專題16用二元一次方程組解決問題(方案銷售利潤數(shù)字幾何圖形圖表)壓軸題五種模型全

專題16用二元一次方程組解決問題(方案,銷售利潤,數(shù)字,幾何圖形,圖表)壓軸題五種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"13"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一二元一次方程組的應(yīng)用——方案問題】 1【考點(diǎn)二二元一次方程組的應(yīng)用——銷售、利潤問題】 4【考點(diǎn)三二元一次方程組的應(yīng)用——數(shù)字問題】 7【考點(diǎn)四二元一次方程組的應(yīng)用——幾何問題】 8【考點(diǎn)五二元一次方程組的應(yīng)用——圖表問題】 10【過關(guān)檢測(cè)】 13【典型例題】【考點(diǎn)一二元一次方程組的應(yīng)用——方案問題】例題：（2023春·福建泉州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）寧波楊梅季，本地慈溪楊梅在寧波人的心中是一種家鄉(xiāng)的味道．今年是楊梅大年，菜楊梅種植大戶為了能讓居民品嘗到物美價(jià)廉的楊梅，對(duì)1000斤的楊梅進(jìn)行打包方式優(yōu)惠出售．打包方式及售價(jià)如下：圓籃每籃8斤，售價(jià)160元；方籃每籃18斤，售價(jià)270元．假如用這兩種打包方式恰好全部裝完這1000斤楊梅．(1)若銷售籃圓籃和籃方籃共收入8600元，求的值；(2)當(dāng)銷售總收入為16760元時(shí)，①若這批楊梅全部售完，請(qǐng)問圓籃共包裝了多少籃，方籃共包裝了多少籃；②若楊梅大戶留下籃圓籃送人，其余的楊梅全部售出，請(qǐng)確定該楊梅大戶有哪幾種包裝方案．【答案】(1)20(2)①圓籃共包裝了44籃，則方籃共包裝36籃．②有二種方案，方案一，圓籃包裝80籃，方籃包裝20籃；方案二，圓籃包裝116籃，方籃包裝4籃【分析】（1）根據(jù)收入共8600元，可得出一元一次方程，解出即可；（2）①設(shè)圓籃共包裝了籃，則方籃共包裝籃，根據(jù)等量關(guān)系可得出方程組，解出即可；②設(shè)此時(shí)出售了籃圓籃，籃方籃楊梅，根據(jù)等量關(guān)系可得出關(guān)于和的方程組，根據(jù)為正整數(shù)，可以求出的大致范圍以及為9的倍數(shù)，從而得到的值，即可得到包裝方案．【詳解】（1）解：由題意，得，解得：，答：的值為20．（2）①設(shè)圓籃共包裝了籃，則方籃共包裝籃，由題意，得，解得：，答：圓籃共包裝了44籃，則方籃共包裝36籃．（2）設(shè)此時(shí)出售了籃圓籃，籃方籃楊梅，則，解這個(gè)關(guān)于和的方程組，可得：，，，為正整數(shù)，且應(yīng)為9的倍數(shù)，的值為9或18．當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，．所以，有兩種方案，方案一，圓籃包裝80籃，方籃包裝20籃；方案二，圓籃包裝116籃，方籃包裝4籃．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組及二元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，理解題目所述的意思，轉(zhuǎn)化為方程思想求解，難度一般．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）某商場(chǎng)計(jì)劃撥款9萬元購進(jìn)50臺(tái)電視機(jī)．已知廠家生產(chǎn)三種不同型號(hào)的電視機(jī)，出廠價(jià)分別為：甲種電視機(jī)每臺(tái)1500元，乙種電視機(jī)每臺(tái)2100元，丙種電視機(jī)每臺(tái)2500元．(1)若商場(chǎng)同時(shí)購進(jìn)其中兩種不同型號(hào)的電視機(jī)共50臺(tái)，用去9萬元，問有多少種不同的進(jìn)貨方案？并寫出這些方案．(2)若商場(chǎng)銷售一臺(tái)甲種電視機(jī)可獲利150元，銷售一臺(tái)乙種電視機(jī)可獲利200元，銷售一臺(tái)丙種電視機(jī)可獲利250元．在第（1）小題的幾個(gè)方案中，為使銷售時(shí)獲得利潤最多，你選擇哪種方案？并說明理由．【答案】(1)兩種方案：方案1：甲，乙兩種電視機(jī)各25臺(tái)．方案2：購買甲種電視機(jī)35臺(tái)，乙種電視機(jī)15臺(tái)(2)選擇方案2，見解析【分析】（1）設(shè)購買電視機(jī)甲種臺(tái)，乙種臺(tái)，丙種臺(tái)，由題意分別列出二元一次方程組，解方程組即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論分別求得獲得的利潤，比較大小即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)購買電視機(jī)甲種臺(tái)，乙種臺(tái)，丙種臺(tái)，由題意得：①，解得：；②，解得：（舍去）③，解得：．