陜西省西安市第七十中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

陜西省西安市第七十中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．命題p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)﹐它的絕對(duì)值不是正數(shù).則下列結(jié)論正確的是（）A.：任意實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值是正數(shù)，為假命題B.：任意實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值不是正數(shù)，為假命題C.：存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值是正數(shù)，為真命題D.：存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值是負(fù)數(shù)，為真命題2．設(shè)變量，滿(mǎn)足約束條件則的最小值為（）A.3 B.－3C.2 D.－23．某研究所為了研究近幾年中國(guó)留學(xué)生回國(guó)人數(shù)的情況，對(duì)2014至2018年留學(xué)生回國(guó)人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下表：年份20142015201620172018年份代碼12345留學(xué)生回國(guó)人數(shù)/萬(wàn)36.540.943.348.151.9根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)求得留學(xué)生回國(guó)人數(shù)（單位：萬(wàn)）與年份代碼滿(mǎn)足的線(xiàn)性回歸方程為，利用回歸方程預(yù)測(cè)年留學(xué)生回國(guó)人數(shù)為（）A.63.14萬(wàn) B.64.72萬(wàn)C.66.81萬(wàn) D.66.94萬(wàn)4．已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓C與的延長(zhǎng)線(xiàn)、的延長(zhǎng)線(xiàn)以及線(xiàn)段相切，若為其中一個(gè)切點(diǎn)，則（）A. B.C. D.與2的大小關(guān)系不確定5．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為（）A. B.C. D.16．若動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足方程，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）A. B.C. D.7．已知三棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，且平面，若該棱錐的體積為，，，，則此球的表面積等于（）A. B.C. D.8．在直三棱柱中，，，則直線(xiàn)與所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°9．函數(shù)的最小值是（）A.2 B.4C.5 D.610．已知直線(xiàn)與橢圓：（）相交于，兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)：上，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.11．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)，則（）A. B.0C. D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校開(kāi)展“讀書(shū)月”朗誦比賽，9位評(píng)委為選手A給出的分?jǐn)?shù)如右邊莖葉圖所示.記分員在去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后算得平均分為91，復(fù)核員在復(fù)核時(shí)發(fā)現(xiàn)有一個(gè)數(shù)字（莖葉圖中的x）無(wú)法看清，若記分員計(jì)算無(wú)誤，則數(shù)字x應(yīng)該是___________.選手A87899924x1514．已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.15．拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為_(kāi)____16．高二某位同學(xué)參加物理、政治科目的學(xué)考，已知這位同學(xué)在物理、政治科目考試中得A的概率分別為、，這兩門(mén)科目考試成績(jī)的結(jié)果互不影響，則這位考生至少得1個(gè)A的概率為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知圓錐SO底面圓的半徑r=1，直徑AB與直徑CD垂直，母線(xiàn)SA與底面所成的角為.（1）求圓錐SO的側(cè)面積；（2）若E為母線(xiàn)SA的中點(diǎn)，求二面角E-CD-B的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的焦距為4，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線(xiàn)l，使得F為的垂心（高的交點(diǎn)），若存在，求出直線(xiàn)l的方程：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求在處的切線(xiàn)方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù).（1）設(shè)x=2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.21．（12分）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，______.給出下列條件：①若展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于46；②所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256.試在上面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線(xiàn)上，并解答下列問(wèn)題：（1）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng).22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，底面，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）設(shè)點(diǎn)是平面上任意一點(diǎn)，直接寫(xiě)出線(xiàn)段長(zhǎng)度最小值.