第06講等腰三角形的性質(zhì)與判定（3種題型）

第06講等腰三角形的性質(zhì)與判定（3種題型）了解等腰三角形的有關(guān)概念，探索并掌握性質(zhì)及判定方法。一．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．二．等腰三角形的判定判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．【簡稱：等角對等邊】說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；④判定定理在同一個三角形中才能適用．三．等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時不同的做法引起解決問題的復雜程度不同，需要具體問題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應當優(yōu)先選擇簡便方法來解決．一．等腰三角形的性質(zhì)（共9小題）1．（2022秋?啟東市校級期末）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝65°，則∠A的度數(shù)是（）A．45° B．70° C．65° D．50°【分析】由“SAS”證△BFD≌△CDE，得∠BFD＝∠CDE，再由三角形的外角性質(zhì)得∠B＝∠FDE＝65°＝∠C，然后由三角形內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD＝∠CDE，∵∠FDE+∠EDC＝∠B+∠BFD，∴∠B＝∠FDE＝65°，∴∠C＝∠B＝65°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣65°＝50°，故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)等知識，證明△BFD≌△CDE是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?高新區(qū)校級月考）一個等腰三角形的兩邊長分別為2cm，4cm，則它的周長是（）A．8cm B．8cm或10cm C．10cm D．6cm或8cm【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，本題要分情況討論．當腰長為2cm或是腰長為4cm兩種情況．【解答】解：等腰三角形的兩邊長分別為2cm和4cm，當腰長是2cm時，則三角形的三邊是2cm，2cm，4cm，2+2＝4（cm），不滿足三角形的三邊關(guān)系；當腰長是4cm時，三角形的三邊是4cm，4cm，2cm，三角形的周長是10cm．故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，進行分類討論，還應驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?啟東市期末）如圖，BE是△ABC的角平分線，在AB上取點D，使DB＝DE．若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度數(shù)．【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠DBE＝∠EBC，從而求出∠DEB＝∠EBC，再利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行證明即可；由DE∥BC可得到∠C＝∠AED＝45°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠ABC，最后用角平分線求出∠DBE＝∠EBC，即可得解．【解答】解：∵BE是△ABC的角平分線，∴∠DBE＝∠CBE，∵DB＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠DEB＝∠CBE，∴DE∥BC，∴∠C＝∠AED＝45°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°．∵BE是△ABC的角平分線，∴∠DBE＝∠EBC＝．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，準確識別圖形是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?無錫期末）已知一個等腰三角形的周長為10，腰長為4，則它的底邊長為（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由已知條件，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及周長公式即可求得其底邊長．【解答】解：因為等腰三角形的周長為10，其腰長為4，所以它的底邊長為10﹣4﹣4＝2．故選：A．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，本題已知比較明確，思路比較直接，屬于基礎(chǔ)題．5．（2022秋?泗陽縣期末）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝50°，點P在線段AC上且不與A、C重合，則∠BPC的度數(shù)可能是（）A．60° B．65° C．80° D．130°【分析】只要證明65°＜∠BPC＜130°即可解決問題．【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝50°，∴∠A＝∠ABC＝65°，∵∠BPC＝∠A+∠ABP，點P在線段AC上且不與A、C重合，∴65°＜∠BPC＜130°，∴只有80°適合，故選：C．【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．6．（2022秋?蘇州期末）已知等腰三角形底邊上的中線長為5，則這個等腰三角形的腰長可能為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，結(jié)合直角三角形斜邊大于直角邊，判定腰長要大于5，判斷即可．【解答】解：∵等腰三角形底邊上的中線長為5，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，得到中線也是底邊上高線，∴直角三角形斜邊大于直角邊，∴腰長要大于5，故選：D．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握兩條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?