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文檔簡介
2022-2023學(xué)年安徽省霍邱縣正華外語學(xué)校高三下學(xué)期寒假收心模擬考試數(shù)學(xué)試題試卷注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,平面四邊形中,,,,為等邊三角形,現(xiàn)將沿翻折,使點移動至點,且,則三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.2.已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β,直線l滿足l⊥m,l⊥n,則()A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交,且交線垂直于 D.α與β相交,且交線平行于3.已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是,則()A.2 B.3 C.-2 D.-34.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列,則公比的值為(
)A. B. C.或 D.或5.已知集合,,,則()A. B. C. D.6.已知i為虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.7.若雙曲線:的一條漸近線方程為,則()A. B. C. D.8.在中,角所對的邊分別為,已知,則()A.或 B. C. D.或9.已知向量,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.10.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.11.設(shè)M是邊BC上任意一點,N為AM的中點,若,則的值為()A.1 B. C. D.12.已知m為實數(shù),直線:,:,則“”是“”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)()在區(qū)間上的值小于0恒成立,則的取值范圍是________.14.某中學(xué)高一年級有學(xué)生1200人,高二年級有學(xué)生900人,高三年級有學(xué)生1500人,現(xiàn)按年級用分層抽樣的方法從這三個年級的學(xué)生中抽取一個容量為720的樣本進行某項研究,則應(yīng)從高三年級學(xué)生中抽取_____人.15.設(shè)f(x)=etx(t>0),過點P(t,0)且平行于y軸的直線與曲線C:y=f(x)的交點為Q,曲線C過點Q的切線交x軸于點R,若S(1,f(1)),則△PRS的面積的最小值是_____.16.的展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為_________(用數(shù)字作答).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,⊙的直徑的延長線與弦的延長線相交于點,為⊙上一點,,交于點.求證:~.18.(12分)已知動圓Q經(jīng)過定點,且與定直線相切(其中a為常數(shù),且).記動圓圓心Q的軌跡為曲線C.(1)求C的方程,并說明C是什么曲線?(2)設(shè)點P的坐標(biāo)為,過點P作曲線C的切線,切點為A,若過點P的直線m與曲線C交于M,N兩點,則是否存在直線m,使得?若存在,求出直線m斜率的取值范圍;若不存在,請說明理由.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,點的坐標(biāo)為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),為常數(shù),且).以直角坐標(biāo)系的原點為極點,軸的正半軸為極軸,且兩個坐標(biāo)系取相等的長度單位,建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.設(shè)點在圓外.(1)求的取值范圍.(2)設(shè)直線與圓相交于兩點,若,求的值.20.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求在點處的切線方程;(Ⅱ)求證:在上存在唯一的極大值;(Ⅲ)直接寫出函數(shù)在上的零點個數(shù).21.(12分)已知曲線:和:(為參數(shù)).以原點為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,且兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和的方程化為極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)與,軸交于,兩點,且線段的中點為.若射線與,交于,兩點,求,兩點間的距離.22.(10分)2019年6月,國內(nèi)的運營牌照開始發(fā)放.從到,我們國家的移動通信業(yè)務(wù)用了不到20年的時間,完成了技術(shù)上的飛躍,躋身世界先進水平.為了解高校學(xué)生對的消費意愿,2019年8月,從某地在校大學(xué)生中隨機抽取了1000人進行調(diào)查,樣本中各類用戶分布情況如下:用戶分類預(yù)計升級到的時段人數(shù)早期體驗用戶2019年8月至2019年12月270人中期跟隨用戶2020年1月至2021年12月530人后期用戶2022年1月及以后200人我們將大學(xué)生升級時間的早晚與大學(xué)生愿意為套餐支付更多的費用作比較,可得出下圖的關(guān)系(例如早期體驗用戶中愿意為套餐多支付5元的人數(shù)占所有早期體驗用戶的).(1)從該地高校大學(xué)生中隨機抽取1人,估計該學(xué)生愿意在2021年或2021年之前升級到的概率;(2)從樣本的早期體驗用戶和中期跟隨用戶中各隨機抽取1人,以表示這2人中愿意為升級多支付10元或10元以上的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)2019年底,從這1000人的樣本中隨機抽取3人,這三位學(xué)生都已簽約套餐,能否認(rèn)為樣本中早期體驗用戶的人數(shù)有變化?說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