（不需證明）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱(chēng)量詞命題判斷，再利用特殊值判斷命題的真假；【詳解】解：因?yàn)槊}p“存在一個(gè)實(shí)數(shù)﹐它的絕對(duì)值不是正數(shù)”為存在量詞命題，其否定為“任意實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值是正數(shù)”，因?yàn)椋詾榧倜}；故選：A2、D【解析】轉(zhuǎn)化為，則最小即直線(xiàn)在軸上的截距最大，作出不等式組表示的可行域，數(shù)形結(jié)合即得解【詳解】轉(zhuǎn)化為，則最小即直線(xiàn)在軸上的截距最大作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線(xiàn)，平移該直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)時(shí)，在軸上的截距最大，最小，此時(shí)，故選：D3、D【解析】先求出樣本點(diǎn)的中心，代入線(xiàn)性回歸方程即可求出，再將代入線(xiàn)性回歸方程即可得到結(jié)果【詳解】由題意知：，，所以樣本點(diǎn)的中心為，所以，解得：，可得線(xiàn)性回歸方程為，年對(duì)應(yīng)的年份代碼為，令，則，所以預(yù)測(cè)2022年留學(xué)生回國(guó)人數(shù)為66.94萬(wàn)，故選：D.4、A【解析】由題意知，圓C是的旁切圓，點(diǎn)是圓C與軸的切點(diǎn)，設(shè)圓C與直線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)、分別相切于點(diǎn)、，由切線(xiàn)的性質(zhì)可知：，，，結(jié)合橢圓的定義，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，圓C是的旁切圓，點(diǎn)是圓C與軸的切點(diǎn)，設(shè)圓C與直線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)、分別相切于點(diǎn)、，則由切線(xiàn)的性質(zhì)可知：，，，所以，所以，所以.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與圓錐曲線(xiàn)的綜合，熟記橢圓的定義，以及切線(xiàn)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.5、B【解析】由可得拋物線(xiàn)標(biāo)椎方程為：，由焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)方程即可得解.【詳解】由可得拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以?huà)佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，故選：B【點(diǎn)睛】本題考了拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)相關(guān)基本量，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】根據(jù)方程可以利用幾何意義得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程，從而求出軌跡方程.【詳解】由題意得：到與的距離之和為8，且8>4，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：A7、D【解析】由條件確定三棱錐的外接球的球心位置及球的半徑，再利用球的表面積公式求外接球的表面積.【詳解】由已知，，，可得三棱錐的底面是直角三角形，，由平面可得就是三棱錐外接球的直徑，，，即，則，故三棱錐外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為故選：D.【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)等于球的直徑.8、B【解析】根據(jù)三棱柱的特征補(bǔ)全為正方體，則，為直線(xiàn)與所成角，連接，則為等邊三角形即可得解.【詳解】根據(jù)直三棱柱的特征，補(bǔ)全可得如圖所示的正方體，易知，為直線(xiàn)與所成角，連接，則為等邊三角形，所以，所以直線(xiàn)與所成角的大小為.故選：B9、C【解析】結(jié)合基本不等式求得所求的最小值.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：C10、A【解析】將直線(xiàn)代入橢圓方程整理得關(guān)于的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，再由條件得到，再由，，的關(guān)系和離心率公式，即可求出離心率.【詳解】解：將直線(xiàn)代入橢圓方程得，，即，設(shè)，，，，則，即中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，由于線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)上，則，又，則，，即橢圓的離心率為.故選：A11、B【解析】由題意可知且，構(gòu)造函數(shù)，可得出，由函數(shù)的單調(diào)性可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，可得出關(guān)于的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則且，由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由已知，所以，，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，所以，，解得.故選：B.12、B【解析】先求導(dǎo)，再代入求值.詳解】，所以.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】根據(jù)題意分和兩種情況討論，再根據(jù)平均分公式計(jì)算即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，則去掉的最低分?jǐn)?shù)為87分，最高分?jǐn)?shù)為95分，則，所以，當(dāng)時(shí)，則去掉的最低分?jǐn)?shù)為87分，最高分?jǐn)?shù)為分，則平均分為，與題意矛盾，綜上.故答案為：4.14、【解析】根據(jù)充分性和必要性，求得參數(shù)取值范圍，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閜：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分條件，故集合為集合的真子集，故只需.