第05講平行線中的翻折問題解題技巧-2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊?？键c（數(shù)學(xué)思想解題技巧專項突破精準(zhǔn)提升）

第05講平行線中的翻折問題解題技巧（解析版）專題解讀：平行線中的翻折問題主要是求角的度數(shù)。關(guān)鍵是根據(jù)翻折的性質(zhì)，翻折前后兩個圖形重合，得到相應(yīng)的角相等。注意利用平行線的性質(zhì)，并結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想，方程思想的應(yīng)用。一些題目還要注意分類討論。第一部分專題典例分析+針對訓(xùn)練類型一翻折一次典例1（2021春?工業(yè)園區(qū)校級月考）如圖，將一張長方形的紙片沿折痕EF翻折，使點C、D分別落在點M、N的位置，且∠BFM=12∠EFM，則∠A．45° B．36° C．72° D．18°思路引領(lǐng)：由折疊的性質(zhì)可得：∠MFE＝∠EFC，又由∠BFM=12∠EFM，可設(shè)∠MFB＝x°，然后根據(jù)平角的定義，即可得方程：x+2x+2解：設(shè)∠MFB＝x°，則∠MFE＝∠CFE＝2x°，∵x+2x+2x＝180，∴x＝36，∴∠MFE＝72°＝∠CFE，∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE＝72°，又∵NE∥MF，∴∠AEN＝180°﹣72°﹣72°＝36°．故選：B．點睛：此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及平角的定義，解題的關(guān)鍵是注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．解題時注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．典例2（2019春?秦都區(qū)校級期中）如圖，將長方形ABCD沿EF翻折，使得點D落在AB邊上的點G處，點C落在點H處，若∠1＝32°，則∠2＝（）A．112° B．110° C．108° D．106°思路引領(lǐng)：根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，可以得到∠3的度數(shù)和∠2+∠3﹣180°，從而可以得到∠2的度數(shù)．解：由題意可得，∠3＝∠4，∵∠1＝32°，∠1+∠3+∠4＝180°，∴∠3＝∠4＝74°，∵AD∥BC，∴∠3+∠2＝180°，∴∠2＝106°，故選：D．點睛：本題考查平行線的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．典例3如圖1，AB∥CD，E是AB、CD之間的一點．（1）判定∠BAE，∠CDE與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，若∠BAE、∠CDE的兩條平分線交于點F．直接寫出∠AFD與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系；（3）將圖2中的射線DC沿DE翻折交AF于點G得圖3，若∠AGD的余角等于2∠E的補角，求∠BAE的大?。悸芬I(lǐng)：（1）作EF∥AB，如圖1，則EF∥CD，利用平行線的性質(zhì)得∠1＝∠BAE，∠2＝∠CDE，從而得到∠BAE+∠CDE＝∠AED；（2）如圖2，由（1）的結(jié)論得∠AFD＝∠BAF+∠CDF，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAF=12∠BAE，∠CDF=12∠CDE，則∠AFD=12（∠BAE+∠CDE（3）由（1）的結(jié)論得∠AGD＝∠BAF+∠CDG，利用折疊性質(zhì)得∠CDG＝4∠CDF，再利用等量代換得到∠AGD＝2∠AED?32∠BAE，加上90°﹣∠AGD＝180°﹣2∠AED，從而可計算出∠解：（1）∠BAE+∠CDE＝∠AED．