亭湖區(qū)期末）等腰三角形的周長為15cm，其中一邊長為3cm．則該等腰三角形的腰長為（）A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．3cm或9cm【分析】已知的邊可能是腰，也可能是底邊，應分兩種情況進行討論．【解答】解：當腰是3cm時，則另兩邊是3cm，9cm．而3+3＜9，不滿足三邊關(guān)系定理，因而應舍去．當?shù)走吺?cm時，另兩邊長是6cm，6cm．則該等腰三角形的底邊為3cm．故選：B．【點評】本題從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．8．（2022秋?金湖縣期中）已知△ABC是等腰三角形，若∠A＝50°，則△ABC的頂角度數(shù)是（）A．50° B．50°或80° C．80° D．50°或65°【分析】分∠A是頂角和底角兩種情況討論，即可解答．【解答】解：當∠A是頂角時，△ABC的頂角度數(shù)是50°；當∠A是底角時，則△ABC的頂角度數(shù)為180°﹣2×50°＝80°；綜上，△ABC的頂角度數(shù)是50°或80°．故選：B．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，此類題目，難點在于要分情況討論．9．（2022秋?如東縣期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點E，交AB于點F，D為線段CE的中點，BE＝AC．（1）求證：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度數(shù)．【分析】（1）連接AE，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可知BE＝AE＝AC，根據(jù)等腰三角形三線合一即可知AD⊥BC（2）設(shè)∠B＝x°，由（1）可知∠BAE＝∠B＝x°，然后根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和為180°列出方程即可求出x的值．【解答】解：（1）連接AE，∵EF垂直平分AB∴AE＝BE∵BE＝AC∴AE＝AC∵D是EC的中點∴AD⊥BC（2）設(shè)∠B＝x°∵AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝x°∴由三角形的外角的性質(zhì)，∠AEC＝2x°∵AE＝AC∴∠C＝∠AEC＝2x°在三角形ABC中，3x°+75°＝180°x°＝35°∴∠B＝35°【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，本題屬于中等題型．二．等腰三角形的判定（共9小題）10．（2022秋?啟東市校級月考）如圖，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，則圖中共有等腰三角形（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB＝∠B＝（180°﹣∠A）＝72°，求出∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝36°，求出∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，推出∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°即可．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∵∠A＝36°，∴∠ACB＝∠B＝（180°﹣∠A）＝72°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝36°，∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，∴∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°，∴△ACB、△ACD、△CDB、△CDE、△DEB都是等腰三角形，共5個，故選：D．【點評】本題考查了角平分線性質(zhì)、平行線性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，以及等角對等邊的性質(zhì)等知識點的應用，題目比較好，難度適中．11．（2023?東?？h三模）在△ABC中，∠A＝80°，當∠B＝80°、50°、20°時，△ABC是等腰三角形．【分析】此題要分三種情況進行討論①∠B、∠A為底角；②∠A為頂角，∠B為底角；③∠B為頂角，∠A為底角．【解答】解：∵∠A＝80°，∴①當∠B＝80°時，△ABC是等腰三角形；②當∠B＝（180°﹣80°）÷2＝50°時，△ABC是等腰三角形；③當∠B＝180°﹣80°×2＝20°時，△ABC是等腰三角形；故答案為：80°、50°、20°．【點評】此題主要考查了等腰三角形的判定，關(guān)鍵是掌握等角對等邊，注意考慮全面，不要漏解．12．（2022秋?姜堰區(qū)期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，點A、B均在格點上，在圖中給出的C1、C2、C3、C4四個格點中，能與點A、B構(gòu)成等腰三角形，且面積為2的是（）A．C1 B．C2 C．C3 D．C4【分析】先判斷等腰三角形，然后計算等腰三角形的面積，進而作出判斷．【解答】解：根據(jù)圖形可知△ABC2，△ABC3是等腰三角形，則S＝2，S＝2×3﹣1×2﹣＝．故選：B．【點評】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積是解決問題的關(guān)鍵．13．（2022秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，在3×3正方形網(wǎng)格中，點A，B在格點上，若點C也在格點上，且△ABC是等腰三角形，則符合條件的點C的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分別畫出以A點和B點為頂點的等腰三角形，再畫出C為頂點的等腰三角形即可．【解答】解：以AB為腰的等腰三角形有兩個，以AB為底的等腰三角形有一個，如圖：所以符合條件的點C的個數(shù)為3個，故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．掌握等腰三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋?