2025屆高三數(shù)學一輪總復習 第六章 第二講 空間幾何體的表面積與體積配套課件

第二講空間幾何體的表面積與體積2025年高考一輪總復習第六章

立體幾何項目圓柱圓錐圓臺側面展開圖側面積公式S側＝2πrlS側＝πrlS側＝π(r1＋r2)l1.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側＋S底臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側＋S上＋S下球S＝4πR22.柱體、錐體、臺體、球的表面積和體積公式【名師點睛】(1)與體積有關的幾個結論①一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.②底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等.(2)幾個與球有關的切、接常用結論①正方體的棱長為a，球的半徑為R：a.若球為正方體的外接球，則2R＝a；b.若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；c.若球與正方體的各棱相切，則2R＝

a.

考點一幾何體的表面積

[例1](1)(2023年泉州市模擬)已知圓錐SO的母線長為2，AB是圓O的直徑，點M是SA的中點.若側面展開圖中，△ABM為直角三角形，則該圓錐的側面積為()A.π3

2πB. 3C.4π 3

8πD. 3解析：如圖6-2-1所示，因為SB＝SA，且△ABM為直角三角形，所以SA⊥BM.圖6-2-1又因為M為SA的中點，所以SB＝AB，答案：C

(2)(2024年北京市模擬)已知某圓臺的側面展開圖是一個圓環(huán)被圓心角為90°的扇形所截得的扇環(huán)，且圓臺的側面積為2π，則該圓臺體積的取值范圍是_______________.

解析：圓臺及側面展開圖如圖6-2-2所示.圖6-2-2

設圓臺上底面為圓O1，半徑為R1；下底面為圓O2，半徑為R2；圓臺母線為l，AB＝l1.

由圓臺的側面積為2π，可得(πR2＋πR1)·l＝2π，

由側面展開是圓心角為90°的扇形所截得的扇環(huán)，【題后反思】(1)多面體的表面積是各個面的面積之和.(2)旋轉體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和.(3)求組合體的表面積時應注意對銜接部分的處理.【變式訓練】1.(2023年宜賓市期末)在△ABC中，AB＝BC＝AC＝2，將△ABC繞直線AB旋轉一周，得到的旋轉體的表面積為()

解析：在△ABC中，AB＝BC＝AC＝2，將△ABC繞直線AB旋轉一周，得到的旋轉體是兩個圓錐體的組合體，如圖D30所示.答案：B圖D302.(2022年南京市質(zhì)檢)如圖6-2-3所示，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2

，AD＝2，則四邊形ABCD繞AD旋轉一周所成幾何體的表面積為________.

圖6-2-3

解析：由題意可得，四邊形ABCD繞AD旋轉一周所成幾何體為圓臺上面挖去一個圓錐的組合體.如圖D31，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點E，過點C作AB的垂線，垂足為點F.圖D31則∠EDC＝180°－∠ADC＝45°，EC＝CD·sin45°＝2，ED＝CD·cos45°＝2，CF＝AE＝4，BF＝AB－AF＝3，

3.(2024年新疆維吾爾自治區(qū)一模)已知一個圓臺的上、下底面半徑分別為4和8，且它的側面展開圖扇環(huán)的面積為60π，則這個圓臺的體積為____________.

解析：根據(jù)題意，設該圓臺的母線長為l，其側面展開圖扇環(huán)的面積為60π，則有S＝π(8＋4)l＝60π，解得l＝5.其軸截面如圖D32所示，分別過點D，C作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn).圖D32梯形ABCD為等腰梯形，且AB＝16，CD＝8.易得四邊形CDEF為矩形，則EF＝CD＝8，答案：112π

考點二幾何體的體積考向1多面體的體積通性通法：求幾何體體積的常用方法

[例2](1)(2023年濰坊市期末)已知直四棱柱的高為1，其底面四邊形ABCD水平放置的斜二測直觀圖為平行四邊形A′B′C′D′，∠D′A′B′＝45°，A′B′＝2A′D′＝2，則該直四棱柱的體積為()

解析：∵四邊形ABCD水平放置的斜二測直觀圖為平行四邊形A′B′C′D′，∠D′A′B′＝45°，A′B′＝2A′D′＝2，∴原四邊形ABCD是邊長為2的正方形.又直四棱柱的高為1，∴該直四棱柱的體積為V＝22×1＝4.故選D.答案：D圖6-2-4A.74B.73

7C. 2D.7答案：C考向2旋轉體的體積

通性通法：求圓柱、圓錐、圓臺的體積的關鍵是求其底面面積和高，其中高一般利用幾何體的軸截面求得，一般是由母線、高、半徑組成的直角三角形中列出方程并求解.

[例3]如圖6-2-5，龍洗是中國古代的盥洗用具，狀貌像鼎，用青銅鑄造，因盆內(nèi)有龍紋而稱之為龍洗.龍洗盆體可以近似看作一個圓臺，現(xiàn)有一龍洗盆高12cm，盆口直徑24cm，盆底直徑12cm.)現(xiàn)往盆內(nèi)注水，當水深為4cm時，盆內(nèi)水的體積為(圖6-2-5

解析：如圖6-2-6所示，畫出圓臺的直觀圖和軸截面的平面圖形.在軸截面上作經(jīng)過點F且與EF垂直的直線，分別交AB與CD的延長線于點G和點H.圖6-2-6由題意知AB＝12，CD＝6，AC＝12，EC＝4.設EF＝x，則DH＝x－6，BG＝12－x.因為△DHF∽△BGF，因為GF＝AE＝8，HF＝CE＝4，答案：B

【考法全練】

1.(考向2)(2023年江門市開學)如圖6-2-7，某青銅器的上半部分可以近似看作圓柱，下半部分可以近似看作兩個圓臺的組合體.已知AB＝9cm，CD＝3cm，則該青銅器的體積為()圖6-2-7解析：設上部圓柱的體積為V1，則答案：A圖6-2-8答案：5030考點三組合體的表面積與體積

[例4]如圖6-2-9，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內(nèi)過點C作l⊥CB，以l為軸旋轉一周，求旋轉體的表面積和體積.圖6-2-9

解：如圖6-2-9，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，

由于以l為軸將梯形ABCD旋轉一周后形成的幾何體為圓柱中挖去一個倒放的與圓柱等高的圓錐.由上述計算知，圓柱的高為圓錐的側面積為S2＝π·a·2a＝2πa2，圓柱的底面積為S3＝π(2a)2＝4πa2，圓錐的底面積為S4＝πa2，【題后反思】處理體積問題的思路

(1)“轉”：指的是轉換棱錐的底面與高，將原來不易求面積的底面轉換為易求面積的底面，將原來不易看出的高轉換為易求長度的高.

(2)“移”：指的是當棱錐的頂點沿著與底面平行的方向移動時，棱錐的高不變，體積也不變，移動頂點后可用“轉”的方法求棱錐體積.(3)“拆”：指的是將一個不規(guī)則的幾何體拆成幾個簡單的幾何體，便于計算.

(4)“拼”：指的是將小幾何體嵌入一個大幾何