第14單元03鞏固練

第十四單元整式乘法與因式分解（單元測(cè)）一、選擇題（共30分，每個(gè)題3分）1.下列運(yùn)算正確的是（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算法則、冪的乘方運(yùn)算法則、合并同類項(xiàng)法則分別判斷得出答案．【詳解】解：A．，故此選項(xiàng)符合題意；B．，故此選項(xiàng)不合題意；C．，故此選項(xiàng)不合題意；D．，故此選項(xiàng)不合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算、冪的乘方運(yùn)算、合并同類項(xiàng)，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．2.下列算式中，結(jié)果等于的是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪的乘方和積的乘方，合并同類項(xiàng)的方法，以及同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算方法，逐項(xiàng)判定即可．【詳解】解：∵，∴選項(xiàng)A不符合題意；∵6，∴選項(xiàng)B符合題意；∵，∴選項(xiàng)C不符合題意；∵，∴選項(xiàng)D不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了冪的乘方和積的乘方，合并同類項(xiàng)的方法，以及同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①(m，n是正整數(shù))；②(n是正整數(shù))．3.將正方形與正方形如圖所示放置，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，若長(zhǎng)方形的面積為24，且，則圖中陰影部分的面積為（）A.25 B.24 C.20 D.18【答案】C【解析】【分析】設(shè)正方形與正方形的邊長(zhǎng)分別為a，b，則陰影部分的面積為，，，結(jié)合完全平方公式，求得，得，所以．【詳解】解：設(shè)正方形與正方形的邊長(zhǎng)分別為a，b，則陰影部分的面積為，，∴∴∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式、完全平方公式，掌握公式的特征是解題的關(guān)鍵．4.下列因式分解正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用完全平方公式判斷即可．【詳解】解：A、，故錯(cuò)誤，不合題意；B、無(wú)法分解，故錯(cuò)誤，不合題意；C、無(wú)法分解，故錯(cuò)誤，不合題意；D、，故正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．5.若x滿足，則（）A.0.25 B.0.5 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)完全平方公式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∵．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握完全平方公式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法法則是解決本題的關(guān)鍵．6.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、簡(jiǎn)潔化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)．在學(xué)習(xí)整式運(yùn)算乘法公式的過(guò)程中，每個(gè)公式的推導(dǎo)教材都安排了運(yùn)用圖形面積加以驗(yàn)證．下列圖形中能驗(yàn)證的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別用含、的式子表示出對(duì)應(yīng)選項(xiàng)圖形中的面積即可得到答案．【詳解】解：A．大正方形面積為，小正方形面積為，大正方形減去小正方形的面積為，兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和為，可以驗(yàn)證，故A選項(xiàng)符合題意；B．最大的正方形面積為，兩個(gè)較小的正方形面積分別為、，兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和為，不能驗(yàn)證，故B選項(xiàng)不符合題意；C．最大的正方形面積為，兩個(gè)較小的正方形面積分別為、，兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和為，不能驗(yàn)證，故C選項(xiàng)不符合題意；D．大正方形的面積為，小正方形的面積為，四個(gè)長(zhǎng)方形的面積為，不能驗(yàn)證，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式與幾何圖形的應(yīng)用，正確表示出對(duì)應(yīng)選項(xiàng)圖形中各部分的面積是解題的關(guān)鍵．7.小明在抄因式分解的題目時(shí)，不小心漏抄了的指數(shù)，他只知道該數(shù)為不大于10的正整數(shù)，并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作業(yè)本上的式子是，則這個(gè)指數(shù)的可能結(jié)果共有（）A.2種 B.3種 C.4種 D.5種【答案】D【解析】【分析】能利用平方差公式分解因式，說(shuō)明漏掉的是平方項(xiàng)的指數(shù)，只能是偶數(shù)，又只知道該數(shù)為不大于10的正整數(shù)，則該指數(shù)可能是2、4、6、8、10五個(gè)數(shù)．【詳解】解：∵當(dāng)這個(gè)指數(shù)是偶次方時(shí)，這個(gè)多項(xiàng)式能利用平方差公式因式分解，又因?yàn)樵撝笖?shù)為不大于10的正整數(shù)，∴該指數(shù)可能是2、4、6、8、10五個(gè)數(shù)．

