八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)-軸對(duì)稱(chēng)填空選擇專(zhuān)題練習(xí)(解析版)

一、八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形填空題（難）1．如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA的長(zhǎng)分別為30、40、15，點(diǎn)P是三條角平分線的交點(diǎn)，將△ABC分成三個(gè)三角形，則︰︰等于____．【答案】6：8：3【解析】【分析】由角平分線性質(zhì)可知，點(diǎn)P到三角形三邊的距離相等，即三個(gè)三角形的AB、BC、CA邊上的高相等，利用面積公式即可求解.【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于D，PE⊥CA于E，PF⊥AB于F∵P是三條角平分線的交點(diǎn)∴PD=PE=PF∵AB=30，BC=40，CA=15∴︰︰=30∶40∶15=6∶8∶3故答案為6∶8∶3.【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)和三角形面積的求法.角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等.難度不大，作輔助線是關(guān)鍵.2．如圖，△ABC是等邊三角形，AE＝CD，AD、BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥DA于Q，PQ＝3，EP＝1，則DA的長(zhǎng)是________.【答案】7【解析】試題解析：∵△ABC為等邊三角形，∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；又∵AE=CD，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD；∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°，則∠PBQ=90°-60°=30°；∵PQ=3，∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；又∵PE=1，∴AD=BE=BP+PE=7．故答案為7.3．在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，∠C＜90°，若∠B滿(mǎn)足條件：______________，則△ABC≌△DEF．【答案】∠B≥∠A．【解析】【分析】雖然題目中∠B為銳角,但是需要對(duì)∠B進(jìn)行分類(lèi)探究會(huì)理解更深入：可按“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行，最后得出∠B、∠E都是銳角時(shí)兩三角形全等的條件．【詳解】解：需分三種情況討論：第一種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí)：如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，可知：△ABC與△DEF一定全等，依據(jù)的判定方法是HL；第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)：如圖②，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，過(guò)點(diǎn)F作DH⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于H．∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角．∴180°-∠B=180°-∠E，即∠CBG=∠FEH．在△CBG和△FEH中，∴△CBG≌△FEH（AAS），∴CG=FH，在Rt△ACG和Rt△DFH中，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS）；第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時(shí)：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，小明在△ABC中（如圖③）以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)D，假設(shè)E與B重合，F(xiàn)與C重合，得到△DEF與△ABC符號(hào)已知條件，但是△AEF與△ABC一定不全等，所以有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等；由圖③可知，∠A=∠CDA=∠B+∠BCD，∴∠A＞∠B，∴當(dāng)∠B≥∠A時(shí)，△ABC就唯一確定了，則△ABC≌△DEF．故答案為：∠B≥∠A．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查全等三角形的判定與性質(zhì)，應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．4．如圖：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC邊上的中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②EF=AP；③2S四邊形AEPF=S△ABC；④當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A，B重合）有BE+CF=EF；上述結(jié)論中始終正確的序號(hào)有__________．【答案】①③【解析】【分析】根據(jù)題意，容易證明△AEP≌△CFP，然后能推理得到①③都是正確．【詳解】∵AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，∴∠EAP=∠BAC=45°，AP=BC=CP．①在△AEP與△CFP中，∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°-∠APF，∴△AEP≌△CFP，∴AE=CF．正確；②只有當(dāng)F在AC中點(diǎn)時(shí)EF=AP，故不能得出EF=AP，錯(cuò)誤；③∵△AEP≌△CFP，同理可證△APF≌△BPE．