邗江區(qū)月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，點D是AC上一點，連接BD，∠DBC＝60°，BD＝4，則AD長是（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余可得∠BDC＝30°，然后利用三角形外角的性質(zhì)可得∠ABD＝15°，從而可得∠A＝∠ABD＝15°，即可解答．【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝30°，∵∠A＝15°，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝15°，∴∠A＝∠ABD＝15°，∴AD＝BD＝4，故選：A．【點評】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋?廣陵區(qū)校級期末）用一條長為21cm的鐵絲圍成一個等腰三角形．（1）如果腰長是底邊長的3倍，那么各邊的長是多少？（2）能圍成有一邊的長是5cm的等腰三角形嗎？【分析】（1）設(shè)底邊長為xcm，表示出腰長，然后根據(jù)周長列出方程求解即可；（2）分5是底邊和腰長兩種情況討論求解．【解答】解：（1）設(shè)底邊長為xcm，則腰長為3xcm，根據(jù)題意得：x+3x+3x＝21，解得：x＝3，則3x＝3×3＝9，∴三角形的三邊長分別為3cm、9cm、9cm．（2）能，理由如下：①若底邊長為5cm時，腰長＝三角形的三邊分別為5cm、8cm、8cm，能圍成三角形，若5cm為腰時，底邊＝21﹣5×2＝11，三角形的三邊分別為5cm、5cm、11cm，∵5+5＝10＜11，∴不能圍成三角形，綜上所述，能圍成一個底邊是5cm，腰長是8cm的等腰三角形．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的周長，難點在于要分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系進行判斷．16．（2022秋?鎮(zhèn)江月考）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中有兩個格點A、B，連接AB，在網(wǎng)格中再找一個格點C，使得△ABC是等腰三角形，滿足條件的格點C的個數(shù)是（）A．5 B．6 C．8 D．9【分析】分三種情況：當BA＝BC時，當AB＝AC時，當CA＝CB時，然后進行分析即可解答．【解答】解：如圖：分三種情況：當BA＝BC時，以點B為圓心，BA長為半徑作圓，點C1，C2，C3即為所求；當AB＝AC時，以點A為圓心，AB長為半徑作圓，點C4，C5，C6，C7，C8即為所求；當CA＝CB時，作AB的垂直平分線，與正方形網(wǎng)格的交點不在格點上，綜上所述：滿足條件的格點C的個數(shù)是8，故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的判定，分三種情況討論是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋?邳州市期末）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格的交點稱為格點，已知A，B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點C的個數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】分AB是腰長時，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出一個小正方形與A、B頂點相對的頂點，連接即可得到等腰三角形，AB是底邊時，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，AB垂直平分線上的格點都可以作為點C，然后相加即可得解．【解答】解：①AB為等腰△ABC底邊時，符合條件的C點有4個；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個．故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的特點是解題的關(guān)鍵，要注意分AB是腰長與底邊兩種情況討論求解．18．（2022秋?亭湖區(qū)期末）如圖所示，∠AOB＝60°，C是BO延長線上的一點，OC＝12cm，動點P從點C出發(fā)沿CB以3cm/s的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿OA以2cm/s的速度移動，如果點P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間，當t＝或12s時，△POQ是等腰三角形．【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，分兩種情況：（1）當點P在線段OC上時；（2）當點P在CO的延長線上時．分別列式計算即可求．【解答】解：分兩種情況：（1）當點P在線段OC上時，設(shè)t時后△POQ是等腰三角形，有OP＝OC﹣CP＝OQ，即12﹣3t＝2t，解得，t＝s；（2）當點P在CO的延長線上時，此時經(jīng)過CO時的時間已用5s，當△POQ是等腰三角形時，∵∠POQ＝60°，∴△POQ是等邊三角形，∴OP＝OQ，即3t﹣12＝2t，解得，t＝12s故答案為或12．【點評】本題考查了等腰三角形的判定；解題時把幾何問題轉(zhuǎn)化為方程求解，是常用的方法，注意要分類討論，當點P在點O的左側(cè)還是在右側(cè)是解答本題的關(guān)鍵．三．等腰三角形的判定與性質(zhì)（共9小題）19．（2022秋?大豐區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F，過F作DE∥BC，交AB于點D，交AC于點E．若BD＝4，DE＝7，則線段EC的長為（）A．3 B．4 C．3.5 D．2【分析】根據(jù)△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F．判斷出∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，再利用兩直線平行內(nèi)錯角相等，判斷出∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，即BD＝DF，F(xiàn)E＝CE，然后利用等量代換即可求出線段CE的長．