2025屆高三數(shù)學一輪總復習 第三章 第七講 正弦定理和余弦定理配套課件

第七講正弦定理和余弦定理2025年高考一輪總復習第三章

三角函數(shù)、解三角形名稱正弦定理余弦定理定理

R是三角形外接圓的半徑a2＝b2＋c2－2bc

cos

A；b2＝a2＋c2－2ac

cos

B；c2＝a2＋b2－2ab

cos

C1.正弦定理與余弦定理(續(xù)表)角的分類A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解2.三角形解的判斷3.三角形中常用的面積公式【常用結(jié)論】(1)在△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sinB.(2)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(3)內(nèi)角和公式的變形①sin(A＋B)＝sinC；②cos(A＋B)＝－cosC.(4)角平分線定理如圖3-7-1，在△ABC中，點D在BC邊上，AD平分∠BAC，圖3-7-1

考點一利用正、余弦定理解三角形1.(2023年北京卷)在△ABC中，(a＋c)(sinA－sinC)＝b(sinA－sinB)，則C＝()

所以(a＋c)(sinA－sinC)＝b(sinA－sinB)可化為(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，答案：B解得AB＝4或2.故選BD.答案：BD3.(2023年全國Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.(1)求sinA的值；(2)設AB＝5，求AB邊上的高.解：(1)∵A＋B＝3C，A＋B＋C＝π，

∵2sin(A－C)＝sinB，∴2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC.∴sinAcosC＝3cosAsinC.解得h＝6，即AB邊上的高為6.

4.(2021年全國Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2＝ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC＝asinC.(1)證明：BD＝b；(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.∴b＝2Rsin∠ABC，c＝2Rsin∠ACB，∵b2＝ac，∴b·2Rsin∠ABC＝a·2Rsin∠ACB，即bsin∠ABC＝asinC，∵BDsin∠ABC＝asinC，∴BD＝b.(2)解：在△BCD中，由正弦定理可知asinC＝BDsin∠BDC＝bsin∠BDC，而由題意可知ac＝b2?asinC＝bsin∠ABC，于是sin∠BDC＝sin∠ABC，從而∠BDC＝∠ABC或∠BDC＋∠ABC＝π.若∠BDC＝∠ABC，則△CBD∽△CAB，于是CB2＝CD·CA?【題后反思】解三角形問題的技巧

(1)解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.

(2)三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷.

考點二判斷三角形的形狀[例1](1)(多選題)(2023

年新鄉(xiāng)市校級月考)對于△ABC，有如下判斷，其中正確的判斷是()A.若cosA＝cosB，則△ABC為等腰三角形B.若△ABC為銳角三角形，則sinA＞cosBC.若a＝8，c＝10，B＝60°，則符合條件的△ABC有兩個D.若sin2A－sin2B＜sin2C，則△ABC是鈍角三角形答案：ABD邊)，則△ABC的形狀為()A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC為直角三角形，無法判斷兩直角邊是否相等.又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，所以cosC＝0，又角C為三角形的內(nèi)角，否相等.答案：A【題后反思】判斷三角形形狀的常用技巧若已知條件中既有邊又有角，則(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀.(2)化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關系，從而判斷三角形的形狀.此時要注意應用A＋B＋C＝π這個結(jié)論.【變式訓練】考點三與三角形面積、周長有關的問題考向1與三角形面積有關的問題[例2](2023年撫州市校級期末)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對【題后反思】(1)求三角形面積的方法①若已知三角形的一個角(角的大小或該角的正、余弦值)及該積.

②若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，代入(1)中公式求面積.總之，結(jié)合圖形選擇恰當?shù)拿娣e公式是解題的關鍵.(2)已知三角形面積求邊、角的方法①若求角，就尋求夾這個角的兩邊的關系，利用面積公式列方程求解.②若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解.考向2與三角形周長有關的問題答案：12

【考法全練】

1.(考向1)(2023年哈爾濱市校級期末)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知________(在以下這兩個條件中任選一個填入上方的橫線上作為已知條件，并解答下面兩個問題，如果選擇多個條件解答，按第一個解答計分)若選②，acosC＋ccosA＝2bcosB；(1)由正弦定理可得sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosB，可得sin(A＋C)＝sinB＝2sinBcosB，又a＝2，由余弦定理得b2＋c2－a2＝2bc

cos

A＝bc，即(b＋c)2－2bc－4＝bc，∴b＋c≤4.∴a＋b＋c≤6，∴△ABC周長的最大值為6.⊙解平面圖形問題圖3-7-2(1)求sin∠BCE的值；(2)求CD的長.解：(1)在△BEC中，由正弦定理知

【反思感悟】平面幾何圖形中研究或求與角有關的長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設計等問題，通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決.在解決某些具體問題