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文檔簡介
2025屆甘肅省白銀市靖遠縣高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè),點,,,,設(shè)對一切都有不等式成立,則正整數(shù)的最小值為()A. B. C. D.2.設(shè)全集集合,則()A. B. C. D.3.已知等差數(shù)列的前項和為,若,則等差數(shù)列公差()A.2 B. C.3 D.44.某四棱錐的三視圖如圖所示,記為此棱錐所有棱的長度的集合,則().A.,且 B.,且C.,且 D.,且5.已知集合,集合,則()A. B. C. D.6.設(shè),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知集合,則=()A. B. C. D.8.已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.9.設(shè)全集,集合,,則()A. B. C. D.10.已知全集,集合,,則陰影部分表示的集合是()A. B. C. D.11.若函數(shù)有且只有4個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.等差數(shù)列的前項和為,若,,則數(shù)列的公差為()A.-2 B.2 C.4 D.7二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知多項式的各項系數(shù)之和為32,則展開式中含項的系數(shù)為______.14.已知是第二象限角,且,,則____.15.已知實數(shù),對任意,有,且,則______.16.根據(jù)記載,最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的人應(yīng)是我國西周時期的數(shù)學(xué)家商高,商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題.現(xiàn)有滿足“勾3股4弦5”,其中“股”,為“弦”上一點(不含端點),且滿足勾股定理,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知離心率為的橢圓經(jīng)過點.(1)求橢圓的方程;(2)薦橢圓的右焦點為,過點的直線與橢圓分別交于,若直線、、的斜率成等差數(shù)列,請問的面積是否為定值?若是,求出此定值;若不是,請說明理由.18.(12分)在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線與曲線交于兩點.(1)求的長;(2)在以為極點,軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中,設(shè)點的極坐標為,求點到線段中點的距離.19.(12分)三棱柱中,平面平面,,點為棱的中點,點為線段上的動點.(1)求證:;(2)若直線與平面所成角為,求二面角的正切值.20.(12分)在四棱錐中,底面為直角梯形,,面.(1)在線段上是否存在點,使面,說明理由;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)已知函數(shù),且.(1)求的解析式;(2)已知,若對任意的,總存在,使得成立,求的取值范圍.22.(10分)已知數(shù)列,滿足.(1)求數(shù)列,的通項公式;(2)分別求數(shù)列,的前項和,.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
先求得,再求得左邊的范圍,只需,利用單調(diào)性解得t的范圍.【詳解】由題意知sin,∴,∴,隨n的增大而增大,∴,∴,即,又f(t)=在t上單增,f(2)=-1<0,f(3)=2>0,∴正整數(shù)的最小值為3.【點睛】本題考查了數(shù)列的通項及求和問題,考查了數(shù)列的單調(diào)性及不等式的解法,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.2、A【解析】
先求出,再與集合N求交集.【詳解】由已知,,又,所以.故選:A.【點睛】本題考查集合的基本運算,涉及到補集、交集運算,是一道容易題.3、C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出.【詳解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故選C.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.4、D【解析】
首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體,根據(jù)三視圖的長度,進一步求出個各棱長.【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:該幾何體為四棱錐體,如圖所示:所以:,,.故選:D..【點睛】本題考查三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換,主要考查運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
可求出集合,,然后進行并集的運算即可.【詳解】解:,;.故選.【點睛】考查描述法、區(qū)間的定義,對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,以及并集的運算.6、B【解析】
先解不等式化簡兩個條件,利用集合法判斷充分必要條件即可【詳解】解不等式可得,解絕對值不等式可得,由于為的子集,據(jù)此可知“”是“”的必要不充分條件.故選:B【點睛】本題考查了必要不充分條件的判定,考查了學(xué)生數(shù)學(xué)運算,邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
先求出集合A,B,再求集合B的補集,然后求【詳解】,所以.故選:D【點睛】此題考查的是集合的并集、補集運算,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,列出方程求出的值,即可求解雙曲線的離心率,得到答案.【詳解】由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,可得,解得,此時雙曲線,則曲線的離心率為,故選C.【點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程及其簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記雙曲線的幾何性質(zhì),準確運算是解答的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
可解出集合,然后進行補集、交集的運算即可.【詳解】,,則,因此,.故選:B.【點睛】本題考查補集和交集的運算,涉及一元二次不等式的求解,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
先求出集合N的補集,再求出集合M與的交集,即為所求陰影部分表示的集合.【詳解】由,,可得或,又所以.故選:D.【點睛】本題考查了韋恩圖表示集合,集合的交集和補集的運算,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