∴S四邊形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=S△ABC，即2S四邊形AEPF=S△ABC；正確；④根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，EF=PE，所以，EF隨著點(diǎn)E的變化而變化，只有當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，EF=PE=AP，在其它位置時(shí)EF≠AP，故④錯(cuò)誤；故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證得△AEP和△CFP全等是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破點(diǎn)．5．AD、BE是△ABC的高，這兩條高所在的直線相交于點(diǎn)O，若BO=AC，則∠ABC=______.【答案】45°或135°【解析】【分析】分別討論△ABC為銳角三角形時(shí)、∠A、∠B、∠C分別為鈍角時(shí)和∠A為直角時(shí)五種情況，利用AAS證明△BOD≌△ACD，可得BD=AD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得答案.【詳解】①如圖，當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，∵AD、BE為△ABC的兩條高，∴∠CAD+∠AOE=90°，∠CBE+∠BOD=90°，∵∠BOD=∠AOE，∴∠CAD=∠OBD，又∵∠ODB=∠ADC=90°，OB=AC，∴△BOD≌△ACD，∴AD=BD，∵AD⊥BC，∴∠ABC=45°，②如圖，當(dāng)∠B為鈍角時(shí)，∵∠C+∠CAD=90°，∠O+∠CAD=90°，∴∠C=∠O，又∵∠ADC=∠ODB=90°，OB=AC，∴△BOD≌△ACD，∴BD=AD，∵AD⊥BC，∴∠ABD=45°，∴∠ABC=180°-45°=135°.③如圖，當(dāng)∠A為鈍角時(shí)，同理可證：△BOD≌△ACD，∴AD=BD.∴∠ABC=45°，④如圖，當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，同理可證：△BOD≌△ACD，∴AD=BD.∴∠ABC=45°.⑤當(dāng)∠B為直角時(shí)，點(diǎn)O、D、B重合，OB=0，不符合題意，當(dāng)∠C為直角時(shí)，點(diǎn)O、C、D、E重合，CD=0，不符合題意，如圖，當(dāng)∠A為直角時(shí)，點(diǎn)A、E、O重合，∵OB=AC，∠CAB=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°.綜上所述：∠ABC的度數(shù)為45°或135°.故答案為：45°或135°【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定方法有：SSS、AAS、ASA、SAS、HL等，注意：SAS時(shí)，角必須是兩邊的夾角，SSA和AAA不能判定兩個(gè)三角形全等.靈活運(yùn)用分類(lèi)討論的思想是解題關(guān)鍵.6．如圖，要在河流的南邊，公路的左側(cè)M區(qū)處建一個(gè)工廠，位置選在到河流和公路的距離相等，并且到河流與公路交叉A處的距離為1cm(指圖上距離)，則圖中工廠的位置應(yīng)在_____.【答案】∠BAC的平分線上，與A相距1cm的地方.【解析】【分析】由已知條件及要求滿(mǎn)足的條件，根據(jù)角平分線的性質(zhì)作答，注意距A1cm處．【詳解】工廠的位置應(yīng)在∠BAC的平分線上，與A相距1cm的地方；理由：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．【點(diǎn)睛】此題考查角平分線的性質(zhì)：角平分線上的任意一點(diǎn)到角的兩邊距離相等．作圖題一定要找到相關(guān)的知識(shí)為依托，同時(shí)滿(mǎn)足多個(gè)要求時(shí)，要逐個(gè)滿(mǎn)足．7．如圖，在中，.點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接FD并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，若∠BED=2∠ADC，AF=2，DF=7，則的面積為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】作CD的垂直平分線交AD于M，交CD與N，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得MC=MD，進(jìn)而可得∠MDC=∠MCD，根據(jù)已知及外角性質(zhì)可得∠AMC=∠BED，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠B=∠CAB=45°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ACM=∠BDE，進(jìn)而可證明∠ADF=∠ACM，進(jìn)而即可證明∠FCD=∠FDC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CF=DF，根據(jù)已知可求出AC的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式即可得答案.【詳解】作CD的垂直平分線交AD于M，交CD與N，∵M(jìn)N是CD的垂直平分線，∴MC=MD，∴∠MDC=∠MCD，∵∠AMC=∠MDC=∠MCD，∴∠AMC=2∠ADC，∵∠BED=2∠ADC，∴∠AMC=∠BED，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠CAB=45°，∵∠ACM=180°-∠CAM-∠AMC，∠BDE=180°-∠B-∠BED，∴∠ACM=∠BDE，∵∠BDE=∠ADF，∴∠ADF=∠ACM，∴∠ADF+∠ADC=∠ACM+∠MCD，即∠FCD=∠FDC，∴FC=FD，∵AF=2，F(xiàn)D=7，∴AC=FC-AF=7-2=5，∴S△ABC=×5×5=.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)，到線段兩端的距離相等；等腰三角形的兩個(gè)底角相等；熟練掌握相關(guān)的定理及性質(zhì)是解題關(guān)鍵.8．已知△ABC中，AB=BC≠AC，作與△ABC只有一條公共邊，且與△ABC全等的三角形，這樣的三角形一共能作出_____個(gè)．【答案】7【解析】只要滿(mǎn)足三邊對(duì)應(yīng)相等就能保證作出的三角形與原三角形全等，以腰為公共邊時(shí)有6個(gè)，以底為公共邊時(shí)有一個(gè)，答案可得．