故兩種方案：方案1：甲，乙兩種電視機(jī)各臺(tái)．方案2：購買甲種電視機(jī)臺(tái)，乙種電視機(jī)臺(tái)；（2）選擇方案2，理由：∵商場(chǎng)銷售一臺(tái)甲種電視機(jī)可獲利元，銷售一臺(tái)乙種電視機(jī)可獲利元，銷售一臺(tái)丙種電視機(jī)可獲利元，∴方案1：（元），方案2：（元），故選擇方案2．∴共有種購買方案．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）去年年底，重慶疫情形勢(shì)嚴(yán)峻，除了醫(yī)務(wù)人員和志愿者們主動(dòng)請(qǐng)纓走向抗疫前線，眾多企業(yè)也紛紛伸出援助之手．某公司租用A、B兩種貨車向重慶運(yùn)送抗疫物資，已知用2輛A型車和3輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)物資噸；用1輛A型車和4輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)物資噸．(1)求1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)送多少噸物資？(2)現(xiàn)有噸抗疫物資需要運(yùn)往重慶，該公司計(jì)劃同時(shí)租用A型車和B型車（兩種型號(hào)車均要租用），一次運(yùn)完，且恰好每輛車都裝滿貨物．若A型車每輛需租金元/次，B型車每輛需租金元/次．那么該公司有哪幾種租車方案，并且哪種方案租車費(fèi)用最少．【答案】(1)1輛A型車裝滿貨物一次可運(yùn)送噸物資，1輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)送噸物資(2)該公司有三種租車方案，方案一租車費(fèi)用最少【分析】（1）設(shè)1輛A型車裝滿貨物一次可運(yùn)送噸物資，1輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)送噸物資，根據(jù)題意，列出方程組，解出即可得出答案；（2）設(shè)租輛型車，輛型車，根據(jù)題意，得出，且、均為正整數(shù)，解出或或，據(jù)此得出該公司有三種租車方案，再算出每種租車方案的費(fèi)用，即可得出答案．【詳解】（1）解：設(shè)1輛A型車裝滿貨物一次可運(yùn)送噸物資，1輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)送噸物資，根據(jù)題意，可得：，解得：，∴1輛A型車裝滿貨物一次可運(yùn)送噸物資，1輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)送噸物資；（2）解：設(shè)租輛型車，輛型車，根據(jù)題意，可得：，∵、均為正整數(shù)，∴或或，∴該公司有三種租車方案：方案一：租輛型車，輛型車；方案二：租輛型車，輛型車；方案三：租輛型車，輛型車，∴方案一所需費(fèi)用為（元），方案二所需費(fèi)用為（元），方案三所需費(fèi)用為（元），∵，∴方案一租車費(fèi)用最少．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、二元一次方程的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵在找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程．【考點(diǎn)二二元一次方程組的應(yīng)用——銷售、利潤問題】例題：（2023秋·安徽六安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）某商店決定購進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品出售，若購進(jìn)A種紀(jì)念品件，B種紀(jì)念品5件，則需要元；若購進(jìn)A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品件，則需要元．(1)求A、B兩種紀(jì)念品的購進(jìn)單價(jià)；(2)已知商店購進(jìn)兩種紀(jì)念品件，共花費(fèi)元，兩種紀(jì)念品均標(biāo)每件元出售，其中有5件B種紀(jì)念品以七五折售出，求這件紀(jì)念品的銷售利潤．【答案】(1)A種紀(jì)念品的購進(jìn)單價(jià)為元，B種紀(jì)念品的購進(jìn)單價(jià)為元；(2)元．【分析】（1）設(shè)A種紀(jì)念品的購進(jìn)單價(jià)為x元，B種紀(jì)念品的購進(jìn)單價(jià)為y元，根據(jù)“購進(jìn)A種紀(jì)念品件，B種紀(jì)念品5件，則需要元；若購進(jìn)A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品件，則需要元”列出方程求解即可；（2）設(shè)購進(jìn)A種紀(jì)念品m件，B種紀(jì)念品n件，根據(jù)“購進(jìn)兩種紀(jì)念品件，共花費(fèi)元”列出方程求解即可得到A種紀(jì)念品和B種紀(jì)念品的件數(shù)，再根據(jù)“利潤=總銷售額－成本”即可得出答案．