高中數(shù)學(xué) 第2章 章末檢測同步訓(xùn)練 蘇教版選修2-1

章末檢測一、填空題1．雙曲線3x2－y2＝9的實軸長是________．2．以eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝－1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為______________．3．對拋物線y＝4x2，開口向________(填“上”“下”“左”“右”)，焦點坐標(biāo)為____．4．若k∈R，則k>3是方程eq\f(x2,k－3)－eq\f(y2,k＋3)＝1表示雙曲線的______________條件．5．若雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(16y2,p2)＝1的左焦點在拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線上，則p的值為________．6．設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a>0)的漸近線方程為3x±2y＝0，則a的值為________．7．設(shè)橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1和雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的公共焦點為F1、F2，P是兩曲線的一個公共點，則cos∠F1PF2＝________.8．過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點．若AF＝3，則△AOB的面積為________．9．等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線交于A，B兩點，AB＝4eq\r(3)，則C的實軸長為________．10．已知長方形ABCD，AB＝4，BC＝3，則以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的離心率為______．11．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若在雙曲線的右支上存在一點P，使得PF1＝3PF2，則雙曲線的離心率e的取值范圍為__________．12．橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的兩個焦點F1，F(xiàn)2，過點F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，其中一個交點為P，則PF2＝______.13．雙曲線8kx2－ky2＝8的一個焦點為(0,3)，那么k＝________.14．若橢圓mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)與直線y＝1－x交于A、B兩點，過原點與線段AB的中點的連線斜率為eq\f(\r(2),2)，則eq\f(n,m)的值為________．二、解答題15．已知雙曲線與橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,49)＝1有公共的焦點，并且橢圓的離心率與雙曲線的離心率之比為eq\f(3,7)，求雙曲線的方程．16．已知雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點分別為F1、F2，若雙曲線上一點P使得∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面積．17．已知橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的弦AB的中點M的坐標(biāo)為(2,1)，求直線AB的方程，并求弦AB的長．18．過拋物線y2＝4x的焦點F作直線l與拋物線交于A、B兩點．求證：△AOB是鈍角三角形．19．已知橢圓G：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(6),3)，右焦點為(2eq\r(2)，0)，斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P(－3,2)．(1)求橢圓G的方程；(2)求△PAB的面積．

答案1．2eq\r(3)2．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝13．上eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))4．充分不必要5．46．27．eq\f(1,3)8．eq\f(3\r(2),2)9．410．eq\f(1,2)11．(1,2]12．eq\f(7,2)13．－114．eq\r(2)15．解橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,49)＝1的焦點為(0，±eq\r(13))，離心率為e1＝eq\f(\r(13),7).由題意可知雙曲線的焦點為(0，±eq\r(13))，離心率e2＝eq\f(\r(13),3)，∴雙曲線的實軸長為6.∴雙曲線的方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1.16．解由雙曲線方程eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，可知a＝3，b＝4，c＝eq\r(a2＋b2)＝5.由雙曲線的定義，得PF1－PF2＝±2a將此式兩邊平方，得PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)－2PF1·PF2＝36，∴PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝36＋2PF1·PF2.又∵∠F1PF2＝90°，∴PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝100＝36＋2PF1·PF2，∴PF1·PF2＝32，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)PF1·PF2＝eq\f(1,2)×32＝16.17．解方法一易知直線斜率k存在．設(shè)所求直線的方程為y－1＝k(x－2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1＝kx－2，,\f(x2,16)＋\f(y2,4)＝1，))得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則x1、x2是上述方程的兩根，于是x1＋x2＝eq\f(82k2－k,4k2＋1).又M為AB的中點，∴eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(42k2－k,4k2＋1)＝2，解得k＝－eq\f(1,2)，且滿足Δ>0.故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.∵x1＋x2＝4，x1·x2＝eq\f(42k－12－16,4k2＋1)＝0.∴AB＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)eq\r(42－0)＝2eq\r(5).方法二設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)．∵M(2,1)為AB的中點，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A、B兩點在橢圓上，則xeq\o\al(2,1)＋4yeq\o\al(2,1)＝16，xeq\o\al(2,2)＋4yeq\o\al(2,2)＝16，兩式相減，得(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋4(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,4y1＋y2)＝－eq\f(4,4×2)＝－eq\f(1,2)，即kAB＝－eq\f(1,2).故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.AB求法同上．18．證明∵焦點F為(1,0)，過點F且與拋物線交于點A、B的直線可設(shè)為ky＝x－1，代入拋物線y2＝4x，得y2－4ky－4＝0，則有yAyB＝－4，則xAxB＝eq\f(y\o\al(2,A),4)·eq\f(y\o\al(2,B),4)＝1.又OA·OB·cos∠AOB＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝xAxB＋yAyB＝1－4＝－3<0，得∠AOB為鈍角，故△AOB是鈍角三角形．19．解(1)由已知得c＝2eq\r(2)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3).解得a＝2eq\r(3)，又b2＝a2－c2＝4.所以橢圓G的方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)設(shè)直線l的方程為y＝x＋m.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m,\f(x2,12)＋\f(y2,4)＝1))，得4x2＋6mx＋3m設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中點為E(x0，y0)，則x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(3m,4)，y0＝x0＋m＝eq\f(m,4)；因為AB是等腰△PAB的底邊，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝eq\f(2－\f(m,4),－3＋