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文檔簡介
2025屆浙江省溫州市第五十一中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.()A. B. C. D.2.某四棱錐的三視圖如圖所示,記S為此棱錐所有棱的長度的集合,則()A.B.C.D.3.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為,直線與其相交于,兩點(diǎn),若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則此雙曲線的方程是A. B.C. D.4.已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖與側(cè)視圖是全等的直角三角形,則該幾何體的各個(gè)面中,最大面的面積為()A.2 B.5 C. D.5.若復(fù)數(shù)滿足,則的虛部為()A.5 B. C. D.-56.已知,,,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.7.已知數(shù)列中,,若對(duì)于任意的,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.8.函數(shù)的大致圖象為()A. B.C. D.9.已知三棱錐中,是等邊三角形,,則三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.10.根據(jù)如圖所示的程序框圖,當(dāng)輸入的值為3時(shí),輸出的值等于()A.1 B. C. D.11.已知等式成立,則()A.0 B.5 C.7 D.1312.如下的程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的a,b分別為176,320,則輸出的a為()A.16 B.18 C.20 D.15二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線(a>0,b>0)的一條漸近線方程為,則該雙曲線的離心率為_______.14.函數(shù)的值域?yàn)開____.15.定義,已知,,若恰好有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.16.已知關(guān)于的不等式對(duì)于任意恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若在處導(dǎo)數(shù)相等,證明:;(2)若對(duì)于任意,直線與曲線都有唯一公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)某校共有學(xué)生2000人,其中男生900人,女生1100人,為了調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間,采用分層抽樣的方法收集該校100名學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間(單位:小時(shí)).(1)應(yīng)抽查男生與女生各多少人?(2)根據(jù)收集100人的樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間的頻率分布表:時(shí)間(小時(shí))[0,1](1,2](2,3](3,4](4,5](5,6]頻率0.050.200.300.250.150.05若在樣本數(shù)據(jù)中有38名男學(xué)生平均每周課外體育鍛煉時(shí)間超過2小時(shí),請(qǐng)完成每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別有關(guān)”?男生女生總計(jì)每周平均體育鍛煉時(shí)間不超過2小時(shí)每周平均體育鍛煉時(shí)間超過2小時(shí)總計(jì)附:K2.P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87919.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求在點(diǎn)處的切線方程;(Ⅱ)求證:在上存在唯一的極大值;(Ⅲ)直接寫出函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).20.(12分)已知定點(diǎn),,直線、相交于點(diǎn),且它們的斜率之積為,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線。(1)求曲線的方程;(2)過點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn),是否存在定點(diǎn),使得直線與斜率之積為定值,若存在,求出坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由。21.(12分)已知函數(shù),.(1)若不等式對(duì)恒成立,求的最小值;(2)證明:.(3)設(shè)方程的實(shí)根為.令若存在,,,使得,證明:.22.(10分)已知都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列,且滿足其中是數(shù)列的前項(xiàng)和,是公差為的等差數(shù)列.(1)若數(shù)列是常數(shù)列,,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若是不為零的常數(shù)),求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(3)若(為常數(shù),),.求證:對(duì)任意的恒成立.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
利用,根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡,可得,然后利用兩角差的正弦定理,可得結(jié)果.【詳解】由所以,所以原式所以原式故故選:D【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式,關(guān)鍵在于掌握公式,屬基礎(chǔ)題.2、D【解析】
如圖所示:在邊長為的正方體中,四棱錐滿足條件,故,得到答案.【詳解】如圖所示:在邊長為的正方體中,四棱錐滿足條件.故,,.故,故,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖,元素和集合的關(guān)系,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.3、D【解析】
根據(jù)點(diǎn)差法得,再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得,解方程組得,,即得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為,由題意可得,設(shè),,則的中點(diǎn)為,由且,得,,即,聯(lián)立,解得,,故所求雙曲線的方程為.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用點(diǎn)差法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程,考查基本求解能力,屬于中檔題.4、D【解析】