【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，∵DF∥BC，交AB于點D，交AC于點E．∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，∴BD＝DF＝4，F(xiàn)E＝CE，∴CE＝DE﹣DF＝7﹣4＝3．故選：A．【點評】此題主要考查學生對等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線段性質(zhì)的理解和掌握，關(guān)鍵利用兩直線平行內(nèi)錯角相等．20．（2022秋?銅山區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點．D，交AC于點E，那么下列結(jié)論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③BC＝BD+CE；④△ADE的周長＝AB+AC；⑤BF＝CF．其中正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤【分析】由平行線得到角相等，由角平分線得角相等，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定和性質(zhì)．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，∵BF是∠ABC的平分線，CF是∠ACB的平分線，∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF＝DB，F(xiàn)E＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，∴△ADE的周長AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC，①②④正確，故選：B．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)；題目利用了兩直線平行，內(nèi)錯角相等，及等角對等邊來判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關(guān)鍵．21．（2022秋?沭陽縣期末）如圖，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點D，過點D作BC的平行線，分別交AB，AC于E，F(xiàn)，則△AEF的周長是14．【分析】根據(jù)角平分線與平行這兩個條件可證明等腰三角形，即可解答．【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴EB＝ED，F(xiàn)D＝FC，∵AB＝6，AC＝8，∴△AEF的周長＝AE+EF+AF＝AE+ED+DF+AF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝14，∴△AEF的周長為：14，故答案為：14．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握根據(jù)角平分線與平行這兩個條件可證明等腰三角形是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋?江都區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點O，過點O作DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E．若DE＝7，EC＝3，則DB＝4．【分析】根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)即可證明OD＝DB．【解答】解：∵BO平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠DBO＝∠CBO，∠ECO＝∠BCO，∵DE∥BC，∴∠CBO＝∠DOB，∠EOC＝∠OCB，∴∠DBO＝∠DOB，∠EOC＝∠ECO，∴BD＝DO，OE＝CE＝3，∴BD＝DO＝DE﹣CE＝4，故答案為：4．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)：等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．也考查了平行線的性質(zhì)．23．（2022秋?江都區(qū)校級月考）如圖所示，三角形ABC的面積為1cm2．AP垂直∠B的平分線BP于點P．則三角形PBC的面積是cm2．【分析】延長AP交BC于點E，由角平分線的定義可知∠ABP＝∠EBP，結(jié)合BP＝BP以及∠APB＝∠EPB＝90°即可證出△ABP≌△EBP（ASA），進而可得出AP＝EP，根據(jù)三角形的面積即可得出S△APC＝SEPC，再根據(jù)S△PBC＝S△BPE+SEPC＝S△ABC即可得出結(jié)論．【解答】解：延長AP交BC于點E，如圖所示．∵AP垂直∠B的平分線BP于點P，∴∠ABP＝∠EBP．在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝EP．∵△APC和△EPC等底同高，∴S△APC＝S△EPC，∴S△PBC＝S△BPE+S△EPC＝S△ABC＝cm2．故答案為：cm2．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義以及三角形的面積，根據(jù)三角形間的關(guān)系找出S△PBC＝S△ABC是解題的關(guān)鍵．24．（2022秋?江都區(qū)月考）如圖，已知S△ABC＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于點D，則S△ADC12m2．【分析】延長BD交AC于點E，則可知△ABE為等腰三角形，則S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，可得出S△ADC＝S△ABC．【解答】解：如圖，延長BD交AC于點E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（ASA），∴BD＝DE，∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，∴S△ADC＝S△ABC＝×24＝12（m2），故答案為：12；【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，由BD＝DE得到S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE是解題的關(guān)鍵．