理由如下：作EF∥AB，如圖1，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠CDE，∴∠BAE+∠CDE＝∠AED；（2）如圖2，由（1）的結(jié)論得∠AFD＝∠BAF+∠CDF，∵∠BAE、∠CDE的兩條平分線交于點F，∴∠BAF=12∠BAE，∠CDF=1∴∠AFD=12（∠BAE+∠∵∠BAE+∠CDE＝∠AED，∴∠AFD=12∠（3）由（1）的結(jié)論得∠AGD＝∠BAF+∠CDG，而射線DC沿DE翻折交AF于點G，∴∠CDG＝4∠CDF，∴∠AGD＝∠BAF+4∠CDF=12∠BAE+2∠CDE=12∠BAE+2（∠AED﹣∠BAE）＝2∠AED∵90°﹣∠AGD＝180°﹣2∠AED，∴90°﹣2∠AED+32∠BAE＝180°﹣2∠∴∠BAE＝60°．點睛：本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．針對訓(xùn)練11．如圖所示，把一個長方形紙片沿折疊后，點，分別落在，的位置．若，則等于A． B． C． D．答案：C2．如圖，將一張長方形紙條沿折疊后，與交于點．若，則的度數(shù)為A． B． C． D．答案：C3．如圖，紙片，，點、分別在、上，沿折疊紙片，點、分別與點、對應(yīng)．如果在翻折之后測量得，則．答案：110°4．如圖，將紙片ABCD沿PR翻折得到△PC′R，恰好C′P∥AB，C′R∥AD．若∠B＝120°，∠D＝50°，則∠C＝度．思路引領(lǐng)：根據(jù)折疊得出∠CRP＝∠C′RP，∠CPR＝∠C′PR，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠C′RC＝∠D＝50°，∠C′PC＝∠B＝120°，求出∠CRP＝∠C′RP＝25°，∠CPR＝∠C′PR＝60°，即可得出答案．解：∵將紙片ABCD沿PR翻折得到△PC′R，∴∠CRP＝∠C′RP，∠CPR＝∠C′PR，∵C′P∥AB，C′R∥AD，∠B＝120°，∠D＝50°，∴∠C′RC＝∠D＝50°，∠C′PC＝∠B＝120°，∴∠CRP＝∠C′RP＝25°，∠CPR＝∠C′PR＝60°，∴∠C＝180°﹣∠CRP﹣∠CPR＝95°，故答案為：95．點睛：本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，能正確運用性質(zhì)和定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．5．（2021春?汝陽縣期末）如圖，△ABC中，DE∥BC，將△ADE沿DE翻折，使得點A落在平面內(nèi)的A′處，若∠B＝40°，則∠BDA′的度數(shù)是．思路引領(lǐng)：根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠ADE與∠B的關(guān)系，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得△ADE與△A′DE的關(guān)系，根據(jù)角的和差，可得答案．解：DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝40°．△ADE沿DE翻折，使得點A落在平面內(nèi)的A′處，∴∠A′DE＝∠ADE＝40°．由角的和差，得∠BDA′＝180°﹣∠A′DE﹣∠ADE＝180°﹣40°﹣40°＝100°．故答案為：100°．點睛：本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊問題，折疊得到的圖形與原圖形全等是解題關(guān)鍵．類型二翻折兩次或多次典例4（2021春?萬州區(qū)期末）圖①為長方形紙帶，將長方形紙帶的CD端沿EF折疊成圖②，C點折至C'、D點折至D'，（1）若∠DEF＝20°，則圖②中∠C'FH的度數(shù)是多少？（2）將紙帶的C′D′端沿HF折疊成圖③，C'點折至C''，D'點折至D''，若∠DEF＝β（0°＜β＜90°），用β表示∠C''FE．思路引領(lǐng)：（1）因為長方形的對邊是平行的，所以∠BFE＝∠DEF＝20°；在梯形EFC′D′中，∠HEF+∠EFC′+ED′C′+∠D′C′F＝360°，∠C′FH＝180°﹣20°﹣20°＝140°；（2）由（1）的規(guī)律可以得到結(jié)果．解：（1）∵長方形的對邊是平行的，∴∠BFE＝∠DEF＝20°，由對折可知：∠FEH＝∠DEF＝20°，在梯形EFC′D′中，∠HEF+∠EFC′+ED′C′+∠D′C′F＝360°，∴∠C′FH＝180°﹣20°﹣20°＝140°；（2）與（1）同理，∠EFH＝β，∠HFC′＝180°﹣2β，則∠C″FH＝∠C″FE+∠EFH，∴∠C″FE＝∠C″FH﹣∠EFH＝180°﹣2β﹣β＝180°﹣3β．