吉林省長春市田家炳實驗中學2025屆高一數學第一學期期末質量檢測試題含解析

吉林省長春市田家炳實驗中學2025屆高一數學第一學期期末質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．關于三個數，，的大小，下面結論正確的是（）A. B.C. D.2．已知函數是冪函數，且在上是減函數，則實數m的值是（）A或2 B.2C. D.13．“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．下列四個函數中，以π為最小正周期，且在區(qū)間上單調遞減的是（）A. B.C. D.5．下列四組函數中，表示同一函數的一組是（）A. B.C. D.6．A. B.C.2 D.47．下圖記錄了某景區(qū)某年月至月客流量情況：根據該折線圖，下列說法正確的是（）A.景區(qū)客流量逐月增加B.客流量的中位數為月份對應的游客人數C.月至月的客流量情況相對于月至月波動性更小，變化比較平穩(wěn)D.月至月的客流量增長量與月至月的客流量回落量基本一致8．下列函數中既是奇函數，又在區(qū)間上是增函數的是（）A. B.C. D.9．某單位共有名職工，其中不到歲的有人，歲的有人，歲及以上的有人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從中抽出名職工了解他們的健康情況．如果已知歲的職工抽取了人，則歲及以上的職工抽取的人數為（）A. B.C. D.10．已知，則的大小關系是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．__________.12．當時，函數取得最大值，則_______________13．已知函數若存在實數使得函數的值域為，則實數的取值范圍是__________14．設三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且，則三棱錐的體積是______15．若，則______.16．一個底面積為1的正四棱柱的八個頂點都在同一球面上，若這個正四棱柱的高為，則該球的表面積為__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，某居民小區(qū)內建一塊直角三角形草坪，直角邊米，米，扇形花壇是草坪的一部分，其半徑為20米，為了便于居民平時休閑散步，該小區(qū)物業(yè)管理公司將在這塊草坪內鋪設兩條小路和，考慮到小區(qū)整體規(guī)劃，要求M、N在斜邊上，O在弧上（點O異于D，E兩點），，.（1）設，記，求的表達式，并求出此函數的定義域.（2）經核算，兩條路每米鋪設費用均為400元，如何設計的大小，使鋪路的總費用最低？并求出最低總費用.18．已知的頂點、、，試求：（1）求邊的中線所在直線方程；（2）求邊上的高所在直線的方程.19．已知是定義在上的奇函數.（1）求實數和的值；（2）根據單調性的定義證明：在定義域上為增函數.20．設函數（1）求函數的值域；（2）設函數，若對，求正實數a的取值范圍21．已知函數（且）的圖像經過點.（1）求函數的解析式；（2）若，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】引入中間變量0和2，即可得到答案；【詳解】，，，，故選：D2、C【解析】由函數是冪函數可得，解得或2，再討論單調性即可得出.【詳解】是冪函數，，解得或2，當時，在上是減函數，符合題意，當時，在上是增函數，不符合題意，.故選：C.3、A【解析】分別討論充分性與必要性，可得出答案.詳解】由題意，，顯然可以推出，即充分性成立，而不能推出，即必要性不成立.故“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.【點睛】本題考查充分不必要條件，考查不等式的性質，屬于基礎題.4、B【解析】先判斷各函數最小正周期，再確定各函數在區(qū)間上單調性，即可選擇判斷【詳解】對于A,最小正周期為2π,在區(qū)間上單調遞減，不合題意；對于B,最小正周期為π,在區(qū)間上單調遞減，符合題意；對于C,最小正周期為2π,在區(qū)間上單調遞減，不合題意；對于D,最小正周期為π,在區(qū)間上單調遞增，不合題意；故選：B.5、A【解析】判斷兩函數定義域與函數關系式是否一致即可；【詳解】解：．