【詳解】（1）設(shè)A種紀(jì)念品的購進(jìn)單價(jià)為x元，B種紀(jì)念品的購進(jìn)單價(jià)為y元，根據(jù)題意，得解得答：A種紀(jì)念品的購進(jìn)單價(jià)為15元，B種紀(jì)念品的購進(jìn)單價(jià)為13元．（2）設(shè)購進(jìn)A種紀(jì)念品m件，B種紀(jì)念品n件，依題意，得所以售完利潤為：（元）答：這32件紀(jì)念品的銷售利潤為元．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，讀懂題意找到等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）冬季來臨，某電器店開始銷售A、B兩種型號(hào)的取暖器，A型取暖器每臺(tái)元，B型取暖器每臺(tái)元．若兩周內(nèi)共銷售臺(tái)，這兩周的銷售額為元，A、B兩種型號(hào)的取暖器分別銷售了多少臺(tái)？（請(qǐng)用二元一次方程組的知識(shí)解答）【答案】A型取暖器銷售了臺(tái)，B型取暖器銷售了臺(tái)．【分析】設(shè)A型取暖器銷售了x臺(tái)，B型取暖器銷售了y臺(tái)，根據(jù)兩周內(nèi)共銷售臺(tái)，銷售收入元列方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)A型取暖器銷售了x臺(tái)，B型取暖器銷售了y臺(tái)，解得：答：A型取暖器銷售了臺(tái)，B型取暖器銷售了臺(tái)．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用；解題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系，然后列出方程組，正確求解．4．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）隨著新能源汽車需求量的增加，某汽車銷售公司計(jì)劃購進(jìn)一批新能源汽車進(jìn)行銷售．據(jù)了解，輛A型汽車和輛型汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)萬元；輛A型汽車和輛型汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)萬元．(1)A，B兩種型號(hào)的汽車每輛進(jìn)價(jià)分別為多少萬元？(2)若該公司計(jì)劃恰好用萬元購進(jìn)以上兩種型號(hào)的新能源汽車（兩種型號(hào)的汽車均需購買），請(qǐng)你寫出所有購買方案．【答案】(1)A型汽車每輛進(jìn)價(jià)萬元，型汽車每輛進(jìn)價(jià)萬元(2)所有購買方案：購進(jìn)7輛A型汽車，5輛型汽車；購進(jìn)4輛A型汽車，10輛型汽車；購進(jìn)1輛A型汽車，15輛型汽車【分析】（1）設(shè)A型汽車每輛進(jìn)價(jià)萬元，型汽車每輛進(jìn)價(jià)萬元，根據(jù)“輛A型汽車和輛型汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)萬元；輛A型汽車和輛型汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)萬元”，即可得關(guān)于x、y的一元二次方程組，解之即可；（2）設(shè)購進(jìn)輛A型汽車和輛型汽車，根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，得到關(guān)于a、b的二元一次方程，結(jié)合a、b是正整數(shù)即可得所有購買方案．【詳解】（1）解：設(shè)A型汽車每輛進(jìn)價(jià)萬元，型汽車每輛進(jìn)價(jià)萬元，由題意知：，解得：，答：A型汽車每輛進(jìn)價(jià)萬元，型汽車每輛進(jìn)價(jià)萬元．（2）解：設(shè)購進(jìn)輛A型汽車和輛型汽車，則，，均為正整數(shù)，∴當(dāng)b=5時(shí)，a=7或b=10時(shí)，a=4或b=15時(shí)，a=1，∴所有購買方案如下：購進(jìn)7輛A型汽車，5輛型汽車；購進(jìn)4輛A型汽車，10輛型汽車；購進(jìn)1輛A型汽車，15輛型汽車．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用及二元一次方程的正整數(shù)解的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系列出二元一次方程（組）是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)三二元一次方程組的應(yīng)用——數(shù)字問題】例題：（2023秋·甘肅白銀·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和為9，把這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)后所得新兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27，這個(gè)兩位數(shù)是______．