拔高點突破01 新情景、新定義下的數(shù)列問題（七大題型）

拔高點突破01新情景、新定義下的數(shù)列問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 3題型一：牛頓數(shù)列問題 3題型二：高考真題下的數(shù)列新定義 4題型三：數(shù)列定義新概念 6題型四：數(shù)列定義新運算 7題型五：數(shù)列定義新情景 9題型六：差分?jǐn)?shù)列、對稱數(shù)列 10題型七：非典型新定義數(shù)列 1103過關(guān)測試 131、“新定義型”數(shù)列題考查了學(xué)生閱讀和理解能力，同時考查了學(xué)生對新知識、新事物接受能力和加以簡單運用的能力，考查了學(xué)生探究精神．要求解題者通過觀察、閱讀、歸納、探索進行遷移，即讀懂和理解新定義，獲取有用的新信息，然后運用這些有效的信息進一步推理，綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力和探索能力（多想少算甚至不算）．因此，“新定義型”數(shù)列在高考中常有體現(xiàn)，是一種用知識歸類、套路總結(jié)、強化訓(xùn)練等傳統(tǒng)教學(xué)方法卻難以解決高考中不斷出現(xiàn)的新穎試題．2、解答與數(shù)列有關(guān)的新定義問題的策略：（1）通過給定的與數(shù)列有關(guān)的新定義，或約定的一種新運算，或給出的由幾個新模型來創(chuàng)設(shè)的新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題設(shè)所提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的.（2）遇到新定義問題，需耐心研究題中信息，分析新定義的特點，搞清新定義的本質(zhì)，按新定義的要求“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使問題得以順利解決．（3）類比“熟悉數(shù)列”的研究方式，用特殊化的方法研究新數(shù)列，向“熟悉數(shù)列”的性質(zhì)靠攏．題型一：牛頓數(shù)列問題【典例1-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）牛頓選代法又稱牛頓——拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實數(shù)集上近似求解方程根的一種方法.具體步驟如下圖示：設(shè)r是函數(shù)的一個零點，任意選取作為r的初始近似值，在點作曲線的切線，設(shè)與軸x交點的橫坐標(biāo)為，并稱為r的1次近似值；在點作曲線的切線，設(shè)與軸x交點的橫坐標(biāo)為，稱為r的2次近似值.一般地，在點作曲線的切線，記與x軸交點的橫坐標(biāo)為，并稱為r的次近似值.設(shè)的零點為r，取，則r的1次近似值為；若為r的n次近似值，設(shè)，，數(shù)列的前n項積為.若任意，恒成立，則整數(shù)的最大值為.【典例1-2】記上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足的數(shù)列稱為函數(shù)的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列，且數(shù)列滿足.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列并求；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，若不等式對任意的恒成立，求t的取值范圍.【變式1-1】英國物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點時，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列，如果，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)且，，數(shù)列的前項和為，則（

）A． B． C． D．【變式1-2】科學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點時，給出了“牛頓數(shù)列”，其定義是：對于函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列，若函數(shù)，數(shù)列為牛頓數(shù)列且，則的值是（