故答案為：.15、【解析】本題利用拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程得出拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程【詳解】由拋物線(xiàn)方程可知，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為：故答案為【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的確定，是基礎(chǔ)題16、【解析】根據(jù)給定條件利用相互獨(dú)立事件、對(duì)立事件的概率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，這位考生至少得1個(gè)A對(duì)立事件為物理、政治科目考試都沒(méi)有得A，其概率為，所以這位考生至少得1個(gè)A的概率為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）先根據(jù)母線(xiàn)與底面的夾角求出圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，然后根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式即可（2）利用三角形的中位線(xiàn)性質(zhì)，先求出二面角，然后利用二面角與二面角的互補(bǔ)關(guān)系即可求得【小問(wèn)1詳解】根據(jù)母線(xiàn)SA與底面所成的角為，且底面圓的半徑可得：則圓錐的側(cè)面積為：【小問(wèn)2詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作底面的垂線(xiàn)交于，連接，則為的中位線(xiàn)則有：，，易知，則，又直徑AB與直徑CD垂直，則則有：為二面角可得：又二面角與二面角互為補(bǔ)角，則二面角的余弦值為故二面角大小為18、（1）（2）存在：【解析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于a，b，c的關(guān)系，計(jì)算求值，即可得答案.（2）由（1）可得B、F點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線(xiàn)BF的斜率，根據(jù)F為垂心，可得，可得直線(xiàn)l的斜率，設(shè)出直線(xiàn)l的方程，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合垂心的性質(zhì)，列式求解，即可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榻咕酁?，所以，即，又過(guò)點(diǎn)，所以，又，聯(lián)立求得，所以橢圓C的方程為【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，所以，因?yàn)镕為垂心，直線(xiàn)BF與直線(xiàn)l垂直，所以，則，即直線(xiàn)l的斜率為1，設(shè)直線(xiàn)l的方程為，，與橢圓聯(lián)立得，，所以，因?yàn)镕為垂心，所以直線(xiàn)BN與直線(xiàn)MF垂直，所以，即，又，所以，即，所以，解得或，由，解得，又時(shí)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B，不符合題意，所以，所以存在直線(xiàn)l：，滿(mǎn)足題意.19、（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）.【解析】（1）根據(jù)在處取極值可得，可求得，驗(yàn)證可知滿(mǎn)足題意；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線(xiàn)斜率，利用點(diǎn)斜式可求得切線(xiàn)方程；（2）求導(dǎo)后，分別在和兩種情況下討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得到的單調(diào)性；（3）根據(jù)在上無(wú)零點(diǎn)可知在上的最大值和最小值符號(hào)一致；分別在，兩種情況下根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解最大值和最小值，利用符號(hào)一致構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得：在處取極值，解得：則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增為極小值點(diǎn)，滿(mǎn)足題意函數(shù)當(dāng)時(shí)，由得：在處的切線(xiàn)方程為：，即：（2）由題意知：函數(shù)的定義域?yàn)?，①?dāng)時(shí)若，恒成立，恒成立在內(nèi)單調(diào)遞減②當(dāng)時(shí)由，得：；由得：在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增綜上所述：當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增（3）①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減在上無(wú)零點(diǎn)，且②當(dāng)時(shí)（i）若，即，則在上單調(diào)遞增由，知符合題意（ii）若，即，則在上單調(diào)遞減在上無(wú)零點(diǎn)，且（iii）若，即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，符合題意綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用問(wèn)題，涉及到導(dǎo)數(shù)幾何意義、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍問(wèn)題.本題的關(guān)鍵是能夠通過(guò)分類(lèi)討論的方式，確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而判斷出函數(shù)的單調(diào)性以及最值.20、（1），的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析；【解析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出參數(shù)的值，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意可得，令，即證，，又，所以即證，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明其單調(diào)性，即可得解；【詳解】解：（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，所以，解得，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，所以上單調(diào)遞增，綜上可得的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明：依題意即證，即證，令，則，所以即證，因?yàn)?，所以即證，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，21、（1），；（2）.【解析】選擇①：，利用組合數(shù)公式，計(jì)算即可；選擇②：轉(zhuǎn)化為，計(jì)算即可（1）由于共9項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)和第6項(xiàng)，利用通項(xiàng)公式計(jì)算即可；（2）寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，令，即得解【詳解】選擇①.，即，即，即，解得或（舍去）.選擇②.，即，解得.（1）展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)和第6