材料力學(xué)：平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變研究

材料力學(xué)：應(yīng)變分析平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變研究oxy§5-2

平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變研究一、任意方向的應(yīng)變?cè)谒芯康腛

點(diǎn)處,Oxy

坐標(biāo)系內(nèi)的線應(yīng)變

x,

y,

xy

為已知。求該點(diǎn)沿任意方向的線應(yīng)變

。xyo并規(guī)定

角以逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正值，反之為負(fù)值。將Oxy坐標(biāo)繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)

角，得到一個(gè)新Ox’y’坐標(biāo)系。

為O

點(diǎn)沿X‘

方向的線應(yīng)變。

為直角

x’oy’

的改變量。（剪應(yīng)變）xyo假設(shè)：（1）O點(diǎn)處沿任意方向的微段內(nèi),應(yīng)變是均勻的。（2）變形在線彈性范圍內(nèi)都是微小的,疊加原理成立。xyo分別計(jì)算

x

，

y

，

xy

，單獨(dú)存在時(shí)的線應(yīng)變

和剪應(yīng)變

，然后疊加得這些應(yīng)變分量同時(shí)存在時(shí)的

和

。xyooxy1，推導(dǎo)線應(yīng)變

PABdxdy從O點(diǎn)沿x’方向取出一微段OP=dx’,并以它作為矩形OAPB

的對(duì)角線。該矩形的兩邊長(zhǎng)分別為dx

和dy

。oxyPABdxdyoxyPABdxdy（1）只有正值

x

存在假設(shè)OB

邊不動(dòng)。矩形OAPB

變形后成為OA‘P’B

。oxyPABdxdy的伸長(zhǎng)量為D

oxyPABdxdyDO點(diǎn)沿

x’

方向的線應(yīng)變

1

為

oxyPABdxdy（2）只有正值

y

存在假設(shè)OA

邊不動(dòng)。矩形OAPB

變形后為OAP”B‘。oxyPABdxdy的伸長(zhǎng)量為

O點(diǎn)沿x’方向的線應(yīng)變?yōu)閛xyPABdxdy

（3）只有正值剪應(yīng)變

xy

存在假設(shè)OA

邊不動(dòng)矩形OAPB

變形后為菱形OAP“‘B”。oxyPABdxdy使直角減小的

為正的伸長(zhǎng)為oxyABdxdy

PoxyABdxdy

PO點(diǎn)沿x’

方向的

線應(yīng)變?yōu)楦鶕?jù)疊加原理，

x,

y

和

xy

同時(shí)存在時(shí)，O點(diǎn)沿x’方向的線應(yīng)變?yōu)?，推導(dǎo)剪應(yīng)變

（略）經(jīng)三角變換后得：或?qū)懽鳎阂陨蟽墒较嗨?。二、?yīng)變圓以線應(yīng)變

作為橫坐標(biāo),而將(-/2)

作為縱坐標(biāo),便可繪出表示平面應(yīng)力狀態(tài)下一點(diǎn)處不同方向的應(yīng)變變化規(guī)律的應(yīng)變圓。o具體作法:以D1

(x,xy/2)D2(y,-xy/2)兩點(diǎn)連線為直徑畫(huà)應(yīng)變圓

/2三、主應(yīng)變的數(shù)值與方向o在平面應(yīng)力狀態(tài)下，在此平面內(nèi)一點(diǎn)處也存在著兩個(gè)互相垂直的主應(yīng)變

,其相應(yīng)的剪應(yīng)變等于零。

/2oA1和A2

兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于零,

它們的橫坐標(biāo)分別代表兩個(gè)主應(yīng)變

1

,

2

。

/2兩個(gè)主應(yīng)變方向間的夾角等于90°,即兩方向互相垂直。兩個(gè)主應(yīng)變的表達(dá)式為

0

為

1與x軸的夾角。o

/2主應(yīng)變

1與x軸間所夾角度

0

為xybac例題:

用圖示的45°應(yīng)變花測(cè)得某構(gòu)件表面上一點(diǎn)處的三個(gè)線應(yīng)變值為

x=345×10-6,

45°=208×10-6,

y=-149×10-6。試用應(yīng)變圓求該點(diǎn)處的主應(yīng)變數(shù)值和方向。xybac解:(1)選適當(dāng)?shù)谋壤?

繪出縱坐標(biāo)軸。

x=345×10-6

45°=

208×10-6

y=-149×10-6xybac(2)根據(jù)已知的

x，

450，

y

值分別作出平行于該軸的直線La，Lb，Lc。

x=345×10-6

45°=

208×10-6

y=-149×10-6xybac(3)過(guò)Lb

線上的任一點(diǎn)B,作與Lb成45°角(順時(shí)針轉(zhuǎn)向)的BA線，交La線于A點(diǎn);BAxybacA(4)由B點(diǎn)作與Lb成45°角(逆時(shí)針轉(zhuǎn)向)的

BC線,交Lc

線于C

點(diǎn)。CBxybacACO1(5)作與BA與BC兩線的垂直等分線,相交于O1點(diǎn)Bxybac(6)過(guò)與O1點(diǎn)作橫坐標(biāo)軸軸,并以O(shè)1A（O1B或O1C）為半徑作圓,即為應(yīng)變圓。A