高中數(shù)學(xué) 第2章 2.5圓錐曲線的統(tǒng)一定義同步訓(xùn)練 蘇教版選修2-1

§2.5圓錐曲線的統(tǒng)一定義一、基礎(chǔ)過關(guān)1．雙曲線x2－y2＝1的準(zhǔn)線方程為__________．2．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離是4.5，則該點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離是________．3．中心在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為y＝±4，離心率為eq\f(1,2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________．4．拋物線y2－2x＝0的準(zhǔn)線方程為__________．5．橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，P是橢圓上一點(diǎn)，若PF1＝3PF2，則P點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離是________．6．已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線y＝x與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若P(2,2)為AB的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為________．7．點(diǎn)M(x，y)與定點(diǎn)F(4,0)的距離和它到直線l：x＝eq\f(25,4)的距離的比是常數(shù)eq\f(4,5)，求點(diǎn)M的軌跡．二、能力提升8．已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過F且斜率為eq\r(3)的直線交C于A，B兩點(diǎn)．設(shè)FA>FB，則eq\f(FA,FB)＝________.9．已知F是橢圓C的一個焦點(diǎn)，B是短軸的一個端點(diǎn)，線段BF的延長線交C于點(diǎn)D，且Beq\o(F,\s\up6(→))＝2Feq\o(D,\s\up6(→))，則C的離心率為________．10．在雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1上求一點(diǎn)P，使它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍．11．在拋物線y2＝2x和定點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(10,3)))，拋物線上有動點(diǎn)P，P到定點(diǎn)A的距離為d1，P到拋物線準(zhǔn)線的距離為d2，求d1＋d2的最小值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．12．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),3)，以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓與直線y＝x＋2相切．(1)求a與b；(2)設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1和F2，直線l1過F2且與x軸垂直，動直線l2與y軸垂直，l2交l1于點(diǎn)P.求線段PF1的垂直平分線與l2的交點(diǎn)M的軌跡方程，并指明曲線類型．三、探究與拓展13.如圖所示，已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1(－4，0)、F2(4,0)，過點(diǎn)F2作垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點(diǎn)為B，且F1B＋F2B＝10，橢圓上不同的兩點(diǎn)A(x1，y1)，C(x2，y2)滿足條件：F2A、F2B、F2(1)求該橢圓的方程；(2)求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

答案1．x＝±eq\f(\r(2),2)2．83．eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝14．x＝－eq\f(1,2)5．66．y2＝4x7．解如圖，設(shè)d是點(diǎn)M到直線l：x＝eq\f(25,4)的距離，根據(jù)題意，點(diǎn)M的軌跡就是集合P＝{M|eq\f(|MF|,d)＝eq\f(4,5)}，由此得eq\f(\r(x－42＋y2),|\f(25,4)－x|)＝eq\f(4,5).將上式兩邊平方，并化簡，得9x2＋25y2＝225，即eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.所以，點(diǎn)M的軌跡是長軸、短軸長分別為10、6的橢圓．8．39．eq\f(\r(3),3)10．解設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)．∵雙曲線的準(zhǔn)線方程為x＝±eq\f(16,5)，∴eq\f(PF1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,5))))＝eq\f(PF2,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(16,5)))).∵PF1＝2PF2，∴P在雙曲線的右支上．∴eq\f(2PF2,x＋\f(16,5))＝eq\f(PF2,x－\f(16,5))，∴x＝eq\f(48,5).把x＝eq\f(48,5)代入方程eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，得y＝±eq\f(3,5)eq\r(119).∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(48,5)，±\f(3,5)\r(119))).11．解如圖所示，點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(10,3)))在拋物線y2＝2x的外部由拋物線的定義可知，d1＋d2＝PA＋PF≥AF＝eq\f(25,6)(其中F為拋物線的焦點(diǎn))顯然A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，d1＋d2最小，最小值為eq\f(25,6).直線FA的方程為4x－3y－2＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－3y－2＝0，,y2＝2x))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝2))，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2)．12．解(1)由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(3),3)，得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(6),3).又由原點(diǎn)到直線y＝x＋2的距離等于圓的半徑，得b＝eq\r(2)，a＝eq\r(3).(2)方法一由c＝eq\r(a2－b2)＝1，得F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)．設(shè)M(x，y)，則P(1，y)．由MF1＝MP，得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2，y2＝－4x.此軌跡是拋物線．方法二因?yàn)辄c(diǎn)M在線段PF1的垂直平分線上，所以MF1＝MP，即M到F1的距離等于M到l1的距離．此軌跡是以F1(－1,0)為焦點(diǎn)，l1：x＝1為準(zhǔn)線的拋物線，軌跡方程為y2＝－4x.13．解(1)由橢圓定義及條件知，2a＝F1B＋F2B得a＝5，又c＝4，所以b＝eq\r(a2－c2)＝3.故橢圓方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)由點(diǎn)B(4，yB)在橢圓上，得F2B＝y(tǒng)B＝eq\f(9,5).因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為x＝eq\f(25,4)，離心率為eq\f(4,5)，根據(jù)橢圓定義，有F2A＝eq\f(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,4)－x1))，F(xiàn)2C＝eq\f(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,4)－x2))，由F2A、F2B、F2eq\f(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a