點睛：本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．針對練習(xí)26．如圖1是長方形紙帶，將紙帶沿折疊成圖2，再沿折疊成圖3．若，則圖3中度數(shù)是A． B． C． D．答案：A7．如圖（1）所示為長方形紙帶，將紙帶第一次沿折疊成圖（2），再第二次沿折疊成圖（3），繼續(xù)第三次沿折疊成圖（4），按此操作，最后一次折疊后恰好完全蓋住，整個過程共折疊了11次，問圖（1）中的度數(shù)是A． B． C． D．答案：D8．（2021秋?臨海市期末）如圖1，將長方形紙片ABCD沿著MN翻折，使得點B，C分別落在點E，F(xiàn)位置．如圖2，在第一次翻折的基礎(chǔ)上再次將紙片沿著MP翻折，使得點N恰好落在ME延長線上的點Q處．（1）若∠BMN＝70°，求∠AME的度數(shù)．（2）若∠PMQ＝α，試用含α的式子表示∠AMQ，并說明理由．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得：∠EMN＝∠BMN＝70°，再運用平角的定義即可求得答案；（2）由翻折可得：∠PMN＝∠PMQ＝α，∠BMN＝∠NMQ＝2α，再運用平角的定義即可求得答案．解：（1）如圖1，∵將長方形紙片ABCD沿著MN翻折，使得點B，C分別落在點E，F(xiàn)位置，∴∠EMN＝∠BMN＝70°，∴∠AME＝180°﹣（∠EMN+∠BMN）＝180°﹣（70°+70°）＝40°；（2）∠AMQ＝180°﹣4α．理由如下：如圖2，∵將△PMN沿著PM翻折，使得點N恰好落在ME延長線上的點Q處，∴∠PMN＝∠PMQ＝α，∴∠BMN＝∠NMQ＝2α，∴∠AMQ＝180°﹣（∠BMN+∠NMQ）＝180°﹣（2α+2α）＝180°﹣4α．點睛：本題考查了幾何變換﹣翻折的性質(zhì)，平角定義的應(yīng)用等，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．類型三因翻折的不確定性引發(fā)的分類討論典例5如圖，長方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的兩個角相差18°，則圖中∠1的度數(shù)為（）A．72°或48° B．72°或36° C．36°或54° D．72°或54°思路引領(lǐng)：設(shè)∠FCD'＝α，則∠BCE＝α+18°或α﹣18°，分兩種情況進行討論：①當(dāng)∠BCE＝α+18°時，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，②當(dāng)∠BCE＝α﹣18°時，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，分別根據(jù)∠BCD＝90°列式計算即可．解：如圖，設(shè)∠FCD'＝α，則∠BCE＝α+18°或α﹣18°，①當(dāng)∠BCE＝α+18°時，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α+18°+2α+18°＝90°，解得α＝18°，∴∠CFD'＝90°﹣18°＝72°＝∠1；②當(dāng)∠BCE＝α﹣18°時，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α﹣18°+2α﹣18°＝90°，解得α＝42°，∴∠CFD'＝90°﹣42°＝48°＝∠1；綜上所述，圖中∠1的度數(shù)為72°或48°，故選：A．點睛：本題主要考查了折疊問題，解題時注意：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．針對訓(xùn)練39．（2021春?奉化區(qū)校級期末）如圖，長方形ABCD中，AD＞AB．E，F(xiàn)分別是AD，BC上不在中點的任意兩點，連接EF，將長方形ABCD沿EF翻折，當(dāng)不重疊（陰影）部分均為長方形時，所有滿足條件的∠BFE的度數(shù)為度．思路引領(lǐng)：如圖分兩種情形分別求解即可解決問題．解：有兩種情形：如圖1中，滿足條件的∠BFE＝135°如圖2中，滿足條件的∠BFE＝45°，綜上所述，滿足條件的∠BFE的值為135°或45°．故答案為135°或45°．第二部分專題提優(yōu)訓(xùn)練1．將一個長方形紙片按如圖所示折疊，若，則的度數(shù)是A． B． C． D．