相垂直的棱，可通過(guò)構(gòu)造墻角模型把幾何體補(bǔ)形為長(zhǎng)方體(如圖6-9)，直接用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2求出外接球的半徑R.圖6-9

(2)若三棱錐的對(duì)棱兩兩等長(zhǎng)，則可把六條棱看作是長(zhǎng)方體六個(gè)面的對(duì)角線(如圖6-10)，通過(guò)列方程組的方式求出長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度，外接球的半徑R為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的一半.特別地，正四面體可補(bǔ)形成正方體，這也是正四面體常用的建系方式之一.圖6-10

(3)需要注意的是，原幾何體的頂點(diǎn)必須是補(bǔ)形后幾何體的頂點(diǎn)，否則不能通過(guò)補(bǔ)形法來(lái)求外接球.

題型三利用三角形的外心探索外接球BD⊥CD.將其沿對(duì)角線BD折成四面體A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD.若四面體A′BCD的頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的體積為()

解析：如圖6-11，設(shè)BD，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接A′E，EF. ∵點(diǎn)F為底面Rt△BCD的外心， ∴四面體A′BCD的外接球的球心必在過(guò)點(diǎn)F且與平面BCD垂直的直線l1上.又點(diǎn)E為Rt△A′BD的外心，圖6-11∴外接球的球心必在過(guò)點(diǎn)E且與平面A′BD垂直的直線l2

上.∴球心為l1

與l2

的交點(diǎn).又FE∥CD，CD⊥BD，∴FE⊥平面A′BD.∴球心為點(diǎn)F.又A′B＝A′D＝CD＝1，答案：A

【題后反思】(1)三棱錐外接球的球心在三棱錐各個(gè)面上的正投影為各個(gè)面三角形的外心. (2)若三棱錐中有一條側(cè)棱與底面垂直，則三棱錐外接球的半

，其中r是底面三角形外接圓的半徑，h是三棱徑R＝錐的高.

【互動(dòng)探究】

5.在邊長(zhǎng)為3的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，將△ABD繞直線BD旋轉(zhuǎn)到△A′BD，使得四面體A′BCD外接球的表面積為18π，則此時(shí)二面角A′-BD-C的余弦值為()

解析：如圖D39所示，取BD的中點(diǎn)E，連接A′E，CE，則BD⊥A′E，BD⊥CE.由題意可知△A′BD和△BCD都是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，設(shè)M