解：以AB為公共邊有三個(gè)，以CB為公共邊有三個(gè)，以AC為公共邊有一個(gè)，所以一共能作出7個(gè)．故答案為79．如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90o，AC=BC=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)在射線AC與射線CB上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足AE=CF，∠EDF=90°；當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C的距離為1時(shí)，則△DEF的面積為_(kāi)__________.【答案】或【解析】解：①E在線段AC上．在△ADE和△CDF中，∵AD=CD，∠A=∠DCF，AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴同理△CDE≌△BDF，∴四邊形CEDF面積是△ABC面積的一半．∵CE=1，∴CF=4﹣1=3，∴△CEF的面積=CE?CF=，∴△DEF的面積=××﹣=．②E'在AC延長(zhǎng)線上．∵AE'=CF'，AC=BC=4，∠ACB=90°，∴CE'=BF'，∠ACD=∠CBD=45°，CD=AD=BD=，∴∠DCE'=∠DBF'=135°．在△CDE'和△BDF'中，∵CD=BD，∠DCE′=DBF′，CE′=BF′，∴△CDE'≌△BDF'（SAS），∴DE'=DF'，∠CDE'=∠BDF'．∵∠CDE'+∠BDE'=90°，∴∠BDE'+∠BDF'=90°，即∠E'DF'=90°．∵DE'2=CE'2+CD2﹣2CD?CE'cos135°=1+8+2××=13，∴S△E'DF'=DE'2=．故答案為或．點(diǎn)睛：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ADE≌△CDF和△CDE≌△BCF是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E．已知AB=12，則△DEB的周長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】12【解析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，由AD是∠CAB的平分線，DE⊥AB，∠C=90°，可得到CD=ED，然后根據(jù)直角三角形的全等判定HL證得Rt△ACD≌Rt△AED，再由全等的性質(zhì)得到AC=AE，然后根據(jù)AC=BC，因此可得△DEB的周長(zhǎng)=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=12.故答案為：12.點(diǎn)睛：此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，解題時(shí)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到相等的線段，然后再代還求解即可.二、八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形選擇題（難）11．如圖，把ΔABC剪成三部分，邊AB，BC，AC放在同一直線上，點(diǎn)O都落在直線MN上，直線MN∥AB．在ΔABC中，若∠AOB=125°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．60° D．85°【答案】A【解析】【分析】利用平行線間的距離處處相等，可知點(diǎn)O到BC、AC、AB的距離相等，得出O為三條角平分線的交點(diǎn)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可得出結(jié)論．【詳解】如圖1，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F．∵M(jìn)N∥AB，∴OD=OE=OF（平行線間的距離處處相等）．如圖2：過(guò)點(diǎn)O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'．由題意可知：OD=OD'，OE=OE'，OF=OF'，∴OD'=OE'=OF'，∴圖2中的點(diǎn)O是三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)．∵∠AOB=125°，∴∠OAB+∠OBA=180°－125°=55°，∴∠CAB+∠CBA=2×55°=110°，∴∠ACB=180°－110°=70°．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)心，平行線間的距離處處相等，角平分線定義，解答本題的關(guān)鍵是判斷出OD=OE=OF．12．如圖，在△ABC中，AB=6，AC=10，BC邊上的中線AD=4，則△ABC的面積為（）A．30 B．48 C．20 D．24【答案】D【解析】延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連接BE,因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),所以DC=BD,在△ADC和△EDB中,,所以△ADC≌△EDB,所以BE=AC=10,∠CAD＝∠E,又因?yàn)锳E=2AD=8,AB=6,所以,所以∠CAD＝∠E=90°,則,所以故選D.13．已知OD平分∠MON，點(diǎn)A、B、C分別在OM、OD、ON上(點(diǎn)A、B、C都不與點(diǎn)O重合)，且AB=BC,則∠OAB與∠BCO的數(shù)量關(guān)系為（）A．∠OAB+∠BCO=180° B．∠OAB=∠BCOC．∠OAB+∠BCO=180°或∠OAB=∠BCO D．無(wú)法確定【答案】C【解析】根據(jù)題意畫(huà)圖，可知當(dāng)C處在C1的位置時(shí)，兩三角形全等，可知∠OAB=∠BCO；當(dāng)點(diǎn)C處在C2的位置時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，∠OAB+∠BCO=180°.故選C.14．如圖所示，把腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形折疊兩次后，得到的一個(gè)小三角形的周長(zhǎng)是（）A．1+ B．1+ C．2- D．-1【答案】B【解析】第一次折疊后，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為1，腰長(zhǎng)為；第一次折疊后，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為，腰長(zhǎng)為，所以周長(zhǎng)為.