數(shù)理統(tǒng)計：正交試驗(yàn)設(shè)計

正交試驗(yàn)設(shè)計一、正交表與試驗(yàn)設(shè)計

（一）正交表正交表是用來安排多因素多水平試驗(yàn)并進(jìn)行試驗(yàn)結(jié)果分析的工具，它最早開始于農(nóng)業(yè)試驗(yàn)，目前被廣泛用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)和科學(xué)技術(shù)的各個領(lǐng)域。正交試驗(yàn)的理論基礎(chǔ)是數(shù)論，它通過數(shù)字的不同安排形成特殊的表格，利用這種表格（正交表）安排多個因素每個因素又有多個水平的試驗(yàn)，可以達(dá)到以較少的試驗(yàn)次數(shù)就可以求得最優(yōu)的試驗(yàn)條件或最優(yōu)的生產(chǎn)條件的目的。１．正交表的構(gòu)造、試驗(yàn)號列號１２３４５６７１２３４５６７８１１１１１１１１１１２２２２１２２１１２２１２２２２１１２１２１２１２２１２２１２１２２１１２２１２２１２１１２試驗(yàn)號列號１２３４１２３４５６７８９１１１１２２２３３３１２３２２３１２３１２１３２３２１３３３２１２．正交表的特點(diǎn)（１）表的各列地位平等，各列之間可以互換；（２）表的各行地位平等，各行之間可以互換；（３）表中每列的不同數(shù)碼的個數(shù)相同，水平記號可以互換；（以上三種變換稱為初等變換，經(jīng)過變換所得的表稱為原表的同構(gòu)表。）（４）表的任意兩列的各水平所構(gòu)成的有序數(shù)對是一個帶有相同重復(fù)數(shù)的完全數(shù)對。由此表明了表的正交性。

３．利用正交表安排試驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)

（１）利用正交表安排試驗(yàn)，由于任意兩因素不同水平的搭配次數(shù)相同，可以使試驗(yàn)點(diǎn)均勻地分布在所考查的試驗(yàn)范圍內(nèi)，所安排的各試驗(yàn)點(diǎn)具有代表性；（２）由于表中各列的不同數(shù)碼的個數(shù)相同，這就使得每個因素不同水平的試驗(yàn)次數(shù)相同。保證了水平間的可比性，因而為我們能直觀地分析試驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)提供了有利條件。（二）正交試驗(yàn)設(shè)計的一般步驟（１）明確試驗(yàn)?zāi)康暮驮囼?yàn)指標(biāo)；（２）確定試驗(yàn)的因素和水平；（３）選用適當(dāng)?shù)恼槐?，并作好表頭設(shè)計；（４）安排試驗(yàn)，確定各次試驗(yàn)的條件及試驗(yàn)順序（為了避免產(chǎn)生系統(tǒng)誤差，可以隨機(jī)選定試驗(yàn)順序）；（５）進(jìn)行試驗(yàn)，并真實(shí)地記錄試驗(yàn)數(shù)據(jù)；（６）分析數(shù)據(jù)，找出相對最優(yōu)試驗(yàn)條件。二、正交試驗(yàn)數(shù)據(jù)的直觀分析下面通過例子來介紹試驗(yàn)數(shù)據(jù)的直觀分析法

例：某藥廠為了提高一種原料藥的收率，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定考察三個因素：溫度，加鹼量，催化劑種類，分別用Ａ，Ｂ，Ｃ表示。每個因素取三個水平，分別用表示。實(shí)際的因數(shù)和水平見下表：℃水平１２３８０８５９０３５４８５５甲乙丙列號因素試驗(yàn)號１２３４５６７８９１２３４Ａ／℃Ｂ／ｋｇＣ１（８０）１（３５）１（甲）１２（４８）２（乙）１３（５５）３（丙）２（８５）１２２２３２３１３（９０）１３３２１３３２試驗(yàn)?zāi)康暮椭笜?biāo)與因素和水平已確定，下面選表。因?yàn)楦饕蛩囟际侨齻€水平，故選三水平的正交表，又只有三個因素且不考慮因素間的交互性，所以選。表頭設(shè)計和試驗(yàn)安排見下表：（１）列號因素試驗(yàn)號１２３４５６７８９１２３４ＡＢＣ

１１１５１１２２２７１１３３３５８２１２３８２２２３１６９２３１２５９３１３２７７３２１３８５３３２１８４試驗(yàn)結(jié)果收率（％）做試驗(yàn)，記錄試驗(yàn)數(shù)據(jù)，如下表：（２）（３）試驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)分析直接看，找出已做的最好的試驗(yàn)：計算結(jié)果如下表：因素ＡＢＣ