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解運(yùn)用公式法．能熟練掌握平方差公式的特點(diǎn)，是解答這道題的關(guān)鍵，還要知道不大于就是小于或等于．8.已知a、b、c分別為三角形的三條邊，則的值（）A.可能為零 B.一定為負(fù)數(shù) C.一定為正數(shù) D.無(wú)法確定【答案】B【解析】【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，結(jié)合平方差公式即可求解．【詳解】解：∵a、b、c分別為三角形的三條邊，∴，，∴．∵，∴，即的值一定為負(fù)數(shù)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系．掌握平方差公式及三角形三邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9.如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“幸福數(shù)”，如，．因此24和56都是“幸福數(shù)”，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.最小的“幸福數(shù)”是8 B.520是“幸福數(shù)”C.“幸福數(shù)”一定是4的偶數(shù)倍 D.30以內(nèi)的所有“幸福數(shù)”之和是49【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，列出代數(shù)式計(jì)算可得幸福數(shù)是8的倍數(shù)，逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為和（其中取正整數(shù)），根據(jù)題意可得：，∴幸福數(shù)是8的倍數(shù)，∵是正整數(shù)，∴最小為1，∴最小的“幸福數(shù)”是；故A選項(xiàng)說(shuō)法正確；∵，即是8的倍數(shù)，∴520是“幸福數(shù)”；故B選項(xiàng)說(shuō)法正確；∵8是4的偶數(shù)倍，且幸福數(shù)是8的倍數(shù)，∴“幸福數(shù)”是4的偶數(shù)倍；故C選項(xiàng)說(shuō)法正確；當(dāng)時(shí)，幸福數(shù)是8，當(dāng)時(shí)，幸福數(shù)是16，當(dāng)時(shí)，幸福數(shù)是24，∴30以內(nèi)的所有“幸福數(shù)”之和是，故D選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用因式分解的知識(shí)解答．10.已知，且，則的值為（

）A.2022 B.2022 C.4044 D.4044【答案】A【解析】【分析】先將式子整理變形得，進(jìn)而得出，即，再將展開(kāi)，最后整理代入即可得出答案．【詳解】因?yàn)?，所以，整理，得，則，即．因?yàn)椋?，即．由，得，所以．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，掌握整體代入思想是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共15分，每個(gè)題3分）11.我們把形如的式子叫做二階行列式，它的運(yùn)算法則用公式表示為，例如：，當(dāng)時(shí)．則的值為_(kāi)_____．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)所給的運(yùn)算法則，先列方程，再解方程即可．【詳解】解：∵，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，一元一次方程的解法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．12.若，則_______．【答案】1【解析】【分析】逆用同底數(shù)冪的除法，得到，再利用冪的乘方計(jì)算即可求解．詳解】解：∵，∴，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．13.若關(guān)于x的多項(xiàng)式不存在含x的一次項(xiàng)和三次項(xiàng)，則_____．【答案】【解析】【分析】先確定三次項(xiàng)及一次項(xiàng)的系數(shù)，再令其為0即可得到a、b的值，再根據(jù)代數(shù)式求值，可得答案．【詳解】解：，∵多項(xiàng)式不存在含x的一次項(xiàng)和三次項(xiàng)，∴，解得，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式，掌握合并同類項(xiàng)法則是關(guān)鍵．14.如圖，利用圖形面積可以解釋代數(shù)恒等式的正確性．根據(jù)圖形，寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式______．【答案】【解析】【分析】用代數(shù)式表示各個(gè)部分的面積，再根據(jù)各個(gè)部分面積之間的關(guān)系進(jìn)行解答即可．【詳解】解：大正方形的邊長(zhǎng)為，因此面積為，中間小正方形的邊長(zhǎng)為，因此面積為，陰影部分是個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形組成的，因此面積為，所以有．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提，用代數(shù)式表示各個(gè)部分的面積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．15.觀察“楊輝三角”給出了展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律，下列說(shuō)法正確的是______．①“楊輝三角”第六排數(shù)字依次是：，，，，，；②當(dāng)，時(shí)，代數(shù)式的值為；③展開(kāi)式第項(xiàng)的系數(shù)是；④展開(kāi)式中所有系數(shù)之和為．【答案】①③④【解析】【分析】觀察“楊輝三角”的特點(diǎn)，找到系數(shù)間的規(guī)律，再求解．