故答案為B.15．如圖，中，，、的平分線交于，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．下列結(jié)論：①；②；③．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)有（）．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【解析】分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠EBC+∠ECB，然后求出∠BEC=120°，判斷①正確；過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延長(zhǎng)線于G，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DF=DG，再求出∠BDF=∠CDG，然后利用“角邊角”證明△BDF和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BD=CD，再根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠DBC=30°，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義求出∠DBE=∠DEB，根據(jù)等角對(duì)等邊可得BD=DE，判斷②正確，再求出B，C，E三點(diǎn)在以D為圓心，以BD為半徑的圓上，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半可得∠BDE=2∠BCE，判斷③正確．詳解：∵，∴，∵、分別為、的平分線，∴，，∴，∴，故①正確．如圖，過(guò)點(diǎn)作于，的延長(zhǎng)線于，∵、分別為、的平分線，∴為的平分線，∴，∴，又∵，∴，．∴，∵在和中，，∴≌，∴，∴，∴，∵平分，平分，∴，，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，，∴，∴，故②正確．∵，∴、、三點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，∴，故③正確，綜上所述，正確結(jié)論有①②③，故選：．點(diǎn)睛：本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的判定，同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，特別是③的證明．16．如圖，AD是△ABC的外角平分線，下列一定結(jié)論正確的是（）A．AD+BC=AB+CD， B．AB+AC=DB+DC,C．AD+BC＜AB+CD， D．AB+AC＜DB+DC【答案】D【解析】【分析】在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E,使AE=AC,連接ED,證△ACD≌△AED,推出DE=DC,根據(jù)三角形中任意兩邊之和大于第三邊即可得到AB+AC＜DB+DC.【詳解】解:在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E,使AE=AC,連接ED,∵AD是△ABC的外角平分線，∴∠EAD=∠CAD,在△ACD和△AED中,∴△ACD≌△AED(SAS)∴DE=DC,在△EBD中,BE＜BD+DE,∴AB+AC＜DB+DC故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的證明,全等三角形的性質(zhì),三角形的三邊關(guān)系,作輔助線構(gòu)造以AB、AC、DB、DC的長(zhǎng)度為邊的三角形是解題的關(guān)鍵，也是解本題的難點(diǎn).17．如圖，點(diǎn)D是等腰直角△ABC腰BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)B、B′關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)，且BB′交AD于F，交AC于E，連接FC、AB′，下列說(shuō)法：①∠BAD=30°；②∠BFC=135°；③AF=2B′C；正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】依據(jù)點(diǎn)D是等腰直角△ABC腰BC上的中點(diǎn)，可得tan∠BAD=，即可得到∠BAD≠30°；連接B'D，即可得到∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，進(jìn)而得出△ABF≌△BCB'，判定△FCB'是等腰直角三角形，即可得到∠CFB'=45°，即∠BFC=135°；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C；依據(jù)△AEF與△CEB'不全等，即可得到S△AFE≠S△FCE．【詳解】∵點(diǎn)D是等腰直角△ABC腰BC上的中點(diǎn)，∴BD=BC=AB，∴tan∠BAD=，∴∠BAD≠30°，故①錯(cuò)誤；如圖，連接B'D，∵B、B′關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)，∴AD垂直平分BB'，∴∠AFB=90°，BD=B'D=CD，∴∠DBB'=∠BB'D，∠DCB'=∠DB'C，∴∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，∴∠AFB=∠BB'C，又∵∠BAF+∠ABF=90°=∠CBB'+∠ABF，∴∠BAF=∠CBB'，∴△ABF≌△BCB'，∴BF=CB'=B'F，∴△FCB'是等腰直角三角形，∴∠CFB'=45°，即∠BFC=135°，故②正確；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C，故③正確；∵AF＞BF=B'C，∴△AEF與△CEB'不全等，∴AE≠CE，∴S△AFE≠S△FCE，故④錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．18．