答案:A2．如圖，為一長條形紙帶，，將沿折疊，、兩點分別與、對應(yīng)，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．答案：C3．如圖，把一張兩邊分別平行的紙條折成如圖所示，為折痕，交于點，且，則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的個數(shù)有A．4個 B．3個 C．2個 D．1個答案：A4．（2020春?長嶺縣期末）如圖，四邊形ABCD中，點M，N分別在AB，BC上，將△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，則∠B的度數(shù)是（）A．80° B．100° C．90° D．95°思路引領(lǐng)：根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠BMF、∠BNF，再根據(jù)翻折的性質(zhì)求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解．解：∵MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，∴∠BMF＝∠A＝100°，∠BNF＝∠C＝70°，∵△BMN沿MN翻折得△FMN，∴∠BMN=12∠BMF∠BNM=12∠BNF在△BMN中，∠B＝180°﹣（∠BMN+∠BNM）＝180°﹣（50°+35°）＝180°﹣85°＝95°；故選：D．點睛：本題考查了平行線的性質(zhì)，用到的知識點是兩直線平行，同位角相等的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．5．（2016秋?新區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，E為AD中點，將點D繞著CE翻折到點D’處，連接BE，記∠AED’＝α，∠ABE＝β，則α與β之間的數(shù)量關(guān)系為（）A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°思路引領(lǐng)：直接利用平行線的性質(zhì)結(jié)合翻折變換的性質(zhì)得出△BAE≌△CDE（SAS），進而利用直角三角形的性質(zhì)得出答案．解：∵E為AD中點，∴AE＝ED，在△BAE和△CDE中∵AB=DC∠A=∠D∴△BAE≌△CDE（SAS），∴∠ABE＝∠ECD，∵將點D繞著CE翻折到點D′處，∴∠ECD＝∠D′CE，∠D′EC＝∠DEC，∵∠AED′＝α，∠ABE＝β，∴∠ECD＝β，∴∠DEC＝∠D′EC＝90°﹣β，∴∠DED′＝180°﹣2β，∵∠AED′＝180°﹣（180°﹣2β）＝α，∴α＝2β．故選：B．點睛：此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確得出△BAE≌△CDE（SAS）是解題關(guān)鍵．6．把一張對邊互相平行的紙條折成如圖那樣，是折痕，若，則的度數(shù)為．答案：64°7．如圖，將一張長方形紙條沿折疊，點，分別折疊至點，，若，則度數(shù)為．答案：115°8．如圖，有一條直的寬紙帶，按圖折疊，則的度數(shù)等于．答案：75°9．（2020春?昌圖縣期末）如圖，將長方形紙片ABCD沿EF翻折后，點C，D分別落在C'，D'的位置，若∠1＝75°，則∠2的度數(shù)為．思路引領(lǐng)：直接利用平行線的性質(zhì)得出∠DEF＝75°，再利用翻折變換的性質(zhì)得出答案．解：∵AD∥BC，∴∠1＝∠DEF＝75°，則∠D′EF＝75°，∴∠2＝180°﹣75°﹣75°＝30°．故答案為：30°．點睛：此題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確得出∠DEF的度數(shù)是解題關(guān)鍵．10．（2021春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，將一張長方形的紙片沿折痕EF翻折，使點B、C分別落在點M、N的位置，且∠AFM=12∠EFM，則∠NED＝思路引領(lǐng)：由折疊的性質(zhì)可得：∠MFE＝∠EFC，得2∠MFA＝∠MFE，可設(shè)∠MFA＝x°，然后根據(jù)平角的定義，即可得方程：x+2x+2x＝180，解此方程即可求得答案．