拔高點突破01 集合背景下的新定義壓軸解答題（四大題型）

拔高點突破01集合背景下的新定義壓軸解答題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：定義新概念 2題型二：定義新運算 4題型三：定義新性質(zhì) 5題型四：定義新背景 603過關(guān)測試 91、解答新定義型創(chuàng)新題的基本思路是：（1）正確理解新定義；（2）根據(jù)新定義建立關(guān)系式；（3）結(jié)合所學(xué)的知識、經(jīng)驗將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題；（4）運用所學(xué)的公式、定理、性質(zhì)等合理進行推理、運算，求得結(jié)果．2、集合中的新概念問題，往往是通過重新定義相應(yīng)的集合或重新定義集合中的某個要素，結(jié)合集合的知識加以創(chuàng)新，我們還可以利用原有集合的相關(guān)知識來解題．3、集合中的新運算問題是通過創(chuàng)新給出有關(guān)集合的一個全新的運算規(guī)則．按照新的運算規(guī)則，結(jié)合數(shù)學(xué)中原有的運算和運算規(guī)則，通過相關(guān)的集合或其他知識進行計算或邏輯推理等，從而達到解答的目的．4、集合中的新性質(zhì)問題往往是通過創(chuàng)新集合中給定的定義與性質(zhì)衍生而來的．我們通過可以結(jié)合相應(yīng)的集合概念、關(guān)系、運算等相關(guān)知識，利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法來解答有關(guān)的集合的新性質(zhì)問題．題型一：定義新概念【典例1-1】（2024·北京順義·二模）已知點集滿足，，.對于任意點集，若其非空子集A，B滿足，，則稱集合對為的一個優(yōu)劃分.對任意點集及其優(yōu)劃分，記A中所有點的橫坐標之和為，B中所有點的縱坐標之和為.(1)寫出的一個優(yōu)劃分，使其滿足；(2)對于任意點集，求證：存在的一個優(yōu)劃分，滿足；(3)對于任意點集，求證：存在的一個優(yōu)劃分，滿足且.【典例1-2】（2024·浙江臺州·二模）設(shè)A，B是兩個非空集合，如果對于集合A中的任意一個元素x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，在集合B中都有唯一確定的元素y和它對應(yīng)，并且不同的x對應(yīng)不同的y；同時B中的每一個元素y，都有一個A中的元素x與它對應(yīng)，則稱：為從集合A到集合B的一一對應(yīng)，并稱集合A與B等勢，記作.若集合A與B之間不存在一一對應(yīng)關(guān)系，則稱A與B不等勢，記作.例如：對于集合，，存在一一對應(yīng)關(guān)系，因此.(1)已知集合，，試判斷是否成立?請說明理由；(2)證明：①；②.【變式1-1】（2024·江西九江·二模）定義兩個維向量，的數(shù)量積，，記為的第k個分量（且）.如三維向量，其中的第2分量.若由維向量組成的集合A滿足以下三個條件：①集合中含有n個n維向量作為元素；②集合中每個元素的所有分量取0或1；③集合中任意兩個元素，，滿足（T為常數(shù)）且.則稱A為T的完美n維向量集.(1)求2的完美3維向量集；(2)判斷是否存在完美4維向量集，并說明理由；(3)若存在A為T的完美n維向量集，求證：A的所有元素的第k分量和.題型二：定義新運算【典例2-1】（2024·海南海口·一模）在計算機科學(xué)中，維數(shù)組是一種基礎(chǔ)而重要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它在各種編程語言中被廣泛使用．對于維數(shù)組，定義與的差為與之間的距離為．(1)若維數(shù)組，證明：；(2)證明：對任意的數(shù)組，有；(3)設(shè)集合，若集合中有個維數(shù)組，記中所有兩元素間的距離的平均值為，證明：．【典例2-2】（2024·浙江紹興·二模）已知，集合其中.(1)求中最小的元素；(2)設(shè)，，且，求的值；(3)記，，若集合中的元素個數(shù)為，求.【變式2-1】（2024·浙江嘉興·二模）已知集合，定義：當(dāng)時，把集合中所有的數(shù)從小到大排列成數(shù)列，數(shù)列的前項和為.例如：時，，.(1)寫出，并求；(2)判斷88是否為數(shù)列中的項.若是，求出是第幾項；若不是，請說明理由；(3)若2024是數(shù)列中的某一項，求及的值.