第五章 平面向量與復(fù)數(shù)（測試）（含答案解析）

第五章平面向量與復(fù)數(shù)（測試）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量為單位向量，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為向量均為單位向量，即，且，，則，兩邊平方可得，即，所以，又，所以與的夾角為．故選：C．2．已知向量，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【解析】由兩邊平方得，，所以，所以，所以，故選：D.3．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．直線上 B．直線上C．直線上 D．直線上【答案】B【解析】易知，所以，可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，位于直線上.故選：B4．若復(fù)數(shù)滿足，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】復(fù)數(shù)滿足，.故選：A5．設(shè)是關(guān)于的方程的兩根其中，若（為虛數(shù)單位）.則（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】因為關(guān)于的方程的一個根為，所以另一個根，所以.故選：A.6．已知非零不共線向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，由兩邊平方得，，整理得，，因是非零不共線向量，則，即，解得，，此時函數(shù)是增函數(shù)，故，即的取值范圍為.故選：D.7．已知，都是正實數(shù)，若向量，，且滿足，則的最小值是（

）A．50 B． C． D．【答案】A【解析】因為向量，，且，則，所以，化簡可得，整理可得，因為，都是正實數(shù)，所以，即，所以，解得或（舍），所以，即，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值是.故選：A8．是等腰直角三角形，其中，是所在平面內(nèi)的一點，若（且），則在上的投影向量的長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，（且），則（且），則在線段上，如圖所示，當與重合時，在上的投影向量的長度取得最大值，最大值為；當與重合時，在上的投影向量的長度取得最小值，最大值為；則在上的投影向量的長度的取值范圍是．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知向量，，為非零向量，下列說法正確的有（

）A．若，，則B．已知向量，，則C．若，則和在上的投影向量相等D．已知，，，則點A，B，D一定共線【答案】CD【解析】對于A，若，，則與可能平行，故A錯誤；對于B，設(shè)，則，解得，所以，故B錯誤；對于C，若，則，所以，所以和在上的投影向量相等，故C正確；對于D，因為，，所以,所以點A，B，D一定共線，故D正確.故選：CD.10．已知復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．C． D．【答案】BCD【解析】對于A，設(shè)，顯然，但，故A錯；對于B，設(shè)，則，，，所以，故B對；對于CD，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)向量，復(fù)數(shù)對應(yīng)向量，復(fù)數(shù)加減法對應(yīng)向量加減法，故和分別為和為鄰邊構(gòu)成平行四邊形的兩條對角線的長度，所以，，故C對，D對.故選：BCD.11．已知點，，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若， D．的最大值為【答案】ACD【解析】由題意可知，，對于A，當時，，所以,即，故，故A正確；對于B，因為，所以存在實數(shù)，使得，即，解得，故或，故B錯誤；對于C，因為，所以，解得，故C正確；對于D，因為，所以，其中，所以當時，，故D正確.故選：ACD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知正方形ABCD，邊長為1，點E是BC邊上一點，若，則.【答案】【解析】因為在單位正方形，點是邊上一點，又，所以，，所以.故答案為：13．已知復(fù)數(shù)，且，則的最小值是．【答案】1【解析】因為復(fù)數(shù)，且，所以，所以，得，所以，所以，因為，所以，所以，當且僅當，即或（舍去）時取等號，所以的最小值是1.故答案為：114．如圖所示，正方形的邊長為，正方形邊長為1，則的值為.若在線段上有一個動點，則的最小值為.【答案】6【解析】由已知得正方形與正方形的中心重合，不妨設(shè)為，所以，，則；，顯然，當為的中點時，，所以故答案為：6；．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知平面向量，.(1)求的值；(2)求與夾角的余弦值.【解析】（1），（3分）故；（6分）（2）設(shè)與夾角為，，（12分）故與夾角的余弦值為（13分）16．（15分）已知復(fù)數(shù)與．(1)求及的值；(2)設(shè)，滿足的點Z的集合是什么圖形？【解析】（1），；（7分）（2）由（1）知，設(shè)（x、）．因為不等式的解集是以為圓心，1為半徑的圓上和該圓外部所有點組成的集合，不等式的解集是以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上和該圓內(nèi)部所有點組成的集合，（12分）所以滿足條件的點Z的集合是以原點O為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，并包括圓環(huán)的邊界，如圖所示．（15分）17．（15分）在復(fù)數(shù)域中，對于正整數(shù)滿足的所有復(fù)數(shù)稱為單位根，其中滿足對任意小于的正整數(shù)，都有，則稱這種復(fù)數(shù)為次的本原單位根，例如當時，存在四個4次單位根，因為，因此只有兩個4次本原單位根．(1)直接寫出復(fù)數(shù)的3次單位根，并指出那些是復(fù)數(shù)的3次本原單位根（無需證明）．(2)①若是復(fù)數(shù)的8次本原單位根，證明：．②若是復(fù)數(shù)的次本原單位根，證明：．【解析】（1）由題意可得的解為，（3分）則復(fù)數(shù)的3次單位根為，由于因為，的一次方以及2次方均不等于1，故復(fù)數(shù)的3次本原單位根為.（6分）（2）證明：①因為是復(fù)數(shù)的8次本原單位根，所以.因為，所以，所以，則.（11分）②因為是復(fù)數(shù)的次本原單位根，所以，設(shè)，則.因為，所以，所以，所以.因為，所以，即，則，即.（15分）18．（17分）如圖，在平面四邊形中，已知，，，為線段上一點.(1)求的值；(2)若為線段的中點，求的值；(3)試確定點的位置，使得最小.【解析】（1），，，，，，，；（5分）（2）（9分）（3）法一：設(shè)()，則，，當時，即時，最小.（17分）法二：建立如圖平面直角坐標系，則，，，，設(shè)()，則，當時，即時，最?。?7分）19．（17分）定義向量的“伴隨函數(shù)”為；函數(shù)的“伴隨向量”為.(1)寫出的“伴隨函數(shù)”，并直接寫出的最大值；(2)寫出函數(shù)的“伴隨向量”為，并求；(3)已知，的“伴隨函數(shù)”為，的“伴隨函數(shù)”為，設(shè)，且的伴隨函數(shù)為，其最大值為.①若，求的取值范圍；②求證：向量的充