根據(jù)三視圖還原出幾何體,找到最大面,再求面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)三棱錐,如圖所示,將其放在一個(gè)長方體中,并記為三棱錐.,,,故最大面的面積為.選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識(shí)別,復(fù)雜的三視圖還原為幾何體時(shí),一般借助長方體來實(shí)現(xiàn).5、C【解析】
把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.【詳解】由(1+i)z=|3+4i|,得z,∴z的虛部為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.6、A【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,借助特殊值即可比較大小.【詳解】因?yàn)?,所?因?yàn)?,所以,因?yàn)?,為增函?shù),所以所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.7、B【解析】
先根據(jù)題意,對(duì)原式進(jìn)行化簡可得,然后利用累加法求得,然后不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立,再利用函數(shù)性質(zhì)解不等式即可得出答案.【詳解】由題,即由累加法可得:即對(duì)于任意的,不等式恒成立即令可得且即可得或故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)的求法以及函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用,屬于綜合性較強(qiáng)的題目,解題的關(guān)鍵是能夠由遞推數(shù)列求出通項(xiàng)公式和后面的轉(zhuǎn)化函數(shù),屬于難題.8、A【解析】
利用特殊點(diǎn)的坐標(biāo)代入,排除掉C,D;再由判斷A選項(xiàng)正確.【詳解】,排除掉C,D;,,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問題,代入特殊點(diǎn),采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法,屬于中檔題.9、D【解析】
根據(jù)底面為等邊三角形,取中點(diǎn),可證明平面,從而,即可證明三棱錐為正三棱錐.取底面等邊的重心為,可求得到平面的距離,畫出幾何關(guān)系,設(shè)球心為,即可由球的性質(zhì)和勾股定理求得球的半徑,進(jìn)而得球的表面積.【詳解】設(shè)為中點(diǎn),是等邊三角形,所以,又因?yàn)?,且,所以平面,則,由三線合一性質(zhì)可知所以三棱錐為正三棱錐,設(shè)底面等邊的重心為,可得,,所以三棱錐的外接球球心在面下方,設(shè)為,如下圖所示:由球的性質(zhì)可知,平面,且在同一直線上,設(shè)球的半徑為,在中,,即,解得,所以三棱錐的外接球表面積為,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的結(jié)構(gòu)特征和相關(guān)計(jì)算,正三棱錐的外接球半徑求法,球的表面積求法,對(duì)空間想象能力要求較高,屬于中檔題.10、C【解析】
根據(jù)程序圖,當(dāng)x<0時(shí)結(jié)束對(duì)x的計(jì)算,可得y值.【詳解】由題x=3,x=x-2=3-1,此時(shí)x>0繼續(xù)運(yùn)行,x=1-2=-1<0,程序運(yùn)行結(jié)束,得,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖,是基礎(chǔ)題.11、D【解析】
根據(jù)等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進(jìn)行求解即可.【詳解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查了特殊值代入法,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.12、A【解析】
根據(jù)題意可知最后計(jì)算的結(jié)果為的最大公約數(shù).【詳解】輸入的a,b分別為,,根據(jù)流程圖可知最后計(jì)算的結(jié)果為的最大公約數(shù),按流程圖計(jì)算,,,,,,,易得176和320的最大公約數(shù)為16,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查的是利用更相減損術(shù)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),難度較易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)題意,由雙曲線的漸近線方程可得,即a=2b,進(jìn)而由雙曲線的幾何性質(zhì)可得cb,由雙曲線的離心率公式計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,雙曲線的漸近線方程為y=±x,又由該雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y=0,即yx,則有,即a=2b,則cb,則該雙曲線的離心率e;故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),關(guān)鍵是分析a、b之間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
利用配方法化簡式子,可得,然后根據(jù)觀察法,可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)樗院瘮?shù)的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題考查的是用配方法求函數(shù)的值域問題,屬基礎(chǔ)題。15、【解析】
根據(jù)題意,分類討論求解,當(dāng)時(shí),根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)無零點(diǎn),不合題意;當(dāng)時(shí),令,得,令,得或,再分當(dāng),兩種情況討論求解.【詳解】由題意得:當(dāng)時(shí),在軸上方,且為增函數(shù),無零點(diǎn),至多有兩個(gè)零點(diǎn),不合題意;當(dāng)時(shí),令,得,令,得或,如圖所示:當(dāng)時(shí),即時(shí),要有3個(gè)零點(diǎn),則,解得;當(dāng)時(shí),即時(shí),要有3個(gè)零點(diǎn),則,令,,所以在是減函數(shù),又,要使,則須,所以.綜上:實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù),指數(shù)函數(shù)的圖象和分段函數(shù)的零點(diǎn)問題,還考查了分類討論的思想和運(yùn)算求解的能力,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,屬于中檔題.16、【解析】
