廣東省普寧華僑中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷

普寧華僑中學(xué)2024-2025學(xué)年度高二第一學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x≤0}，B＝{y|y＝2x}，則A∩(?UB)＝()A．(0，3]B．{0}C．(－∞，0] D．[－3，1]2．已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，且α∩β＝m，則“m⊥n”是“n⊥β”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3.若復(fù)數(shù)z滿足z(1＋i)＝|eq\r(3)－i|，則在復(fù)平面內(nèi)z的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4.已知α為銳角，且cos(α＋eq\f(π,4))＝－eq\f(1,2)，則cos(α＋eq\f(3π,4))＝()A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)5.已知平面向量a，b滿足|a|＝4，b＝(1，2eq\r(2))，且(a＋2b)⊥(3a－b)．則向量a與向量b的夾角是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)6.如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在OA上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則等于（

）A．B．C． D．7.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x(1＋x)．則當(dāng)x<0時，f(x)的解析式為()A．f(x)＝x(1＋x)B．f(x)＝x(x－1)C．f(x)＝－x(1＋x) D．f(x)＝x(1－x)8.如圖，四棱錐S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，SD＝CD，AB＝AD，CD＝2AD，M是BC中點(diǎn)，N是線段SA上的點(diǎn)，設(shè)MN與平面SAD所成角為α，則sinα的最大值為()A．eq\f(3\r(5),7)B．eq\f(3\r(3),7)C．eq\f(2\r(5),7)D．eq\f(2\r(3),7)二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則()A．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值4B．eq\f(ab,a＋b)有最大值eq\f(1,2)C．eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2) D．a(chǎn)2＋b2有最小值eq\f(1,2)10．下列說法正確的是()A．1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的第60百分位數(shù)是6B．已知一組數(shù)據(jù)2、3、5、x、8的平均數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的方差是5.2C．用分層隨機(jī)抽樣時，個體數(shù)最多的層里的個體被抽到的概率最大D．若x1、x2、…、x10的標(biāo)準(zhǔn)差為2，則3x1＋1、3x2＋1、…、3x10＋1的標(biāo)準(zhǔn)差是611．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)P是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱的中點(diǎn)，則以下命題正確的是（

