2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第七章 第一講 直線的傾斜角與斜率、直線方程配套課件

第一講直線的傾斜角與斜率、直線方程2025年高考一輪總復(fù)習(xí)第七章

平面解析幾何1.直線的傾斜角

(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，以x軸為為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.(2)范圍：0°≤α<180°.2.斜率公式(1)若直線l的傾斜角α≠90°，則斜率k＝tan

α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上且x1≠x2，則l的斜率k＝3.直線的方向向量(2)若直線l的斜率為k，則直線l的一個(gè)方向向量為(1，k).名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式＝(x1≠x2，y1≠y2)不含直線x＝x1

和直線y＝y(tǒng)1

4.直線方程的五種形式名稱方程適用范圍截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用(續(xù)表)提醒：截距是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正、可負(fù)，也可以是零，而距離是一個(gè)非負(fù)數(shù).α0k0k>0不存在k<0【名師點(diǎn)睛】(1)直線的傾斜角α和斜率k之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：(2)直線的斜率k和傾斜角α之間的函數(shù)關(guān)系如圖7-1-1.圖7-1-1(3)特殊直線的方程①過(guò)點(diǎn)P1(x1，y1)且垂直于x軸的直線方程為x＝x1；②過(guò)點(diǎn)P1(x1，y1)且垂直于y軸的直線方程為y＝y(tǒng)1；③y軸的方程為x＝0；④x軸的方程為y＝0.

考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率圖7-1-2答案：A

(2)直線l過(guò)點(diǎn)P(1，0)，且與以A(2，1)，B(0，

)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為_(kāi)_____________.圖7-1-3【題后反思】

(1)由直線傾斜角的取值范圍求斜率的取值范圍或由斜率的取值范圍求直線傾斜角的取值范圍時(shí)，常借助正切函數(shù)y＝tanx在[0，π)上的單調(diào)性求解，這里特別要注意，正切函數(shù)在[0，π)上并不是單調(diào)的.(2)過(guò)一定點(diǎn)作直線與已知線段相交，求直線斜率的取值范圍【變式訓(xùn)練】(多選題)如圖7-1-4，直線l1，l2，l3

的斜率分別為k1，k2，k3，)傾斜角分別為α1，α2，α3，則下列選項(xiàng)正確的是(

圖7-1-4A.k1＜k3＜k2B.k3＜k2＜k1C.α1＜α3＜α2D.α3＜α2＜α1解析：如題圖，直線l1，l2，l3

的斜率分別為k1，k2，k3，傾斜為鈍角，所以α3<α2<α1.故選AD.答案：AD

考點(diǎn)二直線方程的求法[例2](1)已知點(diǎn)

M是直線l：2x－y－4＝0與x軸的交點(diǎn)，將直線l繞點(diǎn)M按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，得到的直線方程是()A.x＋y－3＝0C.3x－y＋6＝0B.x－3y－2＝0D.3x＋y－6＝0

解析：設(shè)直線l的傾斜角為α，則tanα＝k＝2，直線l繞點(diǎn)M按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，所得直線的斜率k′＝tan(α＋45°)＝

2＋11－2×1＝－3，又點(diǎn)M(2，0)，所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.答案：D(2)求滿足下列條件的直線的方程：③經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5，10)，且到原點(diǎn)的距離為5.③由題意知，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)符合題意，此時(shí)直線方程為x＝5.

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由點(diǎn)到直線的距離公式，得原點(diǎn)到直線的距離為綜上所述，直線方程為x＝5或3x－4y＋25＝0.【題后反思】(1)已知直線的斜率與直線上某一點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，用點(diǎn)斜式.(2)已知直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，用兩點(diǎn)式，或先利用斜率公式求出斜率，再利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程.(3)用待定系數(shù)法時(shí)，一般選取直線的一般式或斜截式.(4)若直線可能與x軸垂直時(shí)，應(yīng)避免選用與斜率相關(guān)的形式，【變式訓(xùn)練】1.(2023年內(nèi)江市校級(jí)期中)已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，1)，且與直線2x＋3y＋1＝0平行，則直線l的方程是()A.2x＋3y－7＝0C.2x－3y－1＝0B.3x＋2y－8＝0D.3x－2y－4＝0

解析：直線l與直線2x＋3y＋1＝0平行，則可設(shè)直線l的方程為2x＋3y＋k＝0，∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，1)，∴2×2＋3×1＋k＝0，解得k＝－7，故直線l的方程為2x＋3y－7＝0.故選A.答案：A

2.求過(guò)點(diǎn)A(－5，2)，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線方程.考點(diǎn)三直線方程的綜合應(yīng)用

[例3]已知直線l過(guò)點(diǎn)M(2，1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程.解：(方法一)設(shè)直線l的方程為y－1＝k·(x－2)，所以k<0.【題后反思】(1)求解與直線方程有關(guān)的最值問(wèn)題，先根據(jù)題意建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式(或函數(shù))求最值.

(2)求解直線方程與函數(shù)相結(jié)合的問(wèn)題，一般是利用直線方程中x，y的關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.【變式訓(xùn)練】

已知直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，當(dāng)0＜a＜2時(shí)，直線l1，l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______.

解析：由題知，直線l1，l2

恒過(guò)定點(diǎn)P(2，2)，直線l1

在y軸上的截距為2－a，直線l2

在x軸上的截距為a2＋2，0<a<2，如圖D68.圖D68⊙巧構(gòu)造，妙用斜率求解問(wèn)題

解析：作出函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)的大致圖象，如圖7-1-5所示，可知當(dāng)x＞0時(shí)，曲線上各點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率隨x的增大而減小，

因?yàn)閍＞b＞c＞0，圖7-1-5【反思感悟】對(duì)于求形如的問(wèn)題，可利用定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)位置，轉(zhuǎn)化為求直線斜率的范圍，借助數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.【高分訓(xùn)練】大值和最小值.解：如圖D69，