2025屆北京豐臺十二中數(shù)學高二上期末考試模擬試題含解析

2025屆北京豐臺十二中數(shù)學高二上期末考試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點P在拋物線上，點Q在圓上，則的最小值為（）A. B.C. D.2．已知是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，線段的垂直平分線過，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（）A. B.3C.6 D.3．在平面直角坐標系中，線段的兩端點，分別在軸正半軸和軸正半軸上滑動，若圓上存在點是線段的中點，則線段長度的最小值為（）A.4 B.6C.8 D.104．已知空間向量，，，若，，共面，則m＋2t＝（）A.－1 B.0C.1 D.－65．已知平面直角坐標系內(nèi)一動點P，滿足圓上存在一點Q使得，則所有滿足條件的點P構(gòu)成圖形的面積為（）A. B.C. D.6．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，且，當時，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.7．已知命題對任意，總有；是方程的根則下列命題為真命題的是A. B.C. D.8．已知三維數(shù)組，，且，則實數(shù)（）A.-2 B.-9C. D.29．“”是“函數(shù)在上有極值”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．命題“若，則”的逆命題、否命題、逆否命題中是真命題的個數(shù)為（）A.0個 B.1個C.2個 D.3個11．已知雙曲線，則雙曲線M的漸近線方程是（）A. B.C. D.12．直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，則有（）A.， B.，C.， D.，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．數(shù)據(jù)：1，1，3，4，6的方差是______.14．如圖，一個小球從10m高處自由落下，每次著地后又彈回到原來高度的，若已知小球經(jīng)過的路程為，則小球落地的次數(shù)為______15．命題“任意，”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是______.16．已知正方體的棱長為為的中點，為面內(nèi)一點．若點到面的距離與到直線的距離相等，則三棱錐體積的最小值為__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知三角形的內(nèi)角所對的邊分別為，且C為鈍角.（1）求cosA；（2）若，，求三角形的面積.18．（12分）某企業(yè)計劃新購買臺設(shè)備，并將購買的設(shè)備分配給名年齡不同（視為技術(shù)水平不同）的技工加工一批模具，因技術(shù)水平不同而加工出的產(chǎn)品數(shù)量不同，故產(chǎn)生的經(jīng)濟效益也不同.若用變量表示不同技工的年齡，變量為相應的效益值（元），根據(jù)以往統(tǒng)計經(jīng)驗，他們的工作效益滿足最小二乘法，且關(guān)于的線性回歸方程為（1）試預測一名年齡為歲的技工使用該設(shè)備所產(chǎn)生的經(jīng)濟效益；（2）試根據(jù)的值判斷使用該批設(shè)備的技工人員所產(chǎn)生的的效益與技工年齡的相關(guān)性強弱（，則認為與線性相關(guān)性很強；，則認為與線性相關(guān)性不強）；（3）若這批設(shè)備有兩道獨立運行的生產(chǎn)工序，且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是，.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本不增加；若工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加萬元；若工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加萬元；若兩道工序都出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加萬元.求這批設(shè)備增加的生產(chǎn)成本的期望參考數(shù)據(jù)：，參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，，.19．（12分）如圖，在長方體中，，．點E在上，且（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值20．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.21．（12分）已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，其中為指數(shù)函數(shù)且的圖象過點（1）求的表達式；（2）若對任意的．不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；22．