【答案】36【分析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，根據(jù)“個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和為9，把這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)所得新兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，再將其代入（10x+y）中即可求出這個(gè)兩位數(shù)．【詳解】解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，依題意得：，解得：，∴，故答案為：36．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大2；交換十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字后得到的兩位數(shù)比原數(shù)小18．設(shè)十位上的數(shù)字為x，個(gè)位上的數(shù)字為y，列方程組為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大2，列方程，交換十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字后得到的兩位數(shù)比原數(shù)小18，列方程，即可解答．【詳解】解：設(shè)十位上的數(shù)字為x，個(gè)位上的數(shù)字為y，∵十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大2，∴；∵交換十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字后得到的兩位數(shù)比原數(shù)小18．∴；故可列方程組：，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)題意列出正確的方程組．2．（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）小明和小華在一起玩數(shù)字游戲，他們每人取了一張數(shù)字卡片，拼成了一個(gè)兩位數(shù)，小明說：“哇！這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和恰好是9．”他們又把這兩張卡片對(duì)調(diào)，得到了一個(gè)新的兩位數(shù)，小華說：“這個(gè)兩位數(shù)恰好也比原來的兩位數(shù)大9．”那么，你能回答以下問題嗎？(1)他們?nèi)〕龅膬蓮埧ㄆ系臄?shù)字分別是幾？(2)第一次，他們拼出的兩位數(shù)是多少？(3)第二次，他們拼成的兩位數(shù)又是多少呢？請(qǐng)你好好動(dòng)動(dòng)腦筋喲！【答案】(1)他們?nèi)〕龅膬蓮埧ㄆ系臄?shù)字分別是4、5(2)第一次他們拼成的兩位數(shù)為45(3)第二次拼成的兩位數(shù)是54【詳解】（1）解：設(shè)他們?nèi)〕龅膬蓚€(gè)數(shù)字分別為x、y．第一次拼成的兩位數(shù)為，第二次拼成的兩位數(shù)為．根據(jù)題意得：，由②，得：③，得：．把代入①得：，∴他們?nèi)〕龅膬蓮埧ㄆ系臄?shù)字分別是4、5．（2）解：根據(jù)（1）得：十位數(shù)字是4，個(gè)位數(shù)字是5，所以第一次他們拼成的兩位數(shù)為45．（3）解：根據(jù)（1）得，x，y的位置調(diào)換，所以十位數(shù)字是5，個(gè)位數(shù)字是，所以第二次拼成的兩位數(shù)是54．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，找出合適的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四二元一次方程組的應(yīng)用——幾何問題】例題：（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）用一元一次方程解決問題：某藥業(yè)集團(tuán)生產(chǎn)的某種藥品包裝盒的側(cè)面展開圖如圖，如果長方體盒子的長比寬多，求這種藥品包裝盒的體積．【答案】【分析】要求長方體的體積，需知長方體的長、寬、高，再結(jié)合圖形尋找等量關(guān)系，求出后代入長方體體積公式，即可得出結(jié)果．【詳解】設(shè)這種藥品包裝盒的寬為，高為，則長為，根據(jù)題意可得，解得，∴長為，寬為，高為，則體積，則這種藥品包裝盒的體積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是用寬表示出長．【變式訓(xùn)練】1．（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測(cè)）在長方形中，放入6個(gè)形狀，大小都相同的長方形，所標(biāo)尺寸如圖所示，則圖中陰影部分面積是_____；若平移這六個(gè)長方形，則圖中剩余的陰影部分面積_____（填“有變化”或“不改變”）．【答案】

