2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九章 第七講 條件概率、二項(xiàng)分布與正態(tài)分布配套課件

第七講條件概率、二項(xiàng)分布與正態(tài)分布2025年高考一輪總復(fù)習(xí)第九章

計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布1.條件概率2.事件的相互獨(dú)立性(1)定義：設(shè)A，B為兩個事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立.3.全概率公式4.貝葉斯公式【名師點(diǎn)睛】5.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)伯努利實(shí)驗(yàn)

只包含兩個可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利實(shí)驗(yàn).將一個伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn).n重伯努利試驗(yàn)具有如下特征：①同一個伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次；②各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.(2)二項(xiàng)分布6.正態(tài)分布(1)正態(tài)分布的定義及表示則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2).特別地，當(dāng)μ＝0，σ＝1時，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.(2)正態(tài)曲線：函數(shù)f(x)＝，x∈R.其中實(shí)數(shù)μ和σ為參數(shù)(σ>0，μ∈R).我們稱函數(shù)f(x)的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.(3)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于x軸上方，與x軸不相交.②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱.④當(dāng)|x|無限增大時，曲線無限接近x軸.⑤曲線與x軸之間的面積為1.⑥當(dāng)σ一定時，曲線的位置由μ確定，且隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖9-7-1(1)所示.

⑦當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖9-7-1(2)所示.(1)(2)圖9-7-1

考點(diǎn)一條件概率1.投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記A＝“兩次的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)”，B＝“兩次的點(diǎn)數(shù)之和為4”，則P(B|A)＝()A.

112

1B. 4

2C. 9

2D. 3

解析：由題意知事件A包含的樣本點(diǎn)為(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)共9個，在A發(fā)生的條件下，事件B包含的樣本點(diǎn)為(1，3)，(3，1)共2個，所以答案：C＝0.6.故選D.2.(2023年吉安市校級開學(xué))已知事件A，B滿足P(A)＝0.7，P(B)＝0.6，P(AB)＝0.42，則P(B|A)的值是()A.0.7B.0.42C.0.5D.0.6解析：由題意知，P(B|A)＝答案：D

3.報名足球俱樂部的有50人，報名乒乓球俱樂部的有60人，報名足球或乒乓球俱樂部的有70人.若已知某人報了足球俱樂部，則其報了乒乓球俱樂部的概率為()A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1答案：A【題后反思】求條件概率的常用方法考點(diǎn)二全概率公式與貝葉斯公式考向1全概率公式

[例1]有一批同一型號的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%，二廠生產(chǎn)的占50%，三廠生產(chǎn)的占20%.已知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為2%，1%，1%，問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少？解：設(shè)事件A為“任取一件為次品”，事件Bi

為“任取一件為i廠的產(chǎn)品”，i＝1，2，3.如圖9-7-2，B1∪B2∪B3＝S，圖9-7-2由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3).

P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01，故P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)·P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.

考向2貝葉斯公式

[例2](2023年泰州市校級期中)醫(yī)生按照某流行病檢驗(yàn)指標(biāo)將人群分為感染者和正常者，針對該病的快速檢驗(yàn)試劑有陰性和陽性2種結(jié)果.根據(jù)前期研究數(shù)據(jù)，該試劑將感染者判為陽性的概率是80%，將正常者判為陽性的概率是10%.專家預(yù)測，某小區(qū)有5%的人口感染了該病，則某人在單次檢驗(yàn)的結(jié)果為陰性的前提下，是感染者的概率是()A.

2173B.

1173C.1%D.10%答案：A【題后反思】“化整為零”求多事件的全概率問題圖9-7-3

(2)已知事件B的發(fā)生有各種可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B發(fā)生的可能性，就是各種可能情形Ai發(fā)生的可能性與已知在Ai發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的可能性的乘積之和.

【變式訓(xùn)練】

1.(考向1)(2023年合肥市校級期末)假設(shè)有兩箱零件，第一箱內(nèi)裝有10件，其中有2件次品；第二箱內(nèi)裝有20件，其中有3件次品，現(xiàn)從兩箱中隨意挑選一箱，然后從該箱中隨機(jī)取1個零件，則取出的零件是次品的概率為()

解析：設(shè)Ai表示從第i(i＝1，2)箱中取一個零件，B表示取出的零件是次品，則P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＝P(A1)·P(B|A1)＋答案：C