25．（2022秋?崇川區(qū)期中）如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點G、F，若FG＝4，ED＝8，求EB+DC＝12．【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△EBG和△DFC是等腰三角形，從而可得EB＝EG，DF＝DC，進而可得EB+DC＝ED+FG，然后進行計算即可解答．【解答】解：∵ED∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠ABG＝∠CBG，∠ACF＝∠FCB，∴∠EBG＝∠EGB，∠DFC＝∠ACF，∴EB＝EG，DF＝DC，∵FG＝4，ED＝8，∴EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝12，故答案為：12．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證等腰三角形是解題的關(guān)鍵．26．（2022秋?海安市期末）如圖，在△ABC中，∠A＝80°，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，過點O作BC的平行線與AB，AC分別相交于點M，N．若AB＝5，AC＝7．（1）求∠BOC的度數(shù)；（2）求∠AMN的周長．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°及角平分線的定義即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得△MBO和△CNO都是等腰三角形，從而可得MB＝MO，NO＝NC，進而可得C△AMN＝AB+AC，進行計算即可解答．【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣∠A，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A＝90°+40°＝130°；（2）∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠CBO，∴∠ABO＝∠MOB，∴MO＝BM，同理可得，NO＝NC，∴AM+MN+AN＝AM+MO+ON+AN＝AM+BM+AN+NC＝AB+AC，∵AB＝5，AC＝7，∴AB+AC＝12，∴△AMN的周長＝AB+AC＝12．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．27．（2022秋?姑蘇區(qū)校級期中）如圖，點E是△ABC的內(nèi)角∠ABC和外角∠ACF的兩條角平分線的交點，過點E作MN∥BC，交AB于點M，交AC于點N，若BM﹣CN＝6，則線段MN的長度為6．【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠MBE＝∠CBE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠MEB＝∠CBE，等量代換得到∠MBE＝∠MEB，求得BM＝EM，同理，CN＝EN，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∴∠MBE＝∠CBE，∵MN∥BC，∴∠MEB＝∠CBE，∴∠MBE＝∠MEB，∴BM＝EM，同理，CN＝EN，∵BM﹣CN＝9，∴MN＝ME﹣EN＝BM﹣CN＝6，故答案為：6．【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．一．選擇題（共5小題）1．（2022秋?灌南縣期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E是BC上的兩點，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，則圖中等腰三角形的個數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】由已知條件，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180、角的平分線的性質(zhì)求得各個角的度數(shù)，然后利用等腰三角形的判定進行找尋，注意做到由易到難，不重不漏．【解答】解：AB＝AC，∠ABC＝36°，∴∠BAC＝108°，∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6個，故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵，難度適中．2．（2022秋?溧水區(qū)期中）已知一個等腰三角形的兩邊長分別是2cm，4cm，則這個等腰三角形的周長是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，所以這個等腰三角形的兩條腰長應該是8厘米，由此把三條邊加起來即可．【解答】解：∵2+2＝4（cm），4cm＝4cm，不符合三角形三邊條件，∴這等腰三角形的兩條腰長是4cm，∵4+4+2＝10（cm），∴這個等腰三角形的周長是10cm．故選：C．【點評】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系，是解答此題的關(guān)鍵．3．（2023春?洪澤區(qū)期中）等腰三角形有兩條邊的長分別為3和4，則該三角形的周長為（）A．10 B．10或11 C．11 D．7或11【分析】等腰三角形兩邊的長為3和4，具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說明，因此要分兩種情況討論．【解答】解：①當腰是3，底邊是4時，3+3＞4，能構(gòu)成三角形，則其周長＝3+3+4＝10；②當?shù)走吺?，腰長是4時，3+4＞4，能構(gòu)成三角形，則其周長＝3+4+4＝11．故選：B．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?淮安區(qū)期中）如圖，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，AB＝15，AC＝18，則△AMN的周長為（）A．15 B．18 C．30 D．33【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得△MBO和△NCO是等腰三角形，從而可得MB＝MO，NO＝NC，然后利用等量代換可得△AMN的周長＝AB+AC，進行計算即可解答．