（10分）已知圓D經(jīng)過點A（-1，0），B（3，0），C（1，2）.（1）求圓D的標準方程；（2）若直線l：與圓D交于M、N兩點，求線段MN的長度.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】先計算拋物線上的點P到圓心距離的最小值，再減去半徑即可.【詳解】設(shè)，由圓心，得，∴時，，∴故選：C.2、C【解析】利用橢圓和雙曲線的性質(zhì)，用橢圓雙曲線的焦距長軸長表示，再利用均值不等式得到答案【詳解】設(shè)橢圓長軸，雙曲線實軸，由題意可知：，又，，兩式相減，可得：，，.，，當且僅當時取等號，的最小值為6，故選：C【點睛】本題考查了橢圓雙曲線的性質(zhì)，用橢圓雙曲線的焦距長軸長表示是解題的關(guān)鍵，意在考查學生的計算能力3、C【解析】首先求點的軌跡，將問題轉(zhuǎn)化為兩圓有交點，即根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，求參數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，的中點為，則，故點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，問題轉(zhuǎn)化為圓與圓有交點，所以，，即，解得：，所以線段長度的最小值為.故選：C4、D【解析】根據(jù)向量共面列方程，化簡求得.【詳解】，所以不共線，由于，，共面，所以存在，使，即，，，，，即.故選：D5、D【解析】先找臨界情況當PQ與圓C相切時，，進而可得滿足條件的點P形成的圖形為大圓（包括內(nèi)部），即求.【詳解】當PQ與圓C相切時，，這種情況為臨界情況，當P往外時無法找到點Q使，當P往里時，可以找到Q使，故滿足條件的點P形成的圖形為大圓（包括內(nèi)部），如圖，由圓，可知圓心，半徑為1，則大圓的半徑為，∴所有滿足條件的點P構(gòu)成圖形的面積為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是找出臨界情況時點所滿足的條件，進而即可得到動點滿足條件的圖形，問題即可解決.6、D【解析】設(shè)，則，分析可得為偶函數(shù)且，求出的導數(shù)，分析可得在上為減函數(shù)，進而分析可得上，，在上，，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得上，，在上，，又由即，則有或，據(jù)此分析可得答案【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則，若奇函數(shù)，則，則有，即函數(shù)為偶函數(shù)，又由，則，則，，又由當時，，則在上為減函數(shù)，又由，則在上，，在上，，又由為偶函數(shù)，則在上，，在上，，即，則有或，故或，即不等式的解集為；故選：D7、A【解析】由絕對值的意義可知命題p為真命題；由于，所以命題q為假命題；因此為假命題，為真命題，“且”字聯(lián)結(jié)的命題只有當兩命題都真時才是真命題，所以答案選A8、D【解析】由空間向量的數(shù)量積運算即可求解【詳解】∵，，，，，，且，∴，解得故選：D9、B【解析】對求導，取得函數(shù)在上有極值的等價條件，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【詳解】解：，則，令，可得，當時，，當時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在處取得極小值，若函數(shù)在上有極值，則，，因為，但是由推不出，因此是函數(shù)在上有極值的必要不充分條件故選：B10、B【解析】先判斷出原命題和逆命題的真假，進而根據(jù)互為逆否的兩個命題同真或同假最終得到答案.【詳解】“若a=0，則ab=0”，命題為真，則其逆否命題也為真；逆命題為：“若ab=0，則a=0”，顯然a=1，b=0時滿足ab=0，但a≠0，即逆命題為假，則否命題也為假.故選：B.11、C【解析】由雙曲線的方程直接求出見解析即可.【詳解】由雙曲線，則其漸近線方程為：故選：C12、B【解析】將直線方程的一般形式化為截距式，由此可得其在x軸和y軸上的截距.【詳解】直線方程化成截距式為，所以，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##3.6【解析】先計算平均數(shù)，再計算方差.【詳解】該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為故答案為：14、4【解析】設(shè)小球從第（n-1）次落地到第n次落地時經(jīng)過的路程為m，則由已知可得數(shù)列是從第2項開始以首項為，公比為的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得，再設(shè)設(shè)小球第n次落地時，經(jīng)過的路程為，由等比數(shù)列的求和公式建立方程求解即可.【詳解】解：設(shè)小球從第（n-1）次落地到第n次落地時經(jīng)過的路程為m，則當時，得出遞推關(guān)系，所以數(shù)列是從第2項開始以首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，且，設(shè)小球第n次落地時，經(jīng)過的路程為，所以，所以，解得，故答案為：4.15、【解析】分離常數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化求函數(shù)最值問題.