將三棱錐補形為如圖所示的三棱柱,則它們的外接球相同,由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上,在中,計算半徑即可.【詳解】由,,可知平面.將三棱錐補形為如圖所示的三棱柱,則它們的外接球相同.由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上,記的外心為,由為等邊三角形,可得.又,故在中,,此即為外接球半徑,從而外接球表面積為.故選:A【點睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積,考查了學(xué)生空間想象,邏輯推理,綜合分析,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于較難題.2.D【解析】
試題分析:由平面,直線滿足,且,所以,又平面,,所以,由直線為異面直線,且平面平面,則與相交,否則,若則推出,與異面矛盾,所以相交,且交線平行于,故選D.考點:平面與平面的位置關(guān)系,平面的基本性質(zhì)及其推論.3.B【解析】
根據(jù)求出再根據(jù)也在直線上,求出b的值,即得解.【詳解】因為,所以所以,又也在直線上,所以,解得所以.故選:B【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.4.D【解析】
由成等差數(shù)列得,利用等比數(shù)列的通項公式展開即可得到公比q的方程.【詳解】由題意,∴2aq2=aq+a,∴2q2=q+1,∴q=1或q=故選:D.【點睛】本題考查等差等比數(shù)列的綜合,利用等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程求q是解題的關(guān)鍵,對于等比數(shù)列的通項公式也要熟練.5.A【解析】
求得集合中函數(shù)的值域,由此求得,進而求得.【詳解】由,得,所以,所以.故選:A【點睛】本小題主要考查函數(shù)值域的求法,考查集合補集、交集的概念和運算,屬于基礎(chǔ)題.6.A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運算法則,即可求解.【詳解】.故選:A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)運算,屬于基礎(chǔ)題題.7.A【解析】
根據(jù)雙曲線的漸近線列方程,解方程求得的值.【詳解】由題意知雙曲線的漸近線方程為,可化為,則,解得.故選:A【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線,屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】
根據(jù)正弦定理得到,化簡得到答案.【詳解】由,得,∴,∴或,∴或.故選:【點睛】本題考查了正弦定理解三角形,意在考查學(xué)生的計算能力.9.A【解析】
投影即為,利用數(shù)量積運算即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為,由題意,得,,所以,向量在向量方向上的投影為.故選:A.【點睛】本題主要考察了向量的數(shù)量積運算,難度不大,屬于基礎(chǔ)題.10.C【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性得,再比較的大小,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得選項.【詳解】依題意得,,當(dāng)時,,因為,所以在上單調(diào)遞增,又在上單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,,即,故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用、冪、指、對的大小比較,以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.11.B【解析】
設(shè),通過,再利用向量的加減運算可得,結(jié)合條件即可得解.【詳解】設(shè),則有.又,所以,有.故選B.【點睛】本題考查了向量共線及向量運算知識,利用向量共線及向量運算知識,用基底向量向量來表示所求向量,利用平面向量表示法唯一來解決問題.12.A【解析】
根據(jù)直線平行的等價條件,求出m的值,結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】當(dāng)m=1時,兩直線方程分別為直線l1:x+y﹣1=0,l2:x+y﹣2=0滿足l1∥l2,即充分性成立,當(dāng)m=0時,兩直線方程分別為y﹣1=0,和﹣2x﹣2=0,不滿足條件.當(dāng)m≠0時,則l1∥l2?,由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2,由得m≠2,則m=1,即“m=1”是“l(fā)1∥l2”的充要條件,故答案為:A【點睛】(1)本題主要考查充要條件的判斷,考查兩直線平行的等價條件,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題也可以利用下面的結(jié)論解答,直線和直線平行,則且兩直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗看兩直線是否重合.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
首先根據(jù)的取值范圍,求得的取值范圍,由此求得函數(shù)的值域,結(jié)合區(qū)間上的值小于0恒成立列不等式組,解不等式組求得的取值范圍.【詳解】由于,所以,由于區(qū)間上的值小于0恒成立,所以().所以,由于,所以,由于,所以令得.所以的取值范圍是.故答案為:【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)值域的求法,考查三角函數(shù)值恒小于零的問題的求解,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.14.1.【解析】
先求得高三學(xué)生占的比例,再利用分層抽樣的定義和方法,即可求解.【詳解】由題意,高三學(xué)生占的比例為,所以應(yīng)從高三年級學(xué)生中抽取的人數(shù)為.【點睛】本題主要考查了分層抽樣的定義和方法,其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
