2025屆河北省遷西一中高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題含解析

2025屆河北省遷西一中高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知分別是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A. B.C. D.2．若命題“或”與命題“非”都是真命題，則A.命題與命題都是真命題B.命題與命題都是假命題C.命題是真命題，命題是假命題D.命題是假命題，命題是真命題3．若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.且4．若實(shí)數(shù)滿足，則點(diǎn)不可能落在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5．某企業(yè)甲車間有200人，乙車間有300人，現(xiàn)用分層抽樣的方法在這兩個(gè)車間中抽取25人進(jìn)行技能考核，則從甲車間抽取的人數(shù)應(yīng)為（）A.5 B.10C.8 D.96．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)，則的值為A.2 B.1C. D.47．在三棱錐中，平面；記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A. B.C. D.8．已知A，B，C，D是同一球面上的四個(gè)點(diǎn)，其中是正三角形，平面，，則該球的表面積為（）A. B.C. D.9．已知直線，若異面，，則的位置關(guān)系是（）A.異面 B.相交C.平行或異面 D.相交或異面10．下列雙曲線中，以為一個(gè)焦點(diǎn)，以為一個(gè)頂點(diǎn)的雙曲線方程是（）A. B.C. D.11．某地區(qū)高中分三類，A類學(xué)校共有學(xué)生2000人，B類學(xué)校共有學(xué)生3000人，C類學(xué)校共有學(xué)生4000人，若采取分層抽樣的方法抽取900人，則A類學(xué)校中的學(xué)生甲被抽到的概率（）A. B.C. D.12．曲線的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線被圓截得的弦長(zhǎng)等于該圓的半徑，則實(shí)數(shù)_____.14．若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，則p的值為______15．已知點(diǎn)為雙曲線的左焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線l與雙曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)．若，則______16．已知為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和18．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l交拋物線于不同的A、B兩點(diǎn).（1）若直線l的方程為，求線段AB的長(zhǎng)；（2）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1，0)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A'，求證：A'、F、B三點(diǎn)共線.20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；21．（12分）2021年11月初某市出現(xiàn)新冠病毒感染者，該市教育局部署了“停課不停學(xué)”的行動(dòng)，老師們立即開展了線上教學(xué)．某中學(xué)為了解教學(xué)效果，于11月30日復(fù)課第一天安排了測(cè)試，數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高二年級(jí)學(xué)生這次測(cè)試的數(shù)學(xué)成績(jī)與每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)之間的相關(guān)關(guān)系，對(duì)在校高二學(xué)生隨機(jī)抽取45名進(jìn)行調(diào)查，了解到其中有25人每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)，并得到如下的統(tǒng)計(jì)圖：（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖填寫下面列聯(lián)表，是否有95%的把握認(rèn)為“高二學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成績(jī)與其每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)有關(guān)”；數(shù)學(xué)成績(jī)不超過(guò)120分?jǐn)?shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)120分總計(jì)每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)25每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)總計(jì)45（2）從被抽查的，且這次數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)120分的學(xué)生中，按分層抽樣的方法抽取5名，再?gòu)倪@5名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名，求這兩名同學(xué)中至多有一名每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)的概率附：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822．（10分）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.（1）求B（2）___________，若問(wèn)題中的三角形存在，試求出；若問(wèn)題中的三角形不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用及等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】分別是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，故，且，故，故選：D2、D【解析】因?yàn)榉莗為真命題，所以p為假命題，又p或q為真命題，所以q為真命題，選D.3、A【解析】根據(jù)雙曲線定義，且焦點(diǎn)在y軸上，則可直接列出相關(guān)不等式.【詳解】若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則必有：，且解得：故選：4、B【解析】作出給定的不等式組表示的平面區(qū)域，觀察圖形即可得解.【詳解】因?qū)崝?shù)滿足，作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分，觀察圖形知，陰影區(qū)域不過(guò)第二象限，即點(diǎn)不可能落在第二象限.故選：B5、B【解析】根據(jù)分層抽樣的定義即可求解.【詳解】從甲車間抽取的人數(shù)為人故選：B6、D【解析】本題首先可以通過(guò)直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)確定直線的斜率存在，然后設(shè)出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立，求出以及的值，然后通過(guò)拋物線的定義將化簡(jiǎn)，最后得出結(jié)果【詳解】因?yàn)橹本€交拋物線于不同的兩點(diǎn)，所以直線的斜率存在，設(shè)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線方程為，由可得，，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以根據(jù)拋物線的定義可知，，所以，綜上所述，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了拋物線的定義、過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線相交的相關(guān)性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，是中檔題7、A【解析】先得到三棱錐的每一個(gè)面都是直角三角形，然后可得與平面所成的角，二面角的平面角，在直角三角形中算出他們的余弦值，利用向量法計(jì)算直線與直線所成的角為的余弦值，然后比較大小.【詳解】令，由平面，且平面，又，，面三棱錐的每一個(gè)面都是直角三角形.