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，∴MB＝MO，NO＝NC，∵AB＝15，AC＝18，∴△AMN的周長＝AM+MN+AN＝AM+MO+NO+AN＝AM+MB+NC+AN＝AB+AC＝33，故選：D．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證等腰三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋?泗陽縣期中）如圖是蹺蹺板的示意圖，支柱OC與地面垂直，點O是AB的中點，AB繞著點O上下轉(zhuǎn)當A端落地時，∠OAC＝25°，蹺蹺板上下可轉(zhuǎn)動的最大角度（即∠A'OA）是（）A．25° B．50° C．60° D．80°【分析】當B端著地時，如圖，∠A′OA即為上下轉(zhuǎn)動的最大角度，利用三角形外角的性質(zhì)即可解決問題；【解答】解：當B端著地時，如圖，∠A′OA即為上下轉(zhuǎn)動的最大角度，∵O是AB的中點，∴OA＝OB∵OA＝OB′，∴∠A＝∠B′＝25°∴∠A′OA＝∠A+∠B′＝50°．故選：B．【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及鄰補角的定義等知識．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，注意輔助線的作法．二．填空題（共5小題）6．（2022秋?大豐區(qū)期中）如圖，直線a，b交于點O，∠α＝40°，點A是直線a上的一個定點，點B在直線b上運動，且始終位于直線a的上方，若以點O，A，B為頂點的三角形是等腰三角形，則∠OAB＝40或70或100°．【分析】根據(jù)△OAB為等腰三角形，分三種情況討論：①當OB＝AB時，②當OA＝AB時，③當OA＝OB時，分別求得符合的點B，即可得解．【解答】解：要使△OAB為等腰三角形分三種情況討論：①當OB1＝AB1時，∠OAB＝∠1＝40°；②當OA＝AB2時，∠OAB＝180°﹣2×40°＝100°；③當OA＝OB3時，∠OAB＝∠OBA＝×（180°﹣40°）＝70°；綜上所述，∠OAB的度數(shù)是40°或70°或100°，故答案為：40或70或100．【點評】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?姑蘇區(qū)期中）在△ABC中，∠A＝70°，當∠B＝55°、70°、40°時，△ABC為等腰三角形．【分析】運用分類討論的數(shù)學思想，借助三角形的內(nèi)角和定理求出∠B的值，即可解決問題．【解答】解：若∠A為頂角，且∠A＝70°，則∠B＝∠C＝＝55°；若∠A為底角，且∠B為底角，則∠B＝∠A＝70°；若∠A為底角，且∠B為頂角，則∠A＝∠C＝70°，∠B＝180°﹣140°＝40°，故答案為55°、70°、40°．【點評】該題主要考查了等腰三角形的判定及其性質(zhì)的應用問題；解題的關(guān)鍵是運用分類討論的數(shù)學思想，借助三角形的內(nèi)角和定理來逐一判斷、解析．8．（2022秋?沭陽縣期中）如圖，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，AB＝5，AC＝7，則△AMN的周長為12．【分析】利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△MBO和△NCO是等腰三角形，從而可得MO＝MB，NO＝NC，然后根據(jù)等量代換可得△AMN的周長＝AB+AC，進行計算即可解答．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝5，AC＝7，∴△AMN的周長＝AM+MN+AN＝AM+MO+ON+AN＝AM+MB+NC+AN＝AB+AC＝5+7＝12，故答案為：12．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證等腰三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，線段AB的長度為2，AB所在直線上方存在點C，使得△ABC為等腰三角形，設(shè)△ABC的面積為S．當S＝或2時，滿足條件的點C恰有三個．【分析】分別以A，B為圓心，AB長為半徑作圓，兩圓相交于點C1，過點C1作直線l∥AB，分別交兩圓于點C2，C3；分別以A，B為圓心，AB長為半徑作圓，在兩圓上方作直線l∥AB，與兩圓分別相切于點C2，C3，再根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【解答】解：（1）如圖所示：分別以A，B為圓心，AB長為半徑作圓，兩圓相交于點C1，過點C1作直線l∥AB，分別交兩圓于點C2，C3，此時滿足條件的點C恰好有3個，△ABC1為邊長為2的等邊三角形，其高為∴S＝×2×＝（2）如圖所示：分別以A，B為圓心，AB長為半徑作圓，在兩圓上方作直線l∥AB，與兩圓分別相切于點C2，C3，點C1為l與線段AB的垂直平分線的交點，此時滿足條件的點C恰好有3個，△ABC2和△ABC3均為腰長為2的等腰直角三角形，△ABC1為底邊為2，高為2的等腰三角形∴S＝×2×2＝2故答案為：或2．【點評】本題考查了等腰三角形的判定，構(gòu)造圓，結(jié)合圓的切線性質(zhì)及平行線的性質(zhì)分類討論，是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?泗洪縣期中）如圖，已知直線OM垂直于直線ON，點A在直線OM上，且∠OAB＝30°，點B在直線ON上，在直線OM或直線ON上找一點C（與A、B不重合），使△ABC成為一個等腰三角形，這樣的點C能找到6個．【分析】分兩種情況討論，當AB是底邊時，當AB是腰時，即可求解．【解答】解：（1）當AB是底邊時，作AB的垂直平分線，分別與AO，線段BO的延長線相交，共兩個交點，都符合題意；（2）當AB是腰時①以A圓心AB長為半徑畫圓交直線OM于兩點，交線段BO延長線于一點（該點與前面的點重合），有兩個交點符合題意；②以B圓心AB長為半徑畫圓交直線ON于兩點（有一個點與前面的點重合），交線段AO延長線于一點，有兩個交點符合題意，因此這樣的點C能找到6個，使△ABC成為等腰三角形．故答案為：6．【點評】本題考查等腰三角形，關(guān)鍵是分兩種情況討論，并注意有重合的點．三．解答題（共3小題）11．（2022秋?邗江區(qū)期中）如圖：E在△ABC的AC邊的延長線上，D點在AB邊上，DE交BC于點F，DF＝EF，BD＝CE，過D作DG∥AC交BC于G．