【詳解】解：①“楊輝三角”第六排數(shù)字依次是：，，，，，，故①是正確的；②當(dāng)，時(shí)，代數(shù)式，故②是錯(cuò)誤的；③展開(kāi)式第項(xiàng)的系數(shù)是，故③是正確的；④展開(kāi)式中所有系數(shù)之和為，故④是正確的；故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，找到展開(kāi)式的系數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共55分）16.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【答案】，【解析】【分析】根據(jù)，，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行展開(kāi)，再加減運(yùn)算，代值計(jì)算即可．【詳解】解：原式．當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，完全平方公式、平方差公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，掌握公式及法則是解題的關(guān)鍵．17.發(fā)現(xiàn)兩個(gè)已知正整數(shù)之和與這兩個(gè)正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和．驗(yàn)證：如，為偶數(shù)，請(qǐng)把10的一半表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和．探究：設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個(gè)已知正整數(shù)為m，n，請(qǐng)論證“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論正確．【答案】驗(yàn)證：；論證見(jiàn)解析【解析】【分析】通過(guò)觀察分析驗(yàn)證10的一半為5，；將m和n代入發(fā)現(xiàn)中驗(yàn)證即可證明．【詳解】證明：驗(yàn)證：10的一半為5，；設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個(gè)已知正整數(shù)為m，n，∴，其中為偶數(shù)，且其一半正好是兩個(gè)正整數(shù)m和n的平方和，∴“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論正確．【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式，根據(jù)題目要求列出代數(shù)式是解答本題的關(guān)鍵．18.因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多項(xiàng)式無(wú)法直接使用上述方法分解，如，我們可以把它先分組再分解：，這種方法叫做分組分解法．請(qǐng)解決下列問(wèn)題：（1）分解因式：；（2）已知a，b，c是的三邊，且滿足，請(qǐng)判斷的形狀，并說(shuō)明理由，【答案】（1）（2）是等腰三角形，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題干中的方法進(jìn)行分組分解因式即可；（2）利用分組法分解因式，然后得出，即可判斷三角形的形狀．【小問(wèn)1詳解】；【小問(wèn)2詳解】是等腰三角形．理由如下：，，，，是的三邊，，，，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查分組分解因式及提公因式與公式法分解因式，等腰三角形的定義等，理解題意，深刻理解題干中的分組分解法是解題關(guān)鍵．19.今年的里約奧運(yùn)會(huì)，為了體現(xiàn)“零碳奧運(yùn)”的精神，一座神奇的太陽(yáng)能建筑被設(shè)計(jì)出來(lái)！創(chuàng)新的太陽(yáng)能瀑布塔位于Cotonduba島上，它海拔高度米，白天依靠太陽(yáng)能水泵將海水抽至頂部，而到了夜間則將海水從頂部放下帶動(dòng)渦輪旋轉(zhuǎn)，從而產(chǎn)生能量供電，有效地利用了能源（如圖、圖所示）．假設(shè)圖中的每一塊太陽(yáng)能電板可以看成圖中的陰影部分（如圖所示），圖由長(zhǎng)方形和正方形組成，其中，，．（1）用，表示三角形的面積；（2）用，表示一塊太陽(yáng)能電板的面積；（3）如果米，米，則此時(shí)一塊太陽(yáng)能電板的面積是多少？【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】根據(jù)三角形面積公式，長(zhǎng)方形面積公式，正方形面積公式即可求出答案；【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】．【小問(wèn)3詳解】當(dāng)，時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式，涉及整式混合運(yùn)算，以及代入求值問(wèn)題．20.觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，……按照以上規(guī)律．解決下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出第5個(gè)等式：________；（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．【答案】（1）（2），證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）觀察第1至第4個(gè)等式中相同位置的數(shù)的變化規(guī)律即可解答；（2）觀察相同位置的數(shù)變化規(guī)律可以得出第n個(gè)等式為，利用完全平方公式和平方差公式對(duì)等式左右兩邊變形即可證明．【小問(wèn)1詳解】解：觀察第1至第4個(gè)等式中相同位置數(shù)的變化規(guī)律，可知第5個(gè)等式為：，故答案為：；【小問(wèn)2詳解】解：第n個(gè)等式為，證明如下：等式左邊：，等式右邊：，故等式成立．