先將不等式對(duì)于任意恒成立,轉(zhuǎn)化為任意恒成立,設(shè),求出在內(nèi)的最小值,即可求出的取值范圍.【詳解】解:由題可知,不等式對(duì)于任意恒成立,即,又因?yàn)?,,?duì)任意恒成立,設(shè),其中,由不等式,可得:,則,當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,又因?yàn)樵趦?nèi)有解,,則,即:,所以實(shí)數(shù)的取值范圍:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問題,利用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù),通過求新函數(shù)的最值求出參數(shù)范圍,考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(I)見解析(II)【解析】
(1)由題x>0,,由f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)處導(dǎo)數(shù)相等,得到,得,由韋達(dá)定理得,由基本不等式得,得,由題意得,令,則,令,,利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明.(2)由得,令,利用反證法可證明證明恒成立.由對(duì)任意,只有一個(gè)解,得為上的遞增函數(shù),得,令,由此可求的取值范圍..【詳解】(I)令,得,由韋達(dá)定理得即,得令,則,令,則,得(II)由得令,則,,下面先證明恒成立.若存在,使得,,,且當(dāng)自變量充分大時(shí),,所以存在,,使得,,取,則與至少有兩個(gè)交點(diǎn),矛盾.由對(duì)任意,只有一個(gè)解,得為上的遞增函數(shù),得,令,則,得【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其應(yīng)用,同時(shí)考查邏輯思維能力和綜合應(yīng)用能力屬難題.18、(1)男生人數(shù)為人,女生人數(shù)55人.(2)列聯(lián)表答案見解析,有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別有關(guān).【解析】
(1)求出男女比例,按比例分配即可;(2)根據(jù)題意結(jié)合頻率分布表,先求出二聯(lián)表中數(shù)值,再結(jié)合公式計(jì)算,利用表格數(shù)據(jù)對(duì)比判斷即可【詳解】(1)因?yàn)槟猩藬?shù):女生人數(shù)=900:1100=9:11,所以男生人數(shù)為,女生人數(shù)100﹣45=55人,(2)由頻率頻率直方圖可知學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間超過2小時(shí)的人數(shù)為:(1×0.3+1×0.25+1×0.15+1×0.05)×100=75人,每周平均體育鍛煉時(shí)間超過2小時(shí)的女生人數(shù)為37人,聯(lián)表如下:男生女生總計(jì)每周平均體育鍛煉時(shí)間不超過2小時(shí)71825每周平均體育鍛煉時(shí)間超過2小時(shí)383775總計(jì)4555100因?yàn)?.892>3.841,所以有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣,獨(dú)立性檢驗(yàn),熟記公式,正確計(jì)算是關(guān)鍵,屬于中檔題.19、(Ⅰ);(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ)函數(shù)在有3個(gè)零點(diǎn).【解析】
(Ⅰ)求出導(dǎo)數(shù),寫出切線方程;(Ⅱ)二次求導(dǎo),判斷單調(diào)遞減,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理,判斷即可;(Ⅲ),數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論.【詳解】解:(Ⅰ),,,故在點(diǎn),處的切線方程為,即;(Ⅱ)證明:,,,故在遞減,又,,由零點(diǎn)存在性定理,存在唯一一個(gè)零點(diǎn),,當(dāng)時(shí),遞增;當(dāng)時(shí),遞減,故在只有唯一的一個(gè)極大值;(Ⅲ)函數(shù)在有3個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程,考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,關(guān)鍵是能夠通過導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)性,屬于難題.20、(1);(2)存在定點(diǎn),見解析【解析】
(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn),則,利用,求出曲線的方程.(2)由已知直線過點(diǎn),設(shè)的方程為,則聯(lián)立方程組,消去得,設(shè),,,利用韋達(dá)定理求解直線的斜率,然后求解指向性方程,推出結(jié)果.【詳解】解:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn),則,,,即,化簡得:。由已知,故曲線的方程為。(2)由已知直線過點(diǎn),設(shè)的方程為,則聯(lián)立方程組,消去得,設(shè),,則又直線與斜率分別為,,則。當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,。所以存在定點(diǎn),使得直線與斜率之積為定值?!军c(diǎn)睛】本題考查軌跡方程的求法,直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.21、(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【解析】
(1)由題意可得,,令,利用導(dǎo)數(shù)得在上單調(diào)遞減,進(jìn)而可得結(jié)論;(2)不等式轉(zhuǎn)化為,令,,利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性即可得到答案;(3)由題意可得,進(jìn)而可將不等式轉(zhuǎn)化為,再利用單調(diào)性可得,記,,再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增,即,即,即可得到結(jié)論.【詳解】(1),即,化簡可得.令,,因?yàn)?,所以?所以,在上單調(diào)遞減,.所以的最小值為.(2)要證,即.兩邊同除以可得.設(shè),則.在上,,所以在上單調(diào)遞減.在上,,所以在上單調(diào)遞增,所以.設(shè),因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù),所以.所以,即.(3)證明:
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