求證：△ABC是等腰三角形．【分析】首先根據(jù)題意證明出△GDF≌△CEF（ASA），然后得到DG＝CE，結(jié)合得到∠ABC＝∠ACB，即可證明出△ABC是等腰三角形．【解答】證明：∵DG∥AC∴∠GDF＝∠CEF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），在△GDF和△CEF中，，∴△GDF≌△CEF（ASA）；∴DG＝CE，又∵BD＝CE，∴DG＝BD，∴∠DBG＝∠DGB，∵DG∥AC，∴∠DGB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．【點評】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．12．（2022秋?東?？h期中）用一條長為16cm的細繩圍成一個等腰三角形．（1）如果腰長是底邊長的2倍，那么底邊長為3.2cm；（2）能圍成腰長是4cm的等腰三角形嗎？為什么？【分析】（1）設(shè)底邊長為xcm，則腰長為2xcm，根據(jù)周長公式列一元一次方程，解方程即可求得各邊的長；（2）題中沒有指明4cm所在邊是底還是腰，故應該分情況進行分析，注意利用三角形三邊關(guān)系進行檢驗．【解答】解：（1）設(shè)底邊長為xcm，則腰長為2xcm，則2x+2x+x＝16解得，x＝3.2，∴底邊長為：3.2cm；故答案為：3.2cm；（2）不能圍成有長是4cm的等腰三角形，當4cm為腰時，底邊＝8cm，因為4+4＝8，故不能構(gòu)成三角形，故舍去；故不能構(gòu)成腰長為4cm的等腰三角形．【點評】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系的綜合運用，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?淮安區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．（1）BP＝（16﹣t）cm（用t的代數(shù)式表示）（2）當點Q在邊BC上運動時，出發(fā)幾秒后，△PQB是等腰三角形？（3）當點Q在邊CA上運動時，出發(fā)11秒或12秒后，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形？【分析】（1）根據(jù)題意即可用t可分別表示出BP；（2）結(jié)合（1），根據(jù)題意再表示出BQ，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到BP＝BQ，可得到關(guān)于t的方程，可求得t；（3）用t分別表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性質(zhì)可分CQ＝BC和BQ＝CQ三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．【解答】解：（1）由題意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，故答案為：（16﹣t）cm；（2）當點Q在邊BC上運動，△PQB為等腰三角形時，則有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出發(fā)秒后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①當△BCQ是以BC為底邊的等腰三角形時：CQ＝BQ，如圖1所示，則∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11；②當，△BCQ是以BQ為底邊的等腰三角形時：CQ＝BC，如圖2所示，則BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12，綜上所述：當t為11或12時，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形．故答案為：11秒或12．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．用時間t表示出相應線段的長，化“動”為“靜”是解決這類問題的一般思路，注意方程思想的應用．一．選擇題（共6小題）1．若等腰三角形邊長別為6cm和3cm，則該等腰三角形的周長是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm【分析】根據(jù)已知條件和三角形三邊關(guān)系可知；等腰三角形的腰長不可能為3cm，只能為6cm，然后即可求得等腰三角形的周長．【解答】解：①6cm為腰，3cm為底，此時周長為6+6+3＝15cm；②6cm為底，3cm為腰，則兩邊和等于第三邊無法構(gòu)成三角形，故舍去．故其周長是15cm．故選：C．【點評】此題主要考查學生對等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系的掌握情況．已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．2．等腰三角形的周長為21cm，其中一邊長為5cm，則該等腰三角形的底邊長為（）A．5cm B．11cm C．8cm或5cm D．11cm或5cm【分析】由于長為5cm的邊可能為腰，也可能為底邊，故應分兩種情況討論．【解答】解：當5cm是等腰三角形的底邊時，則其腰長是（21﹣5）÷2＝8（cm），能夠組成三角形；當5cm是等腰三角形的腰時，則其底邊是21﹣5×2＝11（cm），∵5+5＝10＜11，∴不能夠組成三角形．故該等腰三角形的底邊長為：5cm．故選：A．【點評】此題考查了等腰三角形的兩腰相等的性質(zhì)，同時注意三角形的三邊關(guān)系．3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，點E為AC的中點，連接DE．若△ABC的周長為20cm，則△CDE的周長為（）A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm【分析】根據(jù)中點的定義得到DC=12BC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DE=【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，點E為AC的中點，∴DC=12BC，DE=∵△ABC的周長為20cm，∴△CDE的周長＝DE+EC+DC=12×故選：A．