題型三：定義新性質(zhì)【典例3-1】（2024·云南昆明·一模）若非空集合A與B，存在對應(yīng)關(guān)系f，使A中的每一個元素a，B中總有唯一的元素b與它對應(yīng)，則稱這種對應(yīng)為從A到B的映射，記作f：A→B．設(shè)集合，（，），且．設(shè)有序四元數(shù)集合且，．對于給定的集合B，定義映射f：P→Q，記為，按映射f，若（），則；若（），則．記．(1)若，，寫出Y，并求；(2)若，，求所有的總和；(3)對于給定的，記，求所有的總和（用含m的式子表示）．【典例3-2】（2024·廣東江門·一模）將2024表示成5個正整數(shù)，，，，之和，得到方程①，稱五元有序數(shù)組為方程①的解，對于上述的五元有序數(shù)組，當(dāng)時，若，則稱是密集的一組解.(1)方程①是否存在一組解，使得等于同一常數(shù)?若存在，請求出該常數(shù)；若不存在，請說明理由；(2)方程①的解中共有多少組是密集的?(3)記，問是否存在最小值?若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由.【變式3-1】（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知集合中含有三個元素，同時滿足①；②；③為偶數(shù)，那么稱集合具有性質(zhì).已知集合，對于集合的非空子集，若中存在三個互不相同的元素，使得均屬于，則稱集合是集合的“期待子集”.(1)試判斷集合是否具有性質(zhì)，并說明理由；(2)若集合具有性質(zhì)，證明：集合是集合的“期待子集”；(3)證明：集合具有性質(zhì)的充要條件是集合是集合的“期待子集”.題型四：定義新背景【典例4-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）拓撲學(xué)是一個研究圖形（或集合）整體結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的一門幾何學(xué)，以抽象而嚴謹?shù)恼Z言將幾何與集合聯(lián)系起來，富有直觀和邏輯．已知平面，定義對，，其度量（距離）并稱為一度量平面．設(shè)，，稱平面區(qū)域為以為心，為半徑的球形鄰域．(1)試用集合語言描述兩個球形鄰域的交集；(2)證明：中的任意兩個球形鄰域的交集是若干個球形鄰域的并集；(3)一個集合稱作“開集”當(dāng)且僅當(dāng)其是一個無邊界的點集．證明：的一個子集是開集當(dāng)且僅當(dāng)其可被表示為若干個球形鄰域的并集．【典例4-2】（2024·安徽蕪湖·二模）對稱變換在對稱數(shù)學(xué)中具有重要的研究意義．若一個平面圖形K在m（旋轉(zhuǎn)變換或反射變換）的作用下仍然與原圖形重合，就稱K具有對稱性，并記m為K的一個對稱變換．例如，正三角形R在（繞中心O作120°的旋轉(zhuǎn)）的作用下仍然與R重合（如圖1圖2所示），所以是R的一個對稱變換，考慮到變換前后R的三個頂點間的對應(yīng)關(guān)系，記；又如，R在（關(guān)于對稱軸所在直線的反射）的作用下仍然與R重合（如圖1圖3所示），所以也是R的一個對稱變換，類似地，記．記正三角形R的所有對稱變換構(gòu)成集合S．一個非空集合G對于給定的代數(shù)運算.來說作成一個群，假如同時滿足：I．，；II．，；Ⅲ．，，；Ⅳ．，，．對于一個群G，稱Ⅲ中的e為群G的單位元，稱Ⅳ中的為a在群G中的逆元．一個群G的一個非空子集H叫做G的一個子群，假如H對于G的代數(shù)運算來說作成一個群．

(1)直接寫出集合S（用符號語言表示S中的元素）；(2)同一個對稱變換的符號語言表達形式不唯一，如．對于集合S中的元素，定義一種新運算*，規(guī)則如下：，．①證明集合S對于給定的代數(shù)運算*來說作成一個群；②已知H是群G的一個子群，e，分別是G，H的單位元，，，分別是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之間的關(guān)系以及，之間的關(guān)系，并給出證明；③寫出群S的所有子群．【變式4-1】（2021·北京西城·二模）設(shè)A是正整數(shù)集的一個非空子集，如果對于任意，都有或，則稱A為自鄰集.記集合的所有子集中的自鄰集的個數(shù)為.(1)直接寫出的所有自鄰集；(2)若為偶數(shù)且，求證：的所有含5個元素的子集中，自鄰集的個數(shù)是偶數(shù)；(3)若，求證：.1．（2024·北京豐臺·一模）已知集合（，），若存在數(shù)陣滿足：①；②．則稱集合為“好集合”，并稱數(shù)陣為的一個“好數(shù)陣”．