）A．8 B．2 C． D．題型二：高考真題下的數(shù)列新定義【典例2-1】（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對數(shù)列進行如下變換：將的第項均加1，其余項不變，得到的數(shù)列記作；將的第項均加1，其余項不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個符合條件的；若不存在，請說明理由；(3)若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項都相等”的充要條件為“”．【典例2-2】（2024·全國·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中一次任取兩個數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．【變式2-1】（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列的項數(shù)均為m，且的前n項和分別為，并規(guī)定．對于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．【變式2-2】（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．【變式2-3】（2021·北京·高考真題）設(shè)p為實數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，且；②；③，．（1）如果數(shù)列的前4項為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；（3）設(shè)數(shù)列的前項和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由．題型三：數(shù)列定義新概念【典例3-1】（2024·廣東·模擬預(yù)測）定義：任取數(shù)列中相鄰的兩項，若這兩項之差的絕對值為1，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)1”.已知項數(shù)為的數(shù)列的所有項的和為，且數(shù)列具有“性質(zhì)1”.(1)若，且，寫出所有可能的的值；(2)若，證明：“”是“”的充要條件；(3)若，證明：或.【典例3-2】對任意正整數(shù)，定義的豐度指數(shù)，其中為的所有正因數(shù)的和．(1)求的值：(2)若，求數(shù)列的前項和(3)對互不相等的質(zhì)數(shù)，證明：，并求的值．【變式3-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）對于數(shù)列，定義，滿足，記，稱為由數(shù)列生成的“函數(shù)”．(1)試寫出“函數(shù)”，并求的值；(2)若“函數(shù)”，求n的最大值；(3)記函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，證明：“函數(shù)”．【變式3-2】（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）定義：在一個有窮數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴充”，例如：數(shù)列經(jīng)過第一次“和擴充”后得到數(shù)列；第二次“和擴充”后得到數(shù)列．設(shè)數(shù)列經(jīng)過次“和擴充”后得到的數(shù)列的項數(shù)為，所有項的和為．(1)若，求；(2)求不等式的解集；(3)是否存在數(shù)列，使得數(shù)列為等比數(shù)列？請說明理由．題型四：數(shù)列定義新運算【典例4-1】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）記集合無窮數(shù)列中存在有限項不為零，，對任意，設(shè)．定義運算若，則，且．(1)設(shè)，用表示；(2)若，證明：：(3)若數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，設(shè)，證明：．【典例4-2】（2024·浙江杭州·三模）卷積運算在圖象處理、人工智能、通信系統(tǒng)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用．一般地，對無窮數(shù)列，，定義無窮數(shù)列，記作，稱為與的卷積．卷積運算有如圖所示的直觀含義，即中的項依次為所列數(shù)陣從左上角開始各條對角線上元素的和，易知有交換律．(1)若，，，求，，，；(2)對，定義如下：①當(dāng)時，；②當(dāng)時，為滿足通項的數(shù)列，即將的每一項向后平移項，前項都取為0．試找到數(shù)列，使得；(3)若，，證明：當(dāng)時，．【變式4-1】（2024·山東青島·一模）記集合無窮數(shù)列中存在有限項不為零，，對任意，設(shè)變換，．定義運算：若，則，．(1)若，用表示；(2)證明：；(3)若，，，證明：．【變式4-2】任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）.如取正整數(shù)，根據(jù)上述運算法則得出，共需經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）.現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），當(dāng)時，（

）A．170 B．168 C．130 D．172題型五：數(shù)列定義新情景【典例5-1】（多選題）（2024·山東青島·三模）若有窮整數(shù)數(shù)列滿足：，且，則稱具有性質(zhì).則（

）A．存在具有性質(zhì)的B．存在具有性質(zhì)的C．若具有性質(zhì)，則中至少有兩項相同D．存在正整數(shù)，使得對任意具有性質(zhì)的，有中任意兩項均不相同【典例5-2】（2024·河南·二模）已知無窮數(shù)列是首項為1，各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，集合，若對于集合中的元素，數(shù)列中存在不相同的項，使得，則稱數(shù)列具有性質(zhì)，記集合數(shù)列具有性質(zhì).(1)若數(shù)列的通項公式為，判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)，若具有，寫出集合與集合；(2)已知數(shù)列具有性質(zhì)且集合中的最小元素為.集合中的最小元素為，當(dāng)時，證明：.【變式5-1】（2024·北京東城·二模）已知為有窮整數(shù)數(shù)列，若滿足：，其中，是兩個給定的不同非零整數(shù)，且，則稱具有性質(zhì).(1)若，，那么是否存在具有性質(zhì)的？若存在，寫出一個這樣的；若不存在，請說明理由；(2)若，，且具有性質(zhì)，求證：中必有兩項相同；(3)若，求證：存在正整數(shù)，使得對任意具有性質(zhì)的，都有中任意兩項均不相同.【變式5-2】（2024·北京朝陽·一模）若有窮自然數(shù)數(shù)列：滿足如下兩個性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，其中，表示，這個數(shù)中最大的數(shù)；②，其中，表示，這個數(shù)中最小的數(shù).(1)判斷：2，4，6，7，10是否為數(shù)列，說明理由；(2)若：是數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，求；(3)證明：對任意數(shù)列：，存在實數(shù)，使得.（表示不超過的最大整數(shù)）題型六：差分?jǐn)?shù)列、對稱數(shù)列【典例6-1】（多選題）如果項數(shù)有限的數(shù)列滿足，則稱其為“對稱數(shù)列”，設(shè)是項數(shù)為的“對稱數(shù)列”，其中，，，是首項為，公差為的等差數(shù)列，則（