計算R(t,0),PR=t﹣(t),△PRS的面積為S,導(dǎo)數(shù)S′,由S′=0得t=1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值.【詳解】∵PQ∥y軸,P(t,0),∴Q(t,f(t))即Q(t,),又f(x)=etx(t>0)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=tetx,∴過Q的切線斜率k=t,設(shè)R(r,0),則k,∴r=t,即R(t,0),PR=t﹣(t),又S(1,f(1))即S(1,et),∴△PRS的面積為S,導(dǎo)數(shù)S′,由S′=0得t=1,當(dāng)t>1時,S′>0,當(dāng)0<t<1時,S′<0,∴t=1為極小值點,也為最小值點,∴△PRS的面積的最小值為.故答案為:.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問題,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.16.5670【解析】
根據(jù)二項式展開的通項,可得二項式系數(shù)的最大項,可求得其系數(shù).【詳解】二項展開式一共有項,所以由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知二項式系數(shù)最大的項為第5項,系數(shù)為.故答案為:5670【點睛】本題考查了二項式定理展開式的應(yīng)用,由通項公式求二項式系數(shù),屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.證明見解析【解析】
根據(jù)相似三角形的判定定理,已知兩個三角形有公共角,題中未給出線段比例關(guān)系,故可根據(jù)判定定理一需找到另外一組相等角,結(jié)合平面幾何的知識證得即可.【詳解】證明:∵,所以,又因為,所以.在與中,,,故~.【點睛】本題考查平面幾何中同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系、相似三角形的判定定理;考查邏輯推理能力和數(shù)形結(jié)合思想;分析圖形,找出角與角之間的關(guān)系是證明本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.18.(1),拋物線;(2)存在,.【解析】
(1)設(shè),易得,化簡即得;(2)利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可得,要使,只需.聯(lián)立直線m與拋物線方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可解決.【詳解】(1)設(shè),由題意,得,化簡得,所以動圓圓心Q的軌跡方程為,它是以F為焦點,以直線l為準(zhǔn)線的拋物線.(2)不妨設(shè).因為,所以,從而直線PA的斜率為,解得,即,又,所以軸.要使,只需.設(shè)直線m的方程為,代入并整理,得.首先,,解得或.其次,設(shè),,則,..故存在直線m,使得,此時直線m的斜率的取值范圍為.【點睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,涉及拋物線中的存在性問題,考查學(xué)生的計算能力,是一道中檔題.19.(1)(2)【解析】
(1)首先將曲線化為直角坐標(biāo)方程,由點在圓外,則解得即可;(2)將直線的參數(shù)方程代入圓的普通方程,設(shè)、對應(yīng)的參數(shù)分別為,列出韋達定理,由及在圓的上方,得,即即可解得;【詳解】解:(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為.由點在圓外,得點的坐標(biāo)為,結(jié)合,解得.故的取值范圍是.(2)由直線的參數(shù)方程,得直線過點,傾斜角為,將直線的參數(shù)方程代入,并整理得,其中.設(shè)、對應(yīng)的參數(shù)分別為,則,.由及在圓的上方,得,即,代入①,得,,消去,得,結(jié)合,解得.故的值是.【點睛】本題考查極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,直線的參數(shù)方程的幾何意義的應(yīng)用,屬于中檔題.20.(Ⅰ);(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ)函數(shù)在有3個零點.【解析】
(Ⅰ)求出導(dǎo)數(shù),寫出切線方程;(Ⅱ)二次求導(dǎo),判斷單調(diào)遞減,結(jié)合零點存在性定理,判斷即可;(Ⅲ),數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論.【詳解】解:(Ⅰ),,,故在點,處的切線方程為,即;(Ⅱ)證明:,,,故在遞減,又,,由零點存在性定理,存在唯一一個零點,,當(dāng)時,遞增;當(dāng)時,遞減,故在只有唯一的一個極大值;(Ⅲ)函數(shù)在有3個零點.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程,考查零點存在性定理的應(yīng)用,關(guān)鍵是能夠通過導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和零點存在定理確定導(dǎo)函數(shù)的零點個數(shù),進而確定函數(shù)的單調(diào)性,屬于難題.21.(1),;(2)1.【解析】
(1)利用正弦的和角公式,結(jié)合極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式,即可求得曲線的直角坐標(biāo)方程;先寫出曲線的普通方程,再利用公式化簡為極坐標(biāo)即可;(2)先求出的直角坐標(biāo),據(jù)此求得中點的直角坐標(biāo),將其轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo),聯(lián)立曲線的極坐標(biāo)方程,即可求得兩點的極坐標(biāo),則距離可解.【詳解】(1):可整理為,利用公式可得其直角坐標(biāo)方程為:,:的普通方程為,利用公式可得其極坐標(biāo)方程為(2)由(1)可得的直角坐標(biāo)方程為,故容易得,,∴,∴的極坐標(biāo)方程為,把代入得,.把代入得,.∴,即,兩點間的距離為1.【點睛】本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化,涉及參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程,以及在極坐標(biāo)系中求兩點之間的距離,屬綜合基礎(chǔ)題.22.(1)(2)詳見解析(3)事件雖然發(fā)生概率小,但是發(fā)生可能性為0.02,所以認(rèn)為早期體驗用戶沒有發(fā)生變化
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