2.(考向2)某學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試，第一次及格的概率為p，若第一次及格則第二次及格的概率也為p；若第一次及格的概率為________.解析：設(shè)“該學(xué)生第i次及格”為事件Ai，i＝1，2.考點(diǎn)三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布考向1相互獨(dú)立事件的概率回答這道題正確”分別為事件A，B，C，則P(A)＝(1)求乙、丙兩個家庭各自回答這道題正確的概率；(2)求甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答這道題正確的概率.解：(1)記“甲回答這道題正確”“乙回答這道題正確”“丙[例4]已知某種植物種子每粒成功發(fā)芽的概率都為

，某植物考向2獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)研究所分三個小組分別獨(dú)立進(jìn)行該種子的發(fā)芽試驗(yàn)，每次試驗(yàn)種一粒種子，每次試驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立.假定某次試驗(yàn)種子發(fā)芽則稱該次試驗(yàn)是成功的，如果種子沒有發(fā)芽，則稱該次試驗(yàn)是失敗的.(1)第一小組做了四次試驗(yàn)，求該小組恰有兩次失敗的概率；(2)第二小組做了四次試驗(yàn)，設(shè)試驗(yàn)成功與失敗的次數(shù)的差的絕對值為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(3)第三小組進(jìn)行試驗(yàn)，到成功了四次為止，在第四次成功之前共有三次失敗的前提下，求恰有兩次連續(xù)失敗的概率.解：(1)第一小組恰有兩次失敗的概率考向3二項(xiàng)分布

[例5]某社區(qū)組織開展“掃黑除惡”宣傳活動，為鼓勵更多的人積極參與到宣傳活動中來，宣傳活動現(xiàn)場設(shè)置了抽獎環(huán)節(jié).在盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“掃黑除惡利國利民”或“普法宣傳人人參與”圖案.抽獎規(guī)則：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張分別是“普法宣傳人人參與”卡和“掃黑除惡利國利民”卡即可獲獎，否則，均為不獲獎.卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復(fù)進(jìn)行.活動開始后，一位參加者知道，從盒中抽取兩張都是‘掃黑除惡利國利民’卡的概率是

.”問：“盒中有幾張‘普法宣傳人人參與’卡？”主持人答：“我只(1)求抽獎?wù)攉@獎的概率；

(2)為了增加抽獎的趣味性，規(guī)定每個抽獎?wù)呦葟难b有9張卡片的盒中隨機(jī)抽出1張不放回，再用剩下8張卡片按照之前的抽獎規(guī)則進(jìn)行抽獎，現(xiàn)有甲、乙、丙三人依次抽獎，用X表示獲獎的人數(shù)，求X的分布列和均值.【題后反思】(1)求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的方法①利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解；②正面計算較煩瑣或難以入手時，可從其對立事件入手計算.(2)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布問題的常見類型及解題策略①在求n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率時，首先要確定n和k的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率；

②在根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問題時，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)n和變量的概率，從而求得概率.【考法全練】解析：設(shè)“從甲袋中摸出一個紅球”為事件A1，“從乙袋中摸出一個紅球”為事件A2，答案：ACD

2.(考向2)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得(1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列；(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？解：(1)X可能的取值為10，20，100，－200.根據(jù)題意，有

3.(考向3)(2022年汕頭市一模)足球比賽全場比賽時間為90分鐘，在90分鐘結(jié)束時成績持平，若該場比賽需要決出勝負(fù)，需進(jìn)行30分鐘的加時賽，若加時賽仍是平局，則采取“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的方式?jīng)Q定勝負(fù).“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的規(guī)則如下：①兩隊(duì)?wèi)?yīng)各派5名隊(duì)員，雙方輪流踢點(diǎn)球，累計進(jìn)球個數(shù)多者勝；②如果在踢滿5輪前，一隊(duì)的進(jìn)球數(shù)已多于另一隊(duì)踢滿5次可能射中的球數(shù)，則不需再踢，例如第4輪結(jié)束時，雙方進(jìn)球數(shù)比為2∶0，則不需再踢第5輪了；③若前5輪點(diǎn)球大戰(zhàn)中雙方進(jìn)球數(shù)持平，則采用“突然死(1)已知小明在點(diǎn)球訓(xùn)練中射進(jìn)點(diǎn)球的概率是

.在一次賽前訓(xùn)亡法”決出勝負(fù)，即從第6輪起，雙方每輪各派1人罰點(diǎn)球，若均進(jìn)球或均不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪，直到出現(xiàn)一方進(jìn)球另一方不進(jìn)球的情況，進(jìn)球方勝.練中，小明射了3次點(diǎn)球，且每次射點(diǎn)球互不影響，記X為射進(jìn)點(diǎn)球的次數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