【點(diǎn)睛】本題考查整式規(guī)律探索，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)的規(guī)律并熟練運(yùn)用完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵．21.觀察下列各式．…請(qǐng)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律完成下列各題：（1）根據(jù)規(guī)律可得______；（其中為正整數(shù)）（2）計(jì)算：．（結(jié)果保留冪的形式）（3）計(jì)算：．（結(jié)果保留冪的形式）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）觀察所給式子的特點(diǎn)，等號(hào)右邊的指數(shù)比等號(hào)左邊的最高指數(shù)大，然后寫(xiě)出即可；（2）根據(jù)所給式子的規(guī)律，把x換為3即可，（3）配成上述結(jié)構(gòu)式子，利用總結(jié)規(guī)律直接寫(xiě)出結(jié)果；【小問(wèn)1詳解】解：觀察已知可得，故答案為：；【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)（1）可知，；【小問(wèn)3詳解】解：原式變形為：．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的規(guī)律題，要讀懂題目信息并總結(jié)出規(guī)律，具有規(guī)律性是特殊式子的因式分解，解題的關(guān)鍵是找出所給范例展示的規(guī)律．22.閱讀下列材料：“”這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)中非常有用，有時(shí)我們需要將代數(shù)式配成完全平方式．例如：，∵，∴．∴．∴的最小值為1．試?yán)谩芭浞椒ā苯鉀Q下列問(wèn)題：（1）求的最小值；（2）已知，求的值；（3）比較代數(shù)式與的大?。敬鸢浮浚?）（2）1（3）【解析】【分析】（1）將所給式子利用配方法變形，仿照題干可得結(jié)果；（2）將已知等式變形為，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得x，y的值，代入計(jì)算即可；（3）將兩式相減，將結(jié)果配方，即可得解．【小問(wèn)1詳解】解：，∴的最小值為．【小問(wèn)2詳解】∵，∴，∴，∴，，∴，，∴；【小問(wèn)3詳解】∴．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式的應(yīng)用，涉及到求最值，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，整式的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握完全平方式的應(yīng)用．23.若一個(gè)四位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和恰好是去掉個(gè)位與十位數(shù)字后得到的兩位數(shù)，則這個(gè)四位數(shù)為“勾股和數(shù)”．例如：，∵，∴2543是“勾股和數(shù)”；又如：，∵，，∴4325不是“勾股和數(shù)”．（1）判斷2022，5055是否是“勾股和數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）一個(gè)“勾股和數(shù)”的千位數(shù)字為，百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，記，．當(dāng)，均是整數(shù)時(shí)，求出所有滿足條件的．【答案】（1）2022不是“勾股和數(shù)”，5055是“勾股和數(shù)”；理由見(jiàn)解析（2）8109或8190或4536或4563．【解析】【分析】（1）根據(jù)“勾股和數(shù)”的定義進(jìn)行驗(yàn)證即可；（2）由“勾股和數(shù)”的定義可得，根據(jù)，均是整數(shù)可得，為3的倍數(shù)，據(jù)此得出符合條件的c，d的值，然后即可確定出M．【小問(wèn)1詳解】解：2022不是“勾股和數(shù)”，5055是“勾股和數(shù)”；理由：∵，，∴1022不是“勾股和數(shù)”；∵，∴5055是“勾股和數(shù)”；【小問(wèn)2詳解】∵為“勾股和數(shù)”，∴，∴，∵為整數(shù)，∴，∵為整數(shù)，∴為3的倍數(shù)，∴①，或，，此時(shí)或8190；②，或，，此時(shí)或4563，綜上，M的值為8109或8190或4536或4563．【點(diǎn)睛】本題以新定義為背景考查了整式混合運(yùn)算的應(yīng)用以及學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力，解題關(guān)鍵是要理解新定義，能根據(jù)條件找出合適的“勾股和數(shù)”．24.如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形．（1）通過(guò)計(jì)算兩個(gè)圖形的面積陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的等式是______；請(qǐng)選擇正確的一個(gè)A.B.C.D.（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知，，求值．②計(jì)算：【答案】（1）B（2）①3；②【解析】【分析】（1）分別表示左圖和右圖中陰影部分的面積，根據(jù)面積相等得出結(jié)論；（2）由（1）中規(guī)律，利用平方差公式整體代入即可解得；通過(guò)觀察，此題數(shù)字具有一定規(guī)律，可用運(yùn)算定律把原式變?yōu)椋海龠\(yùn)用平方差公式，解決問(wèn)題．【小問(wèn)1詳解】解：左圖中，陰影部分為正方形，面積為：，右圖陰影是拼成的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)是：，寬是：，所以右圖陰影部分面積為：，由于左右兩圖面積相等，所以有：，故答案為：B．【小問(wèn)2詳解】解：由（1）中規(guī)律，利用平方差公式可得：，，，．故答案為：．