不改變【分析】（1）設(shè)小長方形的長為，寬為，根據(jù)圖性質(zhì)小長方形的長、寬和大長方形的長、寬之間的關(guān)系，列出方程組，解方程組得出x、y的值，再用大長方形的面積減去六個(gè)小長方形的面積即可得出答案；（2）在平移的過程中，大長方形的面積不變，小長方形的面積不變，因此陰影部分面積不變．【詳解】解：設(shè)小長方形的長為，寬為，依題意得：，解得：，∴圖中陰影部分面積為：；無論怎么平移這六個(gè)長方形，陰影部分的面積總是大長方形的面積減去六個(gè)長方形的面積，均為，保持不變．故答案為：；不改變．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用、平移性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形中大、小長方形之間的長、寬之間的關(guān)系列出方程組．2．（2023春·湖南岳陽·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）小明在拼圖時(shí)發(fā)現(xiàn)8個(gè)一樣大小的長方形恰好可以拼成一個(gè)大的長方形如圖（1），小紅看見了說：“我也來試一試．”結(jié)果小紅七拼八湊，拼成了如圖（2）那樣的正方形，中間還留下了一個(gè)洞，恰好是邊長為的小正方形．請(qǐng)問每個(gè)小長方形的面積是多少？【答案】【分析】設(shè)每個(gè)小長方形的長為，寬為，根據(jù)圖形得到每個(gè)小長方形的長和寬的兩個(gè)等量關(guān)系，列出方程組，解方程組得到小長方形的長和寬，再求出小長方形的面積即可．【詳解】解：設(shè)每個(gè)小長方形的長為，寬為，由題意，得，解得：．∴小長方形的長為，寬為，∴小長方形的面積．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)圖形找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五二元一次方程組的應(yīng)用——圖表問題】例題：（2023春·吉林長春·七年級(jí)長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示的兩架天平保持平衡，且每塊巧克力的質(zhì)量相等，每個(gè)果凍的質(zhì)量也相等，則一塊巧克力的質(zhì)量是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過理解題意可知本題存在兩個(gè)等量關(guān)系，即三塊巧克力的質(zhì)量＝兩個(gè)果凍的質(zhì)量，一塊巧克力的質(zhì)量+一個(gè)果凍的質(zhì)量＝50克．根據(jù)這兩個(gè)等量關(guān)系式可列一個(gè)方程組．【詳解】解：設(shè)每塊巧克力的重量為x克，每塊果凍的重量為y克．由題意列方程組得：，解方程組得：．答：每塊巧克力的質(zhì)量是20克．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)等量關(guān)系列方程是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河北秦皇島·九年級(jí)秦皇島市第十中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格．將9個(gè)數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等，例如圖（1）就是一個(gè)幻方．圖（2）是一個(gè)末完成的幻方，則的值是（

）A．0 B． C． D．32【答案】B【分析】設(shè)中間的數(shù)為，第三行第1個(gè)數(shù)字為，根據(jù)題意得出，由①得，由②得，得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖所示，設(shè)中間的數(shù)為，第三行第1個(gè)數(shù)字為，由①得由②得∴，解得：∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．2．（2022·湖北·武漢市第二初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）童威在某商店給媽媽購買商品A、B共三次，只有一次購買時(shí)，商品A、B同時(shí)打相同的折扣，其余兩次均按標(biāo)價(jià)購買，三次購買商品A、B的數(shù)量和費(fèi)用如下表：購買商品A的數(shù)量（個(gè)）購買商品B的數(shù)量（個(gè)）購買總費(fèi)用（元）第一次購物8161440第二次購物7151314第三次購物9171252.8(1)以折扣價(jià)購買商品A、B是第________次購物；(2)求出商品A、B的標(biāo)價(jià)；(3)若商品A、B的折扣相同，問商店是打幾折出售這兩種商品的？