）A．若，則 B．若，則所有項的和為C．當(dāng)時，所有項的和最大 D．所有項的和不可能為【典例6-2】若項數(shù)為的數(shù)列滿足：我們稱其為項的“對稱數(shù)列”．例如：數(shù)列為項的“對稱數(shù)列”；數(shù)列為項的“對稱數(shù)列”．設(shè)數(shù)列為項的“對稱數(shù)列”，其中是公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的最大項等于，記數(shù)列的前項和為，若，則．【變式6-1】（2024·四川南充·三模）對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分，其中，規(guī)定為數(shù)列的k階差分，其中．若，則（

）A．7 B．9 C．11 D．13【變式6-2】（2024·四川南充·三模）對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分，其中，規(guī)定為數(shù)列的階差分，其中.若，則（

）A．7 B．9 C．11 D．13題型七：非典型新定義數(shù)列【典例7-1】（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知n行n列的數(shù)表中，滿足：，.若數(shù)表滿足當(dāng)時，總有，則稱此數(shù)表為典型數(shù)表，此時記.(1)若數(shù)表，，請直接寫出M，N是否是典型數(shù)表；(2)當(dāng)時，是否存在典型數(shù)表A使得，若存在，請寫出一個數(shù)表A；若不存在，請說明理由；(3)若數(shù)表A為典型數(shù)表，求的最小值（直接寫出結(jié)果，不需要證明）.【典例7-2】（2024·遼寧葫蘆島·二模）設(shè)數(shù)陣，其中.設(shè)，其中，且.定義變換為“對于數(shù)陣的每一列，若其中有t或，則將這一列中所有數(shù)均保持不變；若其中沒有t且沒有，則這一列中每個數(shù)都乘以”（），表示“將經(jīng)過變換得到，再將經(jīng)過變換得到，…，以此類推，最后將經(jīng)過變換得到.記數(shù)陣中四個數(shù)的和為.(1)若，，寫出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣，并求的值；(2)若，，求的所有可能取值的和；(3)對任意確定的一個數(shù)陣，證明：的所有可能取值的和不大于.【變式7-1】已知無窮數(shù)列，給出以下定義：對于任意的，都有，則稱數(shù)列為“數(shù)列”；特別地，對于任意的，都有，則稱數(shù)列為“嚴(yán)格數(shù)列”.(1)已知數(shù)列，的前項和分別為，，且，，試判斷數(shù)列，數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；(2)證明：數(shù)列為“數(shù)列”的充要條件是“對于任意的，，，當(dāng)時，有”；(3)已知數(shù)列為“嚴(yán)格數(shù)列”，且對任意的，，，.求數(shù)列的最小項的最大值.【變式7-2】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知數(shù)列是斐波那契數(shù)列，其數(shù)值為：.這一數(shù)列以如下遞推的方法定義：.數(shù)列對于確定的正整數(shù)，若存在正整數(shù)使得成立，則稱數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”.(1)已知數(shù)列滿足.判斷是否對，總存在確定的正整數(shù)，使得數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”，并說明理由.(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，（i）若數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”，求出符合條件的實數(shù)的值；（ii）在（i）問的前提下，若數(shù)列滿足，，其前項和為.證明：當(dāng)且時，成立.1．（2024·浙江紹興·三模）設(shè)，已知，若恒成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．（2024·上?！つM預(yù)測）已知數(shù)列不是常數(shù)列，前項和為，且．若對任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得，則稱是“可控數(shù)列”．現(xiàn)給出兩個命題：①存在等差數(shù)列是“可控數(shù)列”；②存在等比數(shù)列是“可控數(shù)列”．則下列判斷正確的是（

）A．①與②均為真命題 B．①與②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題3．?dāng)?shù)列的前n項和為，若數(shù)列與函數(shù)滿足：①的定義域為；②數(shù)列與函數(shù)均單調(diào)增；③存在正整數(shù)，使成立，則稱數(shù)列與函數(shù)具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”.給出下列兩個命題：（