通過(guò)觀察，此題數(shù)字具有一定規(guī)律，可用運(yùn)算定律將原式寫(xiě)成：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差的幾何背景和應(yīng)用，代數(shù)式求值，有理數(shù)混合運(yùn)算及數(shù)式規(guī)律問(wèn)題，利用平方差公式將代數(shù)式變形是關(guān)鍵．25.配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成（、是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?，所?是“完美數(shù)”．（1）簡(jiǎn)單應(yīng)用：已知41是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫(xiě)成（a、b是整數(shù)）的形式；若可配方成（m、n為常數(shù)），則；（2）深入探究：已知，則；（3）靈活運(yùn)用：已知（，y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值，并說(shuō)明理由．【答案】（1），（2）1（3）13，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）把41分為兩個(gè)整數(shù)的平方即可，原式利用完全平方公式配方后，確定出與的值，即可求出的值；（2）先利用完全平方公式將已知等式配方，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出與的值，最后求出的值即可；（3）根據(jù)為“完美數(shù)”，利用完全平方公式配方，確定出的值即可．【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)題意得：；根據(jù)題意得：，，，則．故答案為：，．【小問(wèn)2詳解】解：，，，，，，解得：，，∴．故答案為：1．【小問(wèn)3詳解】解：當(dāng)時(shí)，為“完美數(shù)”，理由如下：，，是整數(shù)，，也是整數(shù)，是一個(gè)“完美數(shù)”．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)26.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C D.．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)，完全平方公式，冪的乘方，單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則，進(jìn)行計(jì)算后判斷即可．【詳解】解：A、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、，故選項(xiàng)正確，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．27.若k為任意整數(shù)，則的值總能（）A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除【答案】B【解析】【分析】用平方差公式進(jìn)行因式分解，得到乘積的形式，然后直接可以找到能被整除的數(shù)或式．【詳解】解：，能被3整除，∴的值總能被3整除，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，平方差公式為通過(guò)因式分解，可以把多項(xiàng)式分解成若干個(gè)整式乘積的形式．28.下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)因式分解的概念可進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】解：A、，屬于整式的乘法，故不符合題意；B、，不符合幾個(gè)整式乘積的形式，不是因式分解；故不符合題意；C、，屬于因式分解，故符合題意；D、因?yàn)?，所以因式分解錯(cuò)誤，故不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解的概念是解題的關(guān)鍵．29.設(shè)有邊長(zhǎng)分別為a和b()的A類和B類正方形紙片、長(zhǎng)為a寬為b的C類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，需要1張A類紙片、1張B類紙片和2張C類紙片．若要拼一個(gè)長(zhǎng)為、寬為的矩形，則需要C類紙片的張數(shù)為()A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】計(jì)算出長(zhǎng)為，寬為的大長(zhǎng)方形的面積，再分別得出A、B、C卡片的面積，即可看出應(yīng)當(dāng)需要各類卡片多少?gòu)垼驹斀狻拷猓洪L(zhǎng)為，寬為的大長(zhǎng)方形的面積為：；需要6張A卡片，2張B卡片和8張C卡片．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積，解題的關(guān)鍵是理解結(jié)果中項(xiàng)的系數(shù)即為需要C類卡片的張數(shù)．30.關(guān)于x，y的方程組的解滿足，則的值是（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】D【解析】【分析】法一：利用加減法解方程組，用表示出，再將求得的代數(shù)式代入，得到的關(guān)系，最后將變形，即可解答．法二：中得到，再根據(jù)求出代入代數(shù)式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：法一：，得，解得，將代入，解得，，，得到，，法二：得：，即：，∵，∴，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)二元一次方程解的情況求參數(shù)，同底數(shù)冪除法，冪的乘方，熟練求出的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．31.已知實(shí)數(shù)m、、滿足：．①若，則_________．