【答案】(1)三(2)商品A的標(biāo)價(jià)為72元，商品B的標(biāo)價(jià)為54元(3)商店是打八折出售這兩種商品的【分析】（1）根據(jù)買到A、B商品多，且花錢少來判斷即可；（2）設(shè)商品A的標(biāo)價(jià)為x元，商品B的標(biāo)價(jià)為y元，列出方程組求出x和y的值；（3）設(shè)商店是打m折出售這兩種商品，根據(jù)題意列出方程求解即可．（1）根據(jù)圖表可得童威第三次購物花的錢最少，買到A、B商品又是最多，所以童威以折扣價(jià)購買商品A、B是第三次購物，故答案是：三；（2）（2）設(shè)商品A的標(biāo)價(jià)為x元，商品B的標(biāo)價(jià)為y元，根據(jù)題意，得，解得：，答：商品A的標(biāo)價(jià)為72元，商品B的標(biāo)價(jià)為54元；（3）設(shè)商店是打m折出售這兩種商品，由題意得，，解得：m=8．答：商店是打八折出售這兩種商品的．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解．【過關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）把一根長的鋼管截成長和長兩種規(guī)格均有的短鋼管，且沒有余料，設(shè)某種截法中長的鋼管有根，則的值有（）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【答案】B【分析】設(shè)的鋼管根，由題意可列二元一次方程，根據(jù)、均為整數(shù)，求解即可．【詳解】解：設(shè)的鋼管根，根據(jù)題意得：，、均為整數(shù)，，，，．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的整數(shù)解．正確的列方程并正確的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)之和是，如果把這個(gè)兩位數(shù)加上，所得的兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字，十位數(shù)字恰好分別是原來兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，則這個(gè)兩位數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)十位上的數(shù)為，個(gè)位上的數(shù)為，依據(jù)題意建立二元一次方程組，解方程組即可得到答案．【詳解】解：設(shè)十位上的數(shù)為，個(gè)位上的數(shù)為，根據(jù)題意得，∴，由得，∴，將代入得，∴，∴這個(gè)兩位數(shù)為34，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，依據(jù)題意建立方程組是解本題的關(guān)鍵．3．（2023春·重慶·七年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用若干個(gè)形狀、大小完全相同的長方形紙片圍成正方形，4個(gè)長方形紙片圍成如圖①所示的正方形，其陰影部分的面積為81，8個(gè)長方形紙片圍成如圖②所示的正方形，其陰影部分的面積為64，12個(gè)長方無紙片圍成如圖③所示的正方形，其陰影部分的面積為（

）A．48 B．36 C．50 D．49【答案】D【分析】三個(gè)圖中陰影部分都是正方形，根據(jù)前兩個(gè)陰影面積列方程組求長方形的邊長，再計(jì)算圖③陰影面積．【詳解】解：圖①中陰影面積是81，邊長為9，圖②陰影面積是64，邊長為8，設(shè)矩形長為a，寬為b，根據(jù)題意得：解得：，所以圖③陰影面積為：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程組．二、填空題4．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一個(gè)兩位數(shù)，把其十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字交換位置后，所得的數(shù)比原數(shù)多9，這樣的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)有___________個(gè)．【答案】8【分析】等量關(guān)系為：新兩位數(shù)原兩位數(shù)=9，把相關(guān)數(shù)值代入求小于10的自然數(shù)解即可．【詳解】解：設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，，，，即（原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字y比十位數(shù)字x要大1，）∴這樣的兩位數(shù)為12，23，34，45，56，67，78，89共8個(gè)，故答案為：8．