【詳解】任意，恒成立恒成立，故只需，記，，易知，所以.故答案為：16、##【解析】由題意可知，點在平面內(nèi)的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，如圖在底面建立平面直角坐標系，求出拋物線方程，直線的方程，將直線向拋物線平移，恰好與拋物線相切時，切點為點，此時的面積最小，則三棱錐體積的最小【詳解】因為為面內(nèi)一點，且點到面的距離與到直線的距離相等，所以點在平面內(nèi)的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，如圖在底面，以所在的直線為軸，以的中垂線為軸建立平面直角坐標系，則,設(shè)拋物線方程為，則，得，所以拋物線方程為，，直線的方程為，即，設(shè)與直線平行且與拋物線相切的直線方程為，由，得，由，得，所以與拋物線相切的直線為，此時切點為，且的面積最小，因為點到直線的距離為，所以的面積的最小值為，所以三棱錐體積的最小值為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理邊化角，可求得角的正弦，由同角關(guān)系結(jié)合條件可得答案.(2)由（1），由余弦定理，求出邊的長，進一步求得面積【小問1詳解】因為，由正弦定理得因，所以.因為角為鈍角，所以角為銳角，所以【小問2詳解】由(1)，由余弦定理，得，所以，解得或，不合題意舍去，故的面積為=18、（1）元；（2）使用該批設(shè)備的技工人員所產(chǎn)生的的效益與技工年齡的相關(guān)性強；（3）0.13萬元.【解析】（1）直接把代入線性回歸方程即得解；（2）先求出，再代公式求出相關(guān)系數(shù)比較即得解；（3）設(shè)增加的生產(chǎn)成本為ξ（萬元），則ξ的可能取值為0，2，3，5，求出對應的概率即得解.小問1詳解】解：當時，.所以預測一名年齡為歲的技工使用該設(shè)備所產(chǎn)生的經(jīng)濟效益為元.【小問2詳解】解：由題得，所以，所以.因為，所以與線性相關(guān)性很強.所以使用該批設(shè)備的技工人員所產(chǎn)生的的效益與技工年齡的相關(guān)性強.【小問3詳解】解：設(shè)增加的生產(chǎn)成本為ξ（萬元），則ξ的可能取值為0，2，3，5P（ξ＝0）＝（1﹣0.02）×（1﹣0.03）＝0.9506，P（ξ＝2）＝0.02×（1﹣0.03）＝0.0194，P（ξ＝3）＝（1﹣0.02）×0.03＝0.0294，P（ξ＝5）＝0.02×0.03＝0.0006所以Eξ＝0×0.9506+2×0.0194+3×0.0294+5×0.0006＝0.13（萬元），所以這批設(shè)備增加的生產(chǎn)成本的期望為0.13萬元.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，分別寫出，，的坐標，證明，，即可得證；（2）由（1）知，的法向量為，直接寫出平面法向量，按照公式求解即可.【小問1詳解】在長方體中，以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系因為，，所以，，，，，則，，，所以有，，則，，又所以平面小問2詳解】由（1）知平面的法向量為，而平面法向量為所以，由圖知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為20、（1）（2），【解析】(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求解；(2)根據(jù)導數(shù)的正負判斷f(x)的單調(diào)性，根據(jù)其單調(diào)性即可求最大值和最小值.【小問1詳解】，切點為(1，－2)，∵，∴切線斜率，切線方程為；【小問2詳解】令，解得，1200極大值極小值2∵，，∴當時，，.21、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)（且），因為的圖象過點，求得a的值，再根據(jù)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，利用f(0)=0即可求得n的值，得到f(x)的解析式，檢驗是奇函數(shù)即可；（2）將分式分離常數(shù)后，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以判定f(x)在R上單調(diào)遞減，進而結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得對于對任意的恒成立時a的取值范圍即可.【詳解】解：（1）由題意，設(shè)（且），因為的圖象過點，可得，解得，即，所以，又因為為上的奇函數(shù)，可得，即，解得，經(jīng)檢驗，符合，所以（2）由函數(shù)，可得在上單調(diào)遞減，又因為為奇函數(shù)，所以，所以，即，又因為對任意的，不等式恒成立，令，即對任意的恒成立，可得，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)和函