②若m、、為正整數(shù)，則符合條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)有_________個(gè)【答案】①.②.【解析】【分析】①把代入求值即可；②由題意知：均為整數(shù)，，則再分三種情況討論即可．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，，解得：；②當(dāng)m、、正整數(shù)時(shí)，均為整數(shù)，而或或，或或，當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，，故為，共2個(gè)；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，，時(shí)，故為，共3個(gè)；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，，故為，共2個(gè)；綜上所述：共有個(gè)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了整式方程的代入求值、整式方程的整數(shù)解，因式分解的應(yīng)用，及分類討論的思想方法．本題的關(guān)鍵及難點(diǎn)是運(yùn)用分類討論的思想方法解題．32.因式分解：_______．【答案】【解析】【分析】先分組，然后根據(jù)提公因式法，因式分解即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．33.如圖，圖中數(shù)字是從1開(kāi)始按箭頭方向排列的有序數(shù)陣．從3開(kāi)始，把位于同一列且在拐角處的兩個(gè)數(shù)字提取出來(lái)組成有序數(shù)對(duì)：；；；；…如果單把每個(gè)數(shù)對(duì)中的第一個(gè)或第二個(gè)數(shù)字按順序排列起來(lái)研究，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律．請(qǐng)寫(xiě)出第n個(gè)數(shù)對(duì)：_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意單另把每個(gè)數(shù)對(duì)中的第一個(gè)或第二個(gè)數(shù)字按順序排列起來(lái)研究，可發(fā)現(xiàn)第個(gè)數(shù)對(duì)的第一個(gè)數(shù)為：，第個(gè)數(shù)對(duì)的第二個(gè)位：，即可求解．【詳解】解：每個(gè)數(shù)對(duì)的第一個(gè)數(shù)分別為3，7，13，21，31，…即：，，，，，…則第個(gè)數(shù)對(duì)的第一個(gè)數(shù)為：，每個(gè)數(shù)對(duì)的第二個(gè)數(shù)分別為5，10，17，26，37，…即：；；；；…，則第個(gè)數(shù)對(duì)第二個(gè)位：，∴第n個(gè)數(shù)對(duì)為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的排列規(guī)律，利用拐彎出數(shù)字的差的規(guī)律解決問(wèn)題．34.關(guān)于的多項(xiàng)式：，其中為正整數(shù)，各項(xiàng)系數(shù)各不相同且均不為0．當(dāng)時(shí)，，交換任意兩項(xiàng)的系數(shù)，得到的新多項(xiàng)式我們稱為原多項(xiàng)式的“兄弟多項(xiàng)式”．給出下列說(shuō)法：①多項(xiàng)式共有6個(gè)不同的“兄弟多項(xiàng)式”；②若多項(xiàng)式，則的所有系數(shù)之和為；③若多項(xiàng)式，則；④若多項(xiàng)式，則．則以上說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】①理解兄弟多項(xiàng)式的含義，對(duì)多項(xiàng)式的三項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行互換共有6種情況，②③④取和，代入各式中即可得出代數(shù)式的值．【詳解】解：①多項(xiàng)式有三項(xiàng)系數(shù)，互相交換共有6種不同結(jié)果，所以共有6個(gè)不同的“兄弟多項(xiàng)式”，故①正確，符合題意；②若多項(xiàng)式，且，則取時(shí)，，即的所有系數(shù)之和為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，系數(shù)之和為1，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，系數(shù)之和為，故②正確，符合題意；③若多項(xiàng)式，，取時(shí)，，取時(shí)，，兩式相加得，解得，故③正確，符合題意；④若多項(xiàng)式，，取時(shí)，，取時(shí)，，兩式相減得，解得，故④正確，符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查已知字母的值求代數(shù)式的值，解題關(guān)鍵在于對(duì)進(jìn)行賦值，即對(duì)其取，得到不同的多項(xiàng)式進(jìn)行加減運(yùn)算進(jìn)而求得結(jié)果．35.已知正整數(shù)a，b，c，d滿足，且，關(guān)于這個(gè)四元方程下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）①，，，是該四元方程的一組解；②連續(xù)的四個(gè)正整數(shù)一定是該四元方程的解；③若，則該四元方程有21組解；④若，則該四元方程有504組解．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】將，，，代入到四元方程中看等式兩邊是否相等即可判斷①；設(shè)，然后代入四元方程即可判斷②；先證明，同理得到，即可推出得到，據(jù)此即可判斷③；根據(jù)③所求可以推出，由此即可判斷④．【詳解】解：當(dāng)，，，時(shí)，方程左邊，方程右邊，∴方程左右兩邊相等，∴，，，是四元方程的一組解，故①正確；設(shè)，∴，，∴當(dāng)，四元方程左右兩邊相等，∴連續(xù)的四個(gè)正整數(shù)一定是該四元方程的解，故②正確；∵，，且c、d均為正整數(shù)，∴，∴，同理，∴，又∵，∴，∴