和的定義域都是，對應關系也相同，是同一函數；的定義域為，的定義域為，，定義域不同，不是同一函數；的定義域為，的定義域為，定義域不同，不是同一函數；的定義域為，的定義域為或，定義域不同，不是同一函數故選：6、D【解析】因，選D7、C【解析】根據折線圖，由中位數求法、極差的意義，結合各選項的描述判斷正誤即可.【詳解】A：景區(qū)客流量有增有減，故錯誤；B：由圖知：按各月份客流量排序為且是10個月份的客流量，因此數據的中位數為月份和月份對應客流量的平均數，故錯誤；C：由月至月的客流量相對于月至月的客流量：極差較小且各月份數據相對比較集中，故波動性更小，正確；D：由折線圖知：月至月的客流量增長量與月至月的客流量回落量相比明顯不同，故錯誤.故選：C8、B【解析】利用函數的定義域、奇偶性、單調性等性質分別對各選項逐一判斷即可得解.【詳解】對于A，函數圖象總在x軸上方，不是奇函數，A不滿足；對于B，函數在R上遞增，且，該函數是奇函數，B滿足；對于C，函數是偶函數，C不滿足；對于D，函數定義域是非零實數集，而，D不滿足.故選：B9、A【解析】計算抽樣比例，求出不到35歲的應抽取人數，再求50歲及以上的應抽取人數.【詳解】計算抽樣比例為，所以不到35歲的應抽取(人，所以50歲及以上的應抽取(人.故選：.10、B【解析】利用指數函數和對數函數的性質，三角函數的性質比較大小即可【詳解】∵，，∴；∵，∴；∵，∴，∴，又，，∴，∴綜上可知故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】應用誘導公式化簡求值即可.【詳解】原式.故答案為：1.12、【解析】利用三角恒等變換化簡函數，根據正弦型函數的最值解得，利用誘導公式求解即可.【詳解】解析：當時，取得最大值（其中），∴，即，∴故答案為：-3.13、【解析】當時，函數為減函數，且在區(qū)間左端點處有令，解得令，解得的值域為，當時，fx=x在，上單調遞增，在上單調遞減，從而當時，函數有最小值，即為函數在右端點的函數值為的值域為，則實數的取值范圍是點睛：本題主要考查的是分段函數的應用．當時，函數為減函數，且在區(qū)間左端點處有，當時，在，上單調遞增，在上單調遞減，從而當時，函數有最小值，即為，函數在右端點的函數值為，結合圖象即可求出答案14、【解析】根據錐體的體積公式，找到并求出三棱錐的高及底面面積即可求解.【詳解】由題意可知該三棱錐為棱長為2的正方體的一個角，如圖所示：所以故答案為：【點睛】本題考查錐體體積公式的應用，考查運算求解能力，屬于基礎題.15、【解析】根據指對互化，指數冪的運算性質，以及指數函數的單調性即可解出【詳解】由得，即，解得故答案為：16、【解析】底面為正方形，對角線長為.故圓半徑為，故球的表面積為.【點睛】本題主要考查幾何體的外接球問題.解決與幾何體外接球有關的數學問題時，主要是要找到球心所在的位置，并計算出球的半徑.尋找球心的一般方法是先找到一個面的外心，如本題中底面正方形的中心，球心就在這個外心的正上方，根據圖形的對稱性，易得球心就在正四棱柱中間的位置.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2），.【解析】（1）過作的垂線交與兩點，求出，即可求出的表達式，并求出此函數的定義域.（2）利用輔助角公式化簡，即可得出結果.【詳解】（1）如圖，過作的垂線交與兩點，則，，，，，則，，所以，，（2），，當，即時，總費用最少為.18、（1）；（2）.【解析】（1）求出線段的中點坐標，利用兩點式方程求出邊上的中線所在的直線方程；（2）求出邊所在直線的斜率，進而可以求出邊上的高所在直線的斜率，利用點斜式求邊上的高所在的直線方程【詳解】解：（1）線段的中點坐標為所以邊上的中線所在直線的方程是：，即；（2）由已知，則邊上高的斜率是，邊上的高所在直線方程是，即【點睛】本題考查直線的點斜式，兩點式求直線的方程，屬于基礎題19、（1）；（2）見詳解2.【解析】（1）由可得，再求值.（2）設，作差與零比較.【小問1詳解】因為是定義在上的奇函數，所以，，，【小問2詳解】設，則，，，，所以，，故在定義域上為增函數.20、（1）函數的值域為.（2）【解析】(1)由已知，利用基本不等式可求函數的值域；(2)由對可得函數函數在上的值域包含與函數在上的值域，由此可求正實數a的取值范圍【小問1詳解】，，則，當且僅當時取“=”，所以，即函數的值域為.【小問2詳解】設，因為所以，函數在上單調遞增，則函數在上單調遞增，，設時，函數的值域為A．由題意知．函數圖象的對稱軸為，當，即時，函