與平面所成的角，二面角的平面角，由已知可得，，，又，則所以，又均為銳角，故選：A.8、C【解析】由題意畫出幾何體的圖形，把、、、擴(kuò)展為三棱柱，上下底面中心連線的中點(diǎn)與的距離為球的半徑，由此能求出球的表面積【詳解】把、、、擴(kuò)展為三棱柱，上下底面中心連線的中點(diǎn)與的距離為球的半徑，，，是正三角形，，，球的表面積為故選：C9、D【解析】以正方體為載體說(shuō)明即可.【詳解】如下圖所示的正方體：和是異面直線，，；和是異面直線，，與是異面直線.所以兩直線與是異面直線，，則的位置關(guān)系是相交或異面.故選：D10、C【解析】設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)題意，求得，即可選擇.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，故可設(shè)雙曲線方程為，且；又為一個(gè)頂點(diǎn)，故可得，解得，則雙曲線方程為：.故選：.11、D【解析】利用抽樣的性質(zhì)求解【詳解】所有學(xué)生數(shù)為，所以所求概率為.故選：D12、C【解析】由曲線方程直接求離心率即可.【詳解】由題設(shè)，，，∴離心率.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2或－4【解析】求出圓心到直線的距離，由幾何法表示出弦長(zhǎng)，列出等量關(guān)系，即可求出結(jié)果.【詳解】由得，所以圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，則由題可得，即，解得或.故答案為：2或.14、3【解析】利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程概念求解【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)為，所以焦點(diǎn)在y軸上，所以故答案：315、7【解析】先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)雙曲線的定義可求解.【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性，可知，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，由，可知點(diǎn)在雙曲線的左支，如下圖所示：由雙曲線定義有，又，所以.故答案為：16、【解析】由拋物線的幾何性質(zhì)知：，由圖知為的最小值，求長(zhǎng)度即可.【詳解】點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線方程為，作于，作于，∴，當(dāng)且僅當(dāng)為與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取得等號(hào)，∴的最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和求和公式求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合（1）求出，再令得出數(shù)列的正數(shù)項(xiàng)和負(fù)數(shù)項(xiàng)，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列求和公式求得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別為和，∴，解得：所以.【小問(wèn)2詳解】，所以.當(dāng)；當(dāng)，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.綜上：.18、（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）求得，分、兩種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）利用參變量分離法可得出對(duì)任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?因?yàn)?，由，可?①當(dāng)時(shí)，由可得，由可得.此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)且時(shí)，由，可得，令，其中，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，.19、（1）8；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求線段AB的長(zhǎng)；（2）設(shè)為，聯(lián)立拋物線由韋達(dá)定理可得，，應(yīng)用兩點(diǎn)式判斷是否為0即可證結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，則，，∴，，所以.【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)，，又直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1,0)，此時(shí)直線斜率必存在且不為0，可設(shè)為，聯(lián)立拋物線得：，則，，又，故，而，所以，所以A'、F、B三點(diǎn)共線.20、（1）（2）詳見(jiàn)解析【解析】（1）分別求得和，從而得到切線方程；（2）求導(dǎo)后，令求得兩根，分別在、和三種情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1），，，，又，在處的切線方程為.（2），令，解得：，.①當(dāng)時(shí)，若和時(shí)，；若時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，在上恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；③當(dāng)時(shí)，若和時(shí)，；若時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在某一點(diǎn)處的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的問(wèn)題，屬于?？碱}型.21、（1）表格見(jiàn)解析，有（2）【解析】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算填表即可；（2）根據(jù)古典概型計(jì)算公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可得：每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)不超過(guò)120分的有人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)120分的有人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)不超過(guò)120分的有人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)120分的有人，可得列聯(lián)表如下：數(shù)學(xué)成績(jī)不超過(guò)120分?jǐn)?shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)120分總計(jì)每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)151025每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)51520總計(jì)202545根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，所以有95%的把握認(rèn)為“高二學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成績(jī)與其每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)有關(guān)”【小問(wèn)2詳解】由列聯(lián)表可得，被抽查學(xué)生中這次數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)120分的有25人，其中每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)的有10人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)的有15人，人數(shù)比為2∶3，按分層抽樣每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)的抽2人，記為：1，2；每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)的抽3人，記為：a，b，c.所有可能結(jié)果如下：，共計(jì)10種．設(shè)事件A為“兩名同學(xué)中至多有一名每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)一小