(2)現(xiàn)有甲、乙兩校隊(duì)在淘汰賽中(需要分出勝負(fù))相遇，120分鐘比賽后雙方仍舊打平，需進(jìn)行“點(diǎn)球大戰(zhàn)”決出勝負(fù).設(shè)甲隊(duì)每輪點(diǎn)球中，進(jìn)球與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.求在第4輪結(jié)束時，甲隊(duì)進(jìn)了3個球并剛好勝出的概率.(2)記“在第4輪結(jié)束時，甲隊(duì)進(jìn)了3個球并剛好勝出”為事件A，

由題意可知，在第4輪結(jié)束時，甲隊(duì)進(jìn)了3個球并剛好勝出，則甲、乙兩隊(duì)進(jìn)球數(shù)之比為3∶0或3∶1.“甲、乙兩隊(duì)進(jìn)球數(shù)之比為3∶0”記為事件A1，“甲、乙兩隊(duì)進(jìn)球數(shù)之比為3∶1”記為事件A2，則A＝A1＋A2，且A1與A2互斥，考點(diǎn)四正態(tài)分布

[例6](2023年惠州市模擬)某網(wǎng)絡(luò)平臺開展了一項(xiàng)有獎闖關(guān)活動，并根據(jù)難度對每一關(guān)進(jìn)行賦分，競猜活動共5關(guān)，規(guī)定：上一關(guān)通過則進(jìn)入下一關(guān)，本關(guān)第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機(jī)會，兩次均未通過則闖關(guān)失敗，且各關(guān)能否通過相互獨(dú)立.已知甲、乙、丙三人都參加了該項(xiàng)活動.

(2)已知該闖關(guān)活動累計得分服從正態(tài)分布，且滿分為450分，現(xiàn)要根據(jù)得分給2500名參加者中得分前400名發(fā)放獎勵， ①假設(shè)該闖關(guān)活動平均分?jǐn)?shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，甲能否獲得獎勵？請說明理由；

②丙得知他的分?jǐn)?shù)為430分，而乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動平均分?jǐn)?shù)為201分，351分以上共有57人”，請結(jié)合統(tǒng)計學(xué)知識幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)?

附：若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.解析：(1)設(shè)A＝“甲通過了第一關(guān)”，B＝“甲通過了第二關(guān)”.

(2)設(shè)此次闖關(guān)活動的分?jǐn)?shù)記為X，X服從正態(tài)分布，故X～N(μ，σ2).0.16，μ＋σ＝261，

所以前400名參賽者的最低得分高于261.因?yàn)榧椎牡梅譃?70分，所以甲能夠獲得獎勵.所以X≥μ＋3σ為小概率事件，即丙的分?jǐn)?shù)為430分是小概率事件.根據(jù)小概率事件的定義可以認(rèn)為其發(fā)生的可能性較小，但卻又發(fā)生了，故可認(rèn)為乙所說大概率為假.【題后反思】正態(tài)分布下兩類常見的概率計算

(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，曲線與x軸之間的面積為1.

(2)注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進(jìn)行對比聯(lián)系，確定他們屬于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一個.【變式訓(xùn)練】

(2023年佛山市校級月考)在某次考試中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N(100，100).已知參加本次考試的學(xué)生有1000人，則本次考試數(shù)學(xué)成績在70分至110分之間的學(xué)生大約有________人.[參考數(shù)據(jù)：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973]解析：學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(100，100)，所以μ＝100，σ＝10.3σ)]≈0.84，故本次考試數(shù)學(xué)成績在70分至110分之間的學(xué)生人數(shù)大約為1000×0.84＝840.答案：840

⊙二項(xiàng)分布與超幾何分布模型識別問題(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模)

教科書和考題中常涉及二項(xiàng)分布與超幾何分布，學(xué)生對這兩種模型的定義不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的題型，就認(rèn)為是超幾何分布，不加分析，濫用公式，運(yùn)算對象不明晰，事實(shí)上，超幾何分布和二項(xiàng)分布確實(shí)有著密切的聯(lián)系，但也有明顯的區(qū)別.[例7]寫出下列離散型隨機(jī)變量的分布列，并指出其中服從二項(xiàng)分布的是哪些？服從超幾何分布的是哪些？

(1)X1

表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)； (2)X2

表示連續(xù)拋擲2枚骰子，所得的2個骰子的點(diǎn)數(shù)之和； (3)有一批產(chǎn)品共有N件，其中次品有M件(N＞M＞0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n＞N)，抽出的次品件數(shù)為X3； (4)有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法抽n