【點評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)與判定，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD為△ABC的高．若∠CBD＝20°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解答】解：∵BD為△ABC的高，∴∠BDC＝90°．∵∠CBD＝20°，∴∠C＝90°﹣∠CBD＝90°﹣20°＝70°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝70°，又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°．∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故選：B．【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是會綜合運用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進行答題，此題難度一般．5．下列長度的三條線段能組成等腰三角形的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，2，3 D．2，2，4【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系和等腰三角形的定義解答．【解答】解：A、∵1+2＝3，∴不能組成三角形，故此選項不符合題意；B、∵3+4＞5，∴能組成三角形，但不是等腰三角形，故此選項不符合題意；C、∵2+2＞3，∴能組成三角形，且是等腰三角形，故此選項符合題意；D、∵2+2＝4，∴不能組成三角形，故此選項不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的判定，三角形的三邊關(guān)系，要注意三角形的任意兩邊之和大于第三邊．6．已知a，b是△ABC的兩條邊長，且a2+b2﹣2ab＝0，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．銳角三角形 D．不確定【分析】由a2+b2﹣2ab＝0，可得出a＝b，結(jié)合a，b是△ABC的兩條邊長，即可得出△ABC為等腰三角形．【解答】解：∵a2+b2﹣2ab＝0，即（a﹣b）2＝0，∴a﹣b＝0，∴a＝b．又∵a，b是△ABC的兩條邊長，∴△ABC為等腰三角形．故選：A．【點評】本題考查了等腰三角形的判定以及偶次方的非負性，利用偶次方的非負性，找出三角形的兩邊相等是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共3小題）7．如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點O，MN經(jīng)過點O，且MN∥BC，分別交AB、AC于點M、N．若BM＝3cm，MN＝5cm，則CN＝2cm．【分析】根據(jù)BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC，結(jié)合等腰三角形的判定可證得MO＝MC，NO＝NB，于是得到MN＝BM+CN，進而求出CN．【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠OBC＝∠MOB，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，∴BM＝MO，ON＝CN，∴MN＝MO+ON，即MN＝BM+CN，∵BM＝3cm，MN＝5cm，∴CN＝MN﹣BM＝5﹣3＝2（cm），故答案為：2．【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的定義即平行線的性質(zhì)證得MO＝MC，NO＝NB是解決問題的關(guān)鍵．8．如圖，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分別是△ABC的兩外角的平分線，下列結(jié)論中：①CP⊥CD；②∠P=12∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°-12∠A；⑤PD∥AC．其中正確的結(jié)論是【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠PCB=12∠ACB，∠BCD=12∠BCF，根據(jù)垂直的定義得到CP⊥CD；故①正確；延長CB，根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)得到∠P=12∠A，故②正確；根據(jù)平行線的判定定理得到AB∥CD，推出△ABC是等邊三角形，而△ABC中，∠A＝∠ACB，于是得到假設(shè)不成立，故③錯誤；根據(jù)角平分線的定義得到∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，推出∠ABC＝180°﹣2∠DBC，∠ACB＝180°﹣2∠DCB，求得∠D＝90°-12∠A，故④正確；根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠EBC＝∠A+∠ACB，∠A＝∠ACB，求得∠EBD【解答】解：∵CP平分∠ACB，CD平分∠BCF，∴∠PCB=12∠ACB，∠BCD∵∠ACB+∠BCF＝180°，∴∠PCD＝∠PCB+∠BCD=12∠ACB+12∠BCF=12（∴CP⊥CD；故①正確；延長CB，∵BD平分∠CBE，∠CBE＝∠ABH，∴BP平分∠ABH，∴∠PBH＝∠BCP+∠P，∵∠A+2∠PCB＝2∠PBH，∴∠A+2∠PCB＝2∠BCP+2∠P，∴∠A＝2∠P，即：∠P=12∠A，故假設(shè)BC＝CD，∴∠CBD＝∠D，∵∠EBD＝∠CBD，∴∠EBD＝∠D，∴AB∥CD，∴∠DCF＝∠A，∵∠ACB＝∠A，CD平分∠BCF，∴∠ACB＝∠BCD＝∠DCF，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ABC是等邊三角形，而△ABC中，∠A＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形，∴假設(shè)不成立，故③錯誤；∵BD、CD分別是△ABC的兩個外角∠EBC、∠FCB的平分線，∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，∴∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∴∠A+∠A