）①與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有有限個；②與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無數(shù)個.A．①②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是假命題4．（多選題）（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）在股票市場中，股票的價格是有界的，投資者通常會通過價格的變化來確保自己的風(fēng)險，這種變化的價格類似于我們數(shù)學(xué)中的數(shù)列，定義如果存在正數(shù)，使得對一切正整數(shù)，都有，則稱為有界數(shù)列，數(shù)列收斂指數(shù)列有極限，我們把極限存在（不含無窮大）的數(shù)列稱為收斂數(shù)列，如數(shù)列，顯然對一切正整數(shù)都有，而的極限為，即數(shù)列既有界也收斂.如數(shù)列，顯然對一切正整數(shù)都有，但不存在極限，即數(shù)列有界但不收斂.下列數(shù)列是有界數(shù)列但不收斂的數(shù)列有（

）A． B．C． D．5．（多選題）（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，若對，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為“等差比數(shù)列”，為公差比，設(shè)數(shù)列的前項和是，則下列說法一定正確的是（

）A．等差數(shù)列是等差比數(shù)列B．若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則該數(shù)列的公比與公差比相同C．若數(shù)列是等差比數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列D．若數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列等差比數(shù)列6．（多選題）（2024·山東煙臺·一模）給定數(shù)列，定義差分運算：.若數(shù)列滿足，數(shù)列的首項為1，且，則（

）A．存在，使得恒成立B．存在，使得恒成立C．對任意，總存在，使得D．對任意，總存在，使得7．（多選題）（2024·浙江·模擬預(yù)測）“角谷猜想”是指一個正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，這樣經(jīng)過若干次這兩種運算，最終必進入循環(huán)圖.對任意正整數(shù)，按照上述規(guī)則實施第次運算的結(jié)果為，（

）A．當(dāng)時，則B．當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減C．若，且均不為1，則D．當(dāng)時，從中任取兩個數(shù)至少一個為奇數(shù)的概率為8．（2024·高三·河北保定·期中）英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點時，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列如果函數(shù)，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)，且，則9．（2024·江西九江·模擬預(yù)測）著名科學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點時，給出了“牛頓數(shù)列”，它在航空航天中應(yīng)用廣泛.其定義是：對于函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列，若函數(shù)，，且，則.10．給定函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列.已知為的牛頓數(shù)列，且，數(shù)列的前項和為.則.11．將正整數(shù)分解為兩個正整數(shù)、的積，即，當(dāng)、兩數(shù)差的絕對值最小時，我們稱其為最優(yōu)分解.如，其中即為20的最優(yōu)分解，當(dāng)、是的最優(yōu)分解時，定義，則數(shù)列的前2024項的和為.12．（2024·高三·甘肅蘭州·開學(xué)考試）已知數(shù)表，，，其中分別表示，，中第行第列的數(shù)．若，則稱是，的生成數(shù)表．若數(shù)表，，且是的生成數(shù)表，則．13．，，…是一個1，2，3，…，10的排列，要求和一定有一個大于（），則滿足的排列的總數(shù)為．14．（2024·北京通州·三模）若數(shù)列、均為嚴(yán)格增數(shù)列，且對任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)m，使得，則稱數(shù)列為數(shù)列的“M數(shù)列”．已知數(shù)列的前n項和為，則下列結(jié)論中正確的是．①存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”②存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”③存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”④存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”15．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）對于有窮數(shù)列，從數(shù)列中選取第項?第項??第項，順次排列構(gòu)成數(shù)列，其中，則稱新數(shù)列為的一個子列，稱各項之和為的一個子列和．規(guī)定：數(shù)列的任意一項都是的子列．則數(shù)列的所有子列和的和為．16．（2024·高三·山東日照·期中）任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈1→4→2→1，這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）.如取正整數(shù)6，根據(jù)上述運算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）.“冰雹猜想”可表示為數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），.問：當(dāng)時，試確定使得需要步“雹程”；若，則所有可能的取值所構(gòu)成的集合為.17．（2024·高三·北京朝陽·期末）中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中開方運算暗含著迭代法，清代數(shù)學(xué)家夏鸞翔在其著作《少廣縋鑿》中用迭代法