如圖，△ABC的兩條外角平分線AP、CP相交于點(diǎn)P，PH⊥AC于H；如果∠ABC=60o，則下列結(jié)論：①∠ABP=30o；②∠APC=60o；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC；其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】作PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可證得PN=PM，再根據(jù)角平分線的判定定理可得PB平分∠ABC，即可判定①；證明△PAN≌△PAH，△PCM≌△PCH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠APN=∠APH，∠CPM=∠CPH，由此即可判定②；在Rt△PBN中，∠PBN=30°，根據(jù)30°角直角三角形的性質(zhì)即可判定③；由∠BPN=∠CPA=60°即可判定④.【詳解】如圖，作PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．∵∠PAH=∠PAN，PN⊥AD，PH⊥AC，∴PN=PH，同理PM=PH，∴PN=PM，∴PB平分∠ABC，∴∠ABP=∠ABC=30°，故①正確，∵在Rt△PAH和Rt△PAN中，，∴△PAN≌△PAH，同理可證，△PCM≌△PCH，∴∠APN=∠APH，∠CPM=∠CPH，∵∠MPN=180°-∠ABC=120°，∴∠APC=∠MPN=60°，故②正確，在Rt△PBN中，∵∠PBN=30°，∴PB=2PN=2PH，故③正確，∵∠BPN=∠CPA=60°，∴∠CPB=∠APN=∠APH，故④正確．綜上，正確的結(jié)論為①②③④.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理及判定定理、全等三角形的判定與性質(zhì)及30°角直角三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.19．如圖，中，，的角平分線、相交于點(diǎn)，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④四邊形，其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理逐一分析判斷即可．【詳解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD=，∠ABE=∴∠BAD+∠ABE=∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正確；∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°∴∠APB=∠FPB又∵∠ABP=∠FBPBP=BP∴△ABP≌△FBP（ASA）∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正確；在△APH與△FPD中∵∠APH=∠FPD=90°∠PAH=∠BAP=∠BFPPA=PF∴△APH≌△FPD（ASA），∴AH=FD，又∵AB=FB∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正確；連接HD，ED，∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP∴，，PH=PD，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD∴HD∥EP，∴∵故④錯(cuò)誤，∴正確的有①②③，故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定兩個(gè)三角形全等．20．如圖，點(diǎn)P是AB上任意一點(diǎn)，∠ABC=∠ABD，還應(yīng)補(bǔ)充一個(gè)條件，才能推出△APC≌△APD．從下列條件中補(bǔ)充一個(gè)條件，不一定能推出△APC≌△APD的是()A．BC=BD； B．AC=AD； C．∠ACB=∠ADB； D．∠CAB=∠DAB【答案】B【解析】根據(jù)題意，∠ABC=∠ABD，AB是公共邊，結(jié)合選項(xiàng)，逐個(gè)驗(yàn)證得出：A、補(bǔ)充BC=BD，先證出△BPC≌△BPD，后能推出△APC≌△APD，故正確；B、補(bǔ)充AC=AD，不能推出△APC≌△APD，故錯(cuò)誤；C、補(bǔ)充∠ACB=∠ADB，先證出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正確；D、補(bǔ)充∠CAB=∠DAB，先證出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正確．故選B．點(diǎn)睛：本題考查了三角形全等判定，三角形全等的判定定理：有AAS，SSS，ASA，SAS．注意SSA是不能證明三角形全等的，做題時(shí)要逐個(gè)驗(yàn)證，排除錯(cuò)誤的選項(xiàng)．21．如圖，是正內(nèi)一點(diǎn)，，，，將線段以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，連接，下列結(jié)論：①可以由繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到：②點(diǎn)與的距離為4；③；④四邊形；⑤．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤【答案】D【解析】【分析】證明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′＝60°，所以△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，故結(jié)論①正確；由△OBO′是等邊三角形，可知結(jié)論②正確；在△AOO′中，三邊長(zhǎng)為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，故△AOO′是直角三角形；進(jìn)而求得∠AOB＝150°，故結(jié)論③正確；，故結(jié)論④正確；如圖②，將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O″點(diǎn)．利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造等邊三角形與直角三角形，將S△AOC+S△AOB轉(zhuǎn)化為S△COO″+S△AOO″，計(jì)算可得結(jié)論⑤正確．【詳解】解：由題意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，又∵OB＝O′B，AB＝BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′＝60°，∴△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，故結(jié)論①正確；如圖①，連接OO′，∵OB＝O′B，且∠OBO′＝60°，∴△OBO′是等邊三角形，∴OO′＝OB＝4．