【點(diǎn)睛】考查二元一次方程的應(yīng)用，得到新數(shù)和原數(shù)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023春·福建泉州·七年級(jí)石獅市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在大長方形ABCD中，放入8個(gè)小長方形，則圖中陰影部分面積為______多少平方厘米．【答案】53【分析】設(shè)小長方形的長為x厘米，寬為y厘米，觀察圖形，根據(jù)小長方形長與寬之間的關(guān)系，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值；再利用陰影部分的面積=大長方形的面積小長方形的面積，即可求出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)小長方形的長為x厘米，寬為y厘米，依題意，得：，解得：，∴圖中陰影部分面積為（平方厘米）．答：圖中陰影部分面積為53平方厘米．故答案為：53．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）某中學(xué)為積極開展校園足球運(yùn)動(dòng)，計(jì)劃購買和兩種品牌的足球，已知一個(gè)品牌足球價(jià)格為120元，一個(gè)品牌足球價(jià)格為150元．學(xué)校準(zhǔn)備用3000元購買這兩種足球（兩種足球都買），并且3000元全部用完，請(qǐng)寫出一種購買方案：買_______個(gè)品牌足球，買________個(gè)品牌足球．【答案】

10

12【分析】設(shè)買個(gè)品牌足球，買個(gè)品牌足球，根據(jù)題意列出二元一次方程，根據(jù)整數(shù)解確定的值即可求解．【詳解】解：設(shè)買個(gè)品牌足球，買個(gè)品牌足球，根據(jù)題意得，，整理得：，，是正整數(shù)，是5的倍數(shù)，．故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，整除，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．三、解答題7．（2023春·山東泰安·七年級(jí)東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）有一個(gè)兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字小2，十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和的4倍剛好等于這個(gè)兩位數(shù)．求這個(gè)兩位數(shù)．【答案】這個(gè)兩位數(shù)是24．【分析】分析題目可以知道，本題存在了兩個(gè)等量關(guān)系，即：個(gè)位上的數(shù)字減十位上的數(shù)字；(十位上的數(shù)字+個(gè)位上的數(shù)字)=這個(gè)兩位數(shù)的值，根據(jù)這兩個(gè)等量關(guān)系，列方程求解．【詳解】解：假設(shè)這個(gè)兩位數(shù)十位上數(shù)字為a，個(gè)位上數(shù)字為b，則由題意可得：，解得：故這個(gè)兩位數(shù)是24．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程的應(yīng)用，解決此類問題的關(guān)鍵在于找出，題目中所提到的等量關(guān)系，整理出方程求解．8．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）在長為10m，寬為8m的長方形空地中，沿平行于長方形各邊的方向分割出三個(gè)全等的小長方形花圃，其示意圖如圖所示．則小長方形花圃的長和寬分別是多少？【答案】小長方形花圃的長為4m，寬為2m【分析】設(shè)小長方形花圃的長為，寬為，根據(jù)大長方形的長與寬的長度即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)小長方形花圃的長為，寬為，由題意得，解得．答：小長方形花圃的長為，寬為.【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)大長方形長與寬的長度列出關(guān)于x、y的二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在的方格內(nèi)，填寫了一些代數(shù)式和數(shù)．(1)在圖1中各行、各列及對(duì)角線上三個(gè)數(shù)之和都相等，請(qǐng)你求出，的值；(2)把滿足（1）的其它6個(gè)數(shù)填入圖2中的方格內(nèi)．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)等量關(guān)系“各行、各列及對(duì)角線上三個(gè)數(shù)之和都相等”，列出方程組求解即可；（2）根據(jù)計(jì)算出的x、y值，求出其它6個(gè)數(shù)即可．