解：折疊的性質(zhì)可得：∠MFE＝∠EFC，∴2∠MFA＝∠MFE，設(shè)∠MFA＝x°，則∠MFE＝∠CFE＝2x°，∵x+2x+2x＝180，∴x＝36，∴∠MFE＝72°＝∠BFE，∵AB∥CD，∴∠DEF＝∠BFE＝72°，又∵NE∥MF，∴∠DEN＝180°﹣72°﹣72°＝36°．故答案為：36．點睛：此題考查了折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．解題時注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．11．（2019秋?張家港市期末）如圖，將一張長方形的紙片沿折痕EF翻折，使點C、D分別落在點M、N的位置，且∠BFM=12∠EFM，則∠AEN的度數(shù)為思路引領(lǐng)：由折疊的性質(zhì)可得：∠MFE＝∠EFC，又由∠BFM=12∠EFM，可設(shè)∠MFB＝x°，然后根據(jù)平角的定義，即可得方程：x+2x+2解：設(shè)∠MFB＝x°，則∠MFE＝∠CFE＝2x°，∵x+2x+2x＝180，∴x＝36，∴∠MFE＝72°＝∠CFE，∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE＝72°，又∵NE∥MF，∴∠AEN＝180°﹣72°﹣72°＝36°．故答案為：36°．點睛：此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及平角的定義，解題的關(guān)鍵是注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．解題時注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．12．（2018秋?南京期末）如圖，將一張長方形的紙片沿折痕翻折，使點C、D分別落在點M，N的位置，若∠BFM=12∠EFM，則∠BFE＝思路引領(lǐng)：由折疊的性質(zhì)可得：∠MFE＝∠EFC，又由∠BFM=12∠EFM，可設(shè)∠BFM＝x°，然后根據(jù)平角的定義，即可得方程：x+2x+2解：由折疊的性質(zhì)可得：∠MFE＝∠EFC，∵∠BFM=12∠EFM，可設(shè)∠BFM＝x°，則∠MFE＝∠EFC＝2∵∠MFB+∠MFE+∠EFC＝180°，∴x+2x+2x＝180，解得：x＝36°，∴∠BFM＝36°．∴∠EFM＝2∠BFM＝72°，∴∠BFE＝36°+72°＝108°，故答案為：108°．點睛：此題考查了折疊的性質(zhì)與平角的定義．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．如圖，將長方形紙片ABCD沿EF翻折，使點C落在點C處，若∠BEC′＝28°，則∠D′GF的度數(shù)為．思路引領(lǐng)：根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答即可．解：∵將長方形紙片ABCD沿EF翻折，∴∠C'EF＝∠FEC，∠D'FE＝∠EFD，∵∠BEC′＝28°，∴∠FEC＝76°，∵AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC＝76°，∴∠DFE＝180°﹣76°＝104°，∴∠D'FG＝104°﹣76°＝28°，∴∠D'GF＝90°﹣28°＝62°故答案為：62°點睛：此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答．如圖，紙片ABCD，AD∥BC，點M、N分別在AD、BC上，沿MN折疊紙片，點C′、D′分別與點C、D對應(yīng)．如果在翻折之后測量得∠C′NC＝140°，則∠AMN＝．思路引領(lǐng)：根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠MNC＝∠MNC'，利用平行線的性質(zhì)解答即可．解：由折疊可得：∠MNC＝∠MNC'，∵∠C′NC＝140°，∴∠MNC=1∵AD∥BC，∴∠AMN＝∠MNC＝110°，當(dāng)向上翻折時，∠AMN＝70°，故答案為：110°或70°點睛：此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠MNC＝∠MNC'．15．如圖，將一張長方形的紙片沿折痕EF翻折，