故結(jié)論②正確；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A＝5．在△AOO′中，三邊長(zhǎng)為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，故結(jié)論③正確；，故結(jié)論④正確；如圖②所示，將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O″點(diǎn)．易知△AOO″是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，△COO″是邊長(zhǎng)為3、4、5的直角三角形，則，故結(jié)論⑤正確．綜上所述，正確的結(jié)論為：①②③④⑤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換中等邊三角形，直角三角形的性質(zhì)．利用勾股定理的逆定理，判定勾股數(shù)3、4、5所構(gòu)成的三角形是直角三角形，這是本題的要點(diǎn)．在判定結(jié)論⑤時(shí)，將△AOB向不同方向旋轉(zhuǎn)，體現(xiàn)了結(jié)論①﹣結(jié)論④解題思路的拓展應(yīng)用．22．如圖，在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，E為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD，與AC、DC分別交于點(diǎn)G，F(xiàn)，H為CG的中點(diǎn)，連結(jié)DE、EH、DH、FH．下列結(jié)論：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若，則．其中結(jié)論正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解析】分析：①根據(jù)題意可知∠ACD=45°，則GF=FC，則EG=EF-GF=CD-FC=DF；②由SAS證明△EHF≌△DHC即可；③根據(jù)△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，從而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=180°；④若=，則AE=2BE，可以證明△EGH≌△DFH，則∠EHG=∠DHF且EH=DH，則∠DHE=90°，△EHD為等腰直角三角形，過(guò)H點(diǎn)作HM垂直于CD于M點(diǎn)，設(shè)HM=x，則DM=5x，DH=，CD=6x，則S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2．詳解：①∵四邊形ABCD為正方形,EF∥AD，∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°，∴△CFG為等腰直角三角形，∴GF=FC，∵EG=EF?GF，DF=CD?FC，∴EG=DF，故①正確；②∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點(diǎn)，∴FH=CH,∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，EF=CD；∠EFH=∠DCH；FH=CH，∴△EHF≌△DHC(SAS)，故②正確；③∵△EHF≌△DHC(已證)，∴∠HEF=∠HDC，∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF?∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故③正確；④∵=，∴AE=2BE，∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點(diǎn)，∴FH=GH,∠FHG=90°，∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，在△EGH和△DFH中，EG=DF；∠EGH=∠HFD；GH=FH，∴△EGH≌△DFH(SAS)，∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°,∴△EHD為等腰直角三角形，如圖，過(guò)H點(diǎn)作HM⊥CD于M，設(shè)HM=x,則DM=5x,DH=，CD=6x，則S△DHC=×HM×CD=3x2,S△EDH=×DH2=13x2，∴3S△EDH=13S△DHC，故④正確；故選D.點(diǎn)睛：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于根據(jù)題意熟練的運(yùn)用相關(guān)性質(zhì).23．如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．以下五個(gè)結(jié)論：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【解析】【分析】①由于△ABC和△CDE是等邊三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，從而證出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，故①正確；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故②正確；③根據(jù)②△CQB≌△CPA（ASA），再根據(jù)∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC=∠DCE，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可知③正確；④根據(jù)∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，可知PD≠CD，可知④錯(cuò)誤；⑤利用等邊三角形的性質(zhì)，BC∥DE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，由平角的性質(zhì)可得∠AOE=120°，可知⑤正確；【詳解】①∵△ABC和△CDE為等邊三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，故①正確；由（1）中的全等得∠CBE＝∠DAC，且BC＝AC，∠ACB＝∠BCQ＝60°∴△CQB≌△CPA（ASA），∴AP＝BQ，故②正確；∵△CQB≌△CPA，∴PC＝PQ，且∠PCQ＝60°∴△PCQ為等邊三角形，∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE，故③正確，∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠BCA+∠PAC＞60°，∴PD≠CD，∴DE≠DP，故④DE＝DP錯(cuò)誤；∵BC∥DE，∴∠CBE＝∠BED，∵∠CBE＝∠DAE，∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，∴∠AOE＝120°，故⑤正確，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，題目難度較大．