【詳解】（1）解：由已知條件可得，解得：．（2）解：如圖所示：【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)“各行、各列及對(duì)角線上三個(gè)數(shù)之和相等”從而列出關(guān)于x、y的二元一次方程組，是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）某農(nóng)業(yè)科學(xué)研究院對(duì)A、B兩種玉米進(jìn)行實(shí)驗(yàn)種植，已知去年兩種玉米分別種植10畝，B種玉米的平均畝產(chǎn)量比A種玉米的平均畝產(chǎn)量高，且在兩種玉米的市場(chǎng)銷售價(jià)格均為2.4元/的情況下，全部售出這兩種玉米后總收入為21600元．(1)求A，B兩種玉米去年的平均畝產(chǎn)量；(2)在保持種植面積不變的情況下，預(yù)計(jì)今年A，B兩種玉米的平均畝產(chǎn)量將比去年平均畝產(chǎn)量分別增加和，且總產(chǎn)量將比去年總產(chǎn)量增加280千克，求a的值．【答案】(1)A，B兩種玉米去年的平均畝產(chǎn)量分別為400kg和500kg(2)2【分析】（1）設(shè)A，B兩種玉米去年的平均畝產(chǎn)量分別為和，根據(jù)B種玉米的平均畝產(chǎn)量比A種玉米的平均畝產(chǎn)量高，且在兩種玉米的市場(chǎng)銷售價(jià)格均為2.4元/的情況下，全部售出這兩種玉米后總收入為21600元列出關(guān)于，的二元一次方程組，解出即可；（2）根據(jù)今年A，B兩種玉米的平均畝產(chǎn)量將比去年平均畝產(chǎn)量分別增加和，且總產(chǎn)量將比去年總產(chǎn)量增加280千克，列出關(guān)于的方程，解出即可?！驹斀狻浚?）解：設(shè)A，B兩種玉米去年的平均畝產(chǎn)量分別為和，根據(jù)題意，得：，解方程組得：，答：A，B兩種玉米去年的平均畝產(chǎn)量分別為400kg和500kg；（2）解：根據(jù)題意，得：=，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次的方程組的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）小瑞去花店購買鮮花，若買5支玫瑰和3支百合，則她所帶的錢還剩下10元；若買3支玫瑰和5支百合，則她所帶的錢還缺4元．(1)若小瑞所帶的錢是51元，請(qǐng)分別求出玫瑰和百合單價(jià)是多少元？(2)若小瑞所帶的錢是m元，且一共只買8支玫瑰，請(qǐng)直接寫出小瑞所帶的錢還剩下多少元？【答案】(1)玫瑰和百合單價(jià)分別是每支2.5元和每支9.5元(2)小瑞所帶的錢還剩下31元【分析】（1）設(shè)每支玫瑰x元，每支百合y元，利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合小瑞帶的錢數(shù)不變，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，化簡(jiǎn)后可得出；(2)設(shè)玫瑰的單價(jià)是每支x元，百合單價(jià)是每支y元，因?yàn)樾∪饚У腻X為m元，所以列方程，用含m的代數(shù)式解出x和y，又因?yàn)榍乙还仓毁I8支玫瑰，所以剩下的錢為：m8x即可求解；【詳解】（1）解：設(shè)玫瑰的單價(jià)是每支x元，百合單價(jià)是每支y元．由題意可得解之得答：玫瑰和百合單價(jià)分別是每支2.5元和每支9.5元．（2）解：設(shè)玫瑰的單價(jià)是每支x元，百合單價(jià)是每支y元，因?yàn)樾∪饚У腻X為m元所以有，解得：，又因?yàn)榍乙还仓毁I8支玫瑰，所以剩下的錢為：m8x=m=31（元）答：小瑞所帶的錢還剩下31元．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）今夏，某村小麥喜獲豐收某種植戶共收獲小麥28噸，現(xiàn)計(jì)劃租用甲、乙兩種貨車將小麥全部運(yùn)往外地銷售，兩輛甲種貨車和一輛乙種貨車可裝小麥11噸，一輛甲種貨車和兩輛乙種貨車可裝小麥10噸．(1)一輛甲種貨車和一輛乙種貨車一次共運(yùn)貨多少噸？(2)若甲種貨車每輛要付運(yùn)輸費(fèi)300元，乙種貨車每輛要付運(yùn)輸費(fèi)240元，這位種植戶想同時(shí)租用這兩種貨車，一次運(yùn)完所有小麥，要求租用的每輛車都需要裝滿，則應(yīng)如何選擇方案，使運(yùn)輸費(fèi)最少？最少運(yùn)費(fèi)是多少？【答案】(1)一輛甲種貨車和一輛乙種貨車一次共運(yùn)貨7噸(2)選擇甲種貨車和乙種貨車各4輛費(fèi)用最少，運(yùn)費(fèi)是2160元【分析】（1）設(shè)一輛甲種貨車可運(yùn)貨x噸，一輛乙種貨車可運(yùn)貨y噸，根據(jù)等量關(guān)系：兩輛甲種貨車和一輛乙種貨車可裝小麥11噸；一輛甲種貨車和兩輛乙種貨車可裝小麥10噸；列出二元一次方程組計(jì)算即可求解；（2）設(shè)