由是偶函數(shù),則只需在上有且只有兩個零點即可.【詳解】解:顯然是偶函數(shù)所以只需時,有且只有2個零點即可令,則令,遞減,且遞增,且時,有且只有2個零點,只需故選:B【點睛】考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用以及根據(jù)零點個數(shù)確定參數(shù)的取值范圍,基礎(chǔ)題.12、B【解析】
在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標和的性質(zhì)求得,再由等差數(shù)列通項公式求得公差.【詳解】在等差數(shù)列的前項和為,則則故選:B【點睛】本題考查等差數(shù)列中求由已知關(guān)系求公差,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
令可得各項系數(shù)和為,得出,根據(jù)第一個因式展開式的常數(shù)項與第二個因式的展開式含一次項的積與第一個因式展開式含x的一次項與第二個因式常數(shù)項的積的和即為展開式中含項,可得解.【詳解】令,則得,解得,所以展開式中含項為:,故答案為:【點睛】本題主要考查了二項展開式的系數(shù)和,二項展開式特定項,賦值法,屬于中檔題.14、【解析】
由是第二象限角,且,可得,由及兩角和的正切公式可得的值.【詳解】解:由是第二象限角,且,可得,,由,可得,代入,可得,故答案為:.【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角和的正切公式,相對不難,注意運算的準確性.15、-1【解析】
由二項式定理及展開式系數(shù)的求法得,又,所以,令得:,所以,得解.【詳解】由,且,則,又,所以,令得:,所以,故答案為:.【點睛】本題考查了二項式定理及展開式系數(shù)的求法,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.16、【解析】
先由等面積法求得,利用向量幾何意義求解即可.【詳解】由等面積法可得,依題意可得,,所以.故答案為:【點睛】本題考查向量的數(shù)量積,重點考查向量數(shù)量積的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)是,【解析】
(1)根據(jù)及可得,再將點代入橢圓的方程與聯(lián)立解出,即可求出橢圓的方程;(2)可設(shè)所在直線的方程為,,,,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,用根與系數(shù)的關(guān)系求出,然后將直線、、的斜率、、分別用表示,利用可求出,從而可確定點恒在一條直線上,結(jié)合圖形即可求出的面積.【詳解】(1)因為橢圓的離心率為,所以,即,又,所以,①因為點在橢圓上,所以,②由①②解得,所以橢圓C的方程為.(1)可知,,可設(shè)所在直線的方程為,由,得,設(shè),,,則,,設(shè)直線、、的斜率分別為、、,因為三點共線,所以,即,所以,又,因為直線、、的斜率成等差數(shù)列,所以,即,化簡得,即點恒在一條直線上,又因為直線方程為,且,所以是定值.【點睛】本題主要考查橢圓的方程,直線與橢圓的位置關(guān)系及橢圓中的定值問題,屬于中檔題.18、(1);(2).【解析】
(1)將直線的參數(shù)方程化為直角坐標方程,由點到直線距離公式可求得圓心到直線距離,結(jié)合垂徑定理即可求得的長;(2)將的極坐標化為直角坐標,將直線方程與圓的方程聯(lián)立,求得直線與圓的兩個交點坐標,由中點坐標公式求得的坐標,再根據(jù)兩點間距離公式即可求得.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),化為直角坐標方程為,即直線與曲線交于兩點.則圓心坐標為,半徑為1,則由點到直線距離公式可知,所以.(2)點的極坐標為,化為直角坐標可得,直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,化簡可得,解得,所以兩點坐標為,所以,由兩點間距離公式可得.【點睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程轉(zhuǎn)化,極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化,點到直線距離公式應(yīng)用,兩點間距離公式的應(yīng)用,直線與圓交點坐標求法,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)見解析;(2)【解析】
(1)可證面,從而可得.(2)可證點為線段的三等分點,再過作于,過作,垂足為,則為二面角的平面角,利用解直角三角形的方法可求.也可以建立如圖所示的空間直角坐標系,利用兩個平面的法向量來計算二面角的平面角的余弦值,最后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求.【詳解】證明:(1)因為為中點,所以.因為平面平面,平面平面,平面,所以平面,而平面,故,又因為,所以,則,又,故面,又面,所以.(2)由(1)可得:面在面內(nèi)的射影為,則為直線與平面所成的角,即.因為,所以,所以,所以,即點為線段的三等分點.解法一:過作于,則平面,所以,過作,垂足為,則為二面角的平面角,因為,,,則在中,有,所以二面角的平面角的正切值為.解法二:以點為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,設(shè)點,由得:,即,,,點,平面的一個法向量,又,,設(shè)平面的一個法向量為,則,令,則平面的一個法向量為.設(shè)二面角的平面角為,則,即,所以二面角的正切值為.【點睛】線線垂直的判定可由線面垂直得到,也可以由兩條線所成的角為得到,而線面垂直又可以由面面垂直得到,解題中注意三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化.空間中的角的計算,可以建立空間直角坐標系把角的計算歸結(jié)為向量的夾角的計算,也可以構(gòu)建空間角,把角的計算歸結(jié)平面圖形中的角的計算.20、(1)存在;詳見解析(2)【解析】
(1)利用面面平行的性質(zhì)定理可得,為上靠近點的三等分點,中點,證明平面平面即得;(2)過作交于,可得兩兩垂直,以分別為軸建立空間直角坐標系,求出長,寫出各點坐標,用向量法求二面角.【詳解】解:(1)當(dāng)為上靠近點的三等分點時,滿足面.證明如下,取中點,連結(jié).即易得所以面面,即面.(2)過作交于面,兩兩垂直,以分別為軸建立空間直角坐標系,如圖,設(shè)面法向量,則,即取同理可得面的法向量綜上可知銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查立體幾何中的存探索性命題,考查用空間向量法求二面角.線面平行問題可通過面面平行解決,一定要掌握:立體幾何中線線平行、線面平行、面面平行是相互轉(zhuǎn)化、相互依存的.求空間角一般是建立空間直角坐標系,用空間向量法求空間角.21、(1);(2)【解析】
(1)由,可求出的值,進而可求得的解析式;(2)分別求得和的值域,再結(jié)合兩個函數(shù)的值域間的關(guān)系可求出的取值范圍.【詳解】(1)因為,所以,解得,故.(2)因為,所以,所以,則,圖象的對稱軸是.因為,所以,則
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