）A．三棱錐的體積是定值B．存在點(diǎn)P，使得與所成的角為C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為D．若，則P的軌跡的長度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，其中、，若平面的一個法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為．13.已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，則該圓錐的側(cè)面積為________．14.在棱長為的正方體中，是正方體外接球的直徑，點(diǎn)是正方體表面上的一點(diǎn)，則的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知點(diǎn)，，，設(shè)，，．(1)若實(shí)數(shù)使與垂直，求值．(2)求在上的投影向量．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求B的大?。唬?）若，求△ABC的面積．17（15分）某機(jī)械零件工廠為了檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，質(zhì)檢部門隨機(jī)在生產(chǎn)線上抽取了100個零件并稱出它們的重量(單位：克)．重量按照[495，505)，[505，515)，…，[535，545]分組，得到頻率分布直方圖如圖所示．(1)估計該工廠生產(chǎn)的零件重量的平均數(shù)；(每組數(shù)據(jù)用該組的中點(diǎn)值作代表)(2)估計該工廠生產(chǎn)的零件重量的80%分位數(shù)；(3)按各組零件數(shù)量比例用分層隨機(jī)抽樣方法從樣本里重量不低于525克的零件中抽取6個零件，再從這6個零件中任取2個，求這2個零件的重量均在[525，535)內(nèi)的概率．（17分）如圖，在直三棱柱中，，E為的中點(diǎn)，．(1)證明：．(2)求二面角的余弦值．19．（17分）如圖，棱長為2的正方體中，E、F分別是棱AB，AD的中點(diǎn)，G為棱上的動點(diǎn)．(1)是否存在一點(diǎn)G，使得面？若存在，指出點(diǎn)G位置，并證明你的結(jié)論，若不存在，說明理由；(2)若直線EG與平面所成的角為，求三棱錐的體積；(3)求三棱錐的外接球半徑的最小值．普寧市華僑中學(xué)2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期高二級第一次月考數(shù)學(xué)科試題參考答案1-8BBACCBDA9.ACD10.BD11.ACD12.13.39π14.15．【解析】（1）依題意，，…3分，…5分由與垂直，得，解得，所以.…………7分(2)由（1）知，，，…10分所以在上的投影向量為.……………13分16．解：（1）因為，由正弦定理可得，…2分又，…4分所以，…5分因為，則，所以，…6分因為，所以.…7分(2)因為，，由余弦定理可得，…9分整理得，…11分又，解得，…13分所以.…15分17[解](1)由題意得：(0.005＋0.015＋0.02＋0.035＋t)×10＝1，解得t＝0.025.…………2分則各個小組的頻率分別為0.15，0.2,0.35,0.25,0.05.…3分估計該工廠生產(chǎn)的零件重量的平均數(shù)約為500×0.15＋510×0.2＋520×0.35＋530×0.25＋540×0.05＝518.5.…5分(2)設(shè)80%分位數(shù)為x，∵前三組頻率和為0.7，前四組頻率和為0.95，∴x∈[525，535)，………6分∴0.7＋eq(\a\vs4\al\co1(x－525))×0.025＝0.8，…8分解得x＝529，該工廠生產(chǎn)的零件重量的80%分位數(shù)為529.……………9分(3)由條件知：6個零件中，重量在[525，535)內(nèi)的零件個數(shù)為5，分別記為A，B，C，D，E；重量在[535，545]內(nèi)的零件個數(shù)為1，記為f.…10分從中隨機(jī)抽取2個，樣本空間為Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，eq(\a\vs4\al\co1(A，E))，eq(\a\vs4\al\co1(A，f))，eq(\a\vs4\al\co1(B，C))，eq(\a\vs4\al\co1(B，D))，eq(\a\vs4\al\co1(B，E))，eq(\a\vs4\al\co1(B，f))，eq(\a\vs4\al\co1(C，D))，eq(\a\vs4\al\co1(C，E))，eq(\a\vs4\al\co1(C，f))，eq(\a\vs4\al\co1(D，E))，eq(\a\vs4\al\co1(D，f))，eq(\a\vs4\al\co1(E，f))}，∴neq(\a\vs4\al\co1(Ω))＝15.……12分設(shè)“這2個零件的重量均在[525，535)內(nèi)”為事件M，則M＝{(A，B)，eq(\a\vs4\al\co1(A，C))，eq(\a\vs4\al\co1(A，D))，eq(\a\vs4\al\co1(A，E))，eq(\a\vs4\al\co1(B，C))，eq(\a\vs4\al\co1(B，D))，eq(\a\vs4\al\co1(B，E))，eq(\a\vs4\al\co1(C，D))，eq(\a\vs4\al\co1(C，E))，eq(\a\vs4\al\co1(D，E))}，∴neq(\a\vs4\al\co1(M))＝10，…13分∴Peq(\a\vs4\al\co1(M))＝eq\f(n(\a\vs4\al\co1(M)),n(\a\vs4\al\co1(Ω)))＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).…15分18.證明：（1）在直三棱柱中，平面,平面,所以，………………2分又由題可知，，…3分因為,平面且,所以平面,…6分又因為平面,所以.…7分（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建系如圖，…8分由，，可得，…9分則有…10分設(shè)平面的一個方向量為,所以即令則，所以…13分因為平面,所以為平面的一個法向量，…………14分所以,,…16分即二面角的余弦值等于.…17分19．【解析】（1）存在一點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)G為的中點(diǎn)，使得面，…………1分連接，如圖所示：∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，，…2分又，且，∴四邊形是平行四邊形，………………3分，，…4分又∵平面，且平面EFG，∴平面．…5分（2）取的中點(diǎn)，連接，，由題意可知，平面，且，是直線與平面所成的角，即，…6分在中，，…7分∴在中，，…8分又，…9分．…10分（3）以點(diǎn)為坐