24．已知：如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，AD=6．延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=2，連接DE，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿BC-CD-DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)?shù)闹禐開(kāi)____秒時(shí)，△ABP和△DCE全等．A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【答案】C【解析】【分析】分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)題意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．【詳解】解：因?yàn)锳B=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根據(jù)SAS證得△ABP≌△DCE，由題意得：BP=2t=2，所以t=1，因?yàn)锳B=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根據(jù)SAS證得△BAP≌△DCE，由題意得：AP=16-2t=2，解得t=7．所以，當(dāng)t的值為1或7秒時(shí)．△ABP和△DCE全等．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．25．如圖，在△ABC中，AB=BC，，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，BF⊥AD，垂足為E，BF交AC于點(diǎn)F，連接DF.下列結(jié)論正確的是（）A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠3=∠4 D．∠4=∠5【答案】A【解析】【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)C作BC的垂線，交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則，先根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)推出，又根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)推出，由此即可得出答案．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作BC的垂線，交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則，即在和中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)在和中，故選：A．【點(diǎn)睛】本題是一道較難的綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形是解題關(guān)鍵．26．如圖，中，，于，平分，且于，與相交于點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有()個(gè)①；②；③；④是等腰三角形；⑤.A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【解析】【分析】只要證明△BDF≌△CDA，△BAC是等腰三角形，∠DGF＝∠DFG＝67.5°，即可判斷①②③④正確，作GM⊥BD于M，只要證明GH＜DG即可判斷⑤錯(cuò)誤．【詳解】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠A＋∠ABE＝90°，∠ABE＋∠DFB＝90°，∴∠A＝∠DFB，∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，∴∠DCB＝90°?45°＝45°＝∠DBC，∴BD＝DC，在△BDF和△CDA中，∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF＝AC，故①正確．∵∠ABE＝∠EBC＝22.5°，BE⊥AC，∴∠A＝∠BCA＝67.5°，故③正確，∴BA＝BC，∵BE⊥AC，∴AE＝EC＝AC＝BF，故②正確，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，∵∠BDF＝∠BHG＝90°，∴∠BGH＝∠BFD＝67.5°，∴∠DGF＝∠DFG＝67.5°，∴DG＝DF，故④正確．作GM⊥AB于M．∵∠GBM＝∠GBH，GH⊥BC，∴GH＝GM＜DG，∴S△DGB＞S△GHB，∵S△ABE＝S△BCE，∴S四邊形ADGE＜S四邊形GHCE．故⑤錯(cuò)誤，∴①②③④正確，故選：B．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，第五個(gè)問(wèn)題難度比較大，添加輔助線是解題關(guān)鍵，屬于中考選擇題中的壓軸題．27．如圖，是的角平分線，；垂足為交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若恰好平分．給出下列三個(gè)結(jié)論：①；②；③．其中正確的結(jié)論共有（）個(gè)A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由BF∥AC，是的角平分線，平分得∠ADB=90；利用AD平分∠CAB證得△ADC≌△ADB即可證得DB=DC；根據(jù)證明△CDE≌△BDF得到.【詳解】∵,BF∥AC,∴EF⊥BF，∠CAB+∠ABF=180，∴∠CED=∠F=90，∵是的角平分線，平分，∴∠DAB+∠DBA=(∠CAB