(1)已知數(shù)陣是的一個“好數(shù)陣”，試寫出，，，的值；(2)若集合為“好集合”，證明：集合的“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個；(3)判斷是否為“好集合”．若是，求出滿足條件的所有“好數(shù)陣”；若不是，說明理由．2．（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測）我們知道，二維空間（平面）向量可用二元有序數(shù)組表示；三維空間向盤可用三元有序數(shù)組表示．一般地，維空間向量用元有序數(shù)組表示，其中稱為空間向量的第個分量，為這個分量的下標．對于維空間向量，定義集合．記的元素的個數(shù)為（約定空集的元素個數(shù)為0）．(1)若空間向量，求及；(2)對于空間向量．若，求證：，若，則；(3)若空間向量的坐標滿足，當(dāng)時，求證：．3．（2024·北京·模擬預(yù)測）對給定的正整數(shù)，令，對任意的，，定義與的距離．設(shè)是的含有至少兩個元素的子集，集合中的最小值稱為的特征，記作．(1)當(dāng)時，直接寫出下述集合的特征：；(2)當(dāng)時，設(shè)且，求中元素個數(shù)的最大值；(3)當(dāng)時，設(shè)且，求證：中的元素個數(shù)小于．4．（2024·北京延慶·一模）已知數(shù)列，記集合.(1)若數(shù)列為，寫出集合；(2)若，是否存在，使得？若存在，求出一組符合條件的；若不存在，說明理由；(3)若，把集合中的元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為，若，求的最大值．5．（2024·湖南邵陽·二模）給定整數(shù)，由元實數(shù)集合定義其隨影數(shù)集.若，則稱集合為一個元理想數(shù)集，并定義的理數(shù)為其中所有元素的絕對值之和.(1)分別判斷集合是不是理想數(shù)集；（結(jié)論不要求說明理由）(2)任取一個5元理想數(shù)集，求證：；(3)當(dāng)取遍所有2024元理想數(shù)集時，求理數(shù)的最小值.注：由個實數(shù)組成的集合叫做元實數(shù)集合，分別表示數(shù)集中的最大數(shù)與最小數(shù).6．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知為有窮正整數(shù)數(shù)列，且，集合．若存在，使得，則稱為可表數(shù)，稱集合為可表集．(1)若，判定31，1024是否為可表數(shù)，并說明理由；(2)若，證明：；(3)設(shè)，若，求的最小值．7．設(shè)為給定的正奇數(shù)，定義無窮數(shù)列：若是數(shù)列中的項，則記作.(1)若數(shù)列的前6項各不相同，寫出的最小值及此時數(shù)列的前6項；(2)求證：集合是空集；(3)記集合正奇數(shù)，求集合.（若為任意的正奇數(shù)，求所有數(shù)列的相同元素構(gòu)成的集合.）8．已知集合，其中且，若對任意的，都有，則稱集合具有性質(zhì).(1)集合具有性質(zhì)，求的最小值；(2)已知具有性質(zhì)，求證：；(3)已知具有性質(zhì)，求集合中元素個數(shù)的最大值，并說明理由.9．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列是首項為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)表示不超過的最大整數(shù)（如：），求集合中元素的個數(shù)．10．（2023·北京西城·模擬預(yù)測）已知A為有限個實數(shù)構(gòu)成的非空集合，設(shè)，，記集合和其元素個數(shù)分別為，.設(shè).例如當(dāng)時，，，，所以.(1)若，求的值；(2)設(shè)A是由3個正實數(shù)組成的集合且，；，證明：為定值；(3)若是一個各項互不相同的無窮遞增正整數(shù)列，對任意，設(shè)，.已知，，且對任意，，求數(shù)列的通項公式.11．（2023·北京·模擬預(yù)測）正整數(shù)集合，且，，中所有元素和為，集合.(1)若，請直接寫出集合；(2)若集合中有且只有兩個元素，求證“為等差數(shù)列”的充分必要條件是“集合中有個元素”；(3)若，求的最小值，以及當(dāng)取最小值時，最小值.12．（2023·北京通州·模擬預(yù)測）設(shè)集合A為含有n個元素的有限集．若集合A的m個子集，，…，滿足：①，，…，均非空；②，，…，中任意兩個集合交集為空集；③．則稱，，…，為集合A的一個m階分拆．(1)若，寫出集合A的所有2階分拆（其中，與，為集合A的同一個2階分拆）；(2)若，，為A的2階分拆，集合所有元素的平均值為P，集合所