１８０２１０１９５２１０２２５２３７２４６２０１２０４

６０７０６５７０７５７９８２６７６８２２８１４水平

先計算每個因素的各個水平的試驗(yàn)結(jié)果之和,如因素Ａ的第一水平（1,2,3號試驗(yàn)）的結(jié)果之和為51＋71＋58＝180，第三水平（7,8,9號試驗(yàn)）為77＋85＋84＝246，又如因素Ｂ的第二個水平（2,5,8號試驗(yàn)）為71＋69＋85＝225，因素Ｃ的第三水平（3,5,7號試驗(yàn)）為58＋69＋77＝204。其次計算每個因素的各個水平的平均試驗(yàn)結(jié)果，即將每水平下的結(jié)果之和除以該水平的重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)，如因素Ａ的第一水平的平均試驗(yàn)結(jié)果為180／3＝60,等等。如果設(shè)定的指標(biāo)越高越好的話，則平均結(jié)果高的水平就是相對比較好的水平。最后計算每個因素的極差Ｒ，Ｒ＝最大的平均結(jié)果－最小的平均結(jié)果。極差大的因素說明該因素的水平變動相對于其它因素而言更容易影響結(jié)果，我們稱它為主要因素。由此我們根據(jù)極差大小來確定因素的主次順序，本例由于Ｒ(Ａ)＝22＞Ｒ(C)＝14＞Ｒ(B)＝8,因此因素的主次順序?yàn)橹鞔危粒茫略俑鶕?jù)各因素的平均試驗(yàn)結(jié)果確定理論上相對最優(yōu)的試驗(yàn)條件，本例為，如果要考慮試驗(yàn)成本，也可以確定為。即選90度的溫度、加堿48公斤、使用乙種催化劑或選90度的溫度、加堿35公斤、使用乙種催化劑的試驗(yàn)條件。

（３）用試驗(yàn)驗(yàn)證所確定的理論上相對最優(yōu)的試驗(yàn)條件由于所確定的理論上相對最優(yōu)的試驗(yàn)條件并沒有出現(xiàn)在已做過的９次試驗(yàn)中，因此要再用試驗(yàn)來加以驗(yàn)證，為此分別用條件各做兩次試驗(yàn)，結(jié)果如下表：可見，從計算分析得出的條件確是比先前所做的要好，這正體現(xiàn)了正交試驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)，同時上述兩結(jié)果相差不大，因此可確定為實(shí)際的生產(chǎn)條件。（４）畫趨勢圖，作進(jìn)一步分析從溫度看，似乎溫度越高收率越高，那收率和溫度究竟有何關(guān)聯(lián)呢？為此我們需要進(jìn)一步分析，直觀方法是作趨勢圖（也可以回歸分析，但要數(shù)據(jù)多一點(diǎn)）。下圖是以因素為橫坐標(biāo)，指標(biāo)（收率）為縱坐標(biāo)的趨勢圖：90807060808590354855甲乙丙Ａ（溫度）／℃Ｂ（加鹼量）／ｋｇＣ（催化劑種類）平均收率(％)

從趨勢圖可以看出兩點(diǎn)：一是最好的試驗(yàn)條件是溫度：90度；加鹼量：48公斤；催化劑：乙種催化劑。二是收率和溫度呈現(xiàn)線性關(guān)系，溫度越高收率越高，因此適當(dāng)提高溫度，收率也許還會提高。

三、考慮交互作用的試驗(yàn)分析

在多因素的試驗(yàn)中，有些因素對試驗(yàn)指標(biāo)的影響往往有相互制約或相互促進(jìn)的情況，特別是在藥物制劑和中藥的配方的試驗(yàn)中，常會遇到此種情況。這在統(tǒng)計上稱為因素間的交互作用。下面從一個農(nóng)業(yè)試驗(yàn)的例子中可以看到因素間的交互作用確實(shí)存在。為了研究磷肥和氮肥對大豆增產(chǎn)的作用，選取面積相同，土質(zhì)和其它條件大致相同的４塊土地，用不同方式施用磷肥（Ｐ）和氮肥（Ｎ），結(jié)果得大豆畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)如下表：Ｐ／ｋｇＮ／ｋｇ畝產(chǎn)量／ｋｇ從上表看出單施２公斤磷肥，每畝增產(chǎn)２５公斤，單施３公斤氮肥，每畝增產(chǎn)１５公斤，既施磷肥又施氮肥每畝增產(chǎn)８０公斤，從中扣除單施磷肥或單施氮肥增產(chǎn)的２５公斤和１５公斤外，還多增產(chǎn)４０公斤，這正反映了磷肥和氮肥的交互作用。稱兩個因素Ａ、Ｂ的交互作用為一級交互作用，記為Ａ×Ｂ，兩個以上的因素的交互作用為高級交互作用，因后者情況比較復(fù)雜，一般來說不于考慮。

１．正交表的交互作用表（１）兩水平正交表的交互作用表列號１２３４５６７（１）３２５４７６（２）１６７４５（３）７６５４（４）１２３（５）３２（６）１（７）列號兩水平正交表任意兩列的交互列只有一列，查交互列時，帶括號的列號橫著看，不帶括號的列號豎著看，橫豎列號交叉點(diǎn)的數(shù)字就是所要的兩列的交互列。

（２）三水平正交表的交互作用表三水平正交表任意兩列的交互列有兩列，見下面的表，如一、二兩列的交互列為三、四兩列，四、五兩列的交互列為十、十二列等等。不管是什么樣的具有交互列的正交表，它們的任意兩列的交互列在什么位置都是固定的，因此在安排因素間具有交互作用的試驗(yàn)的表頭設(shè)計要特別注意。２．試驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)的直觀分析例：中藥湯劑茵陳湯由茵陳蒿、梔子和大黃三位中藥組成，它有利膽作用。為研究三位中藥的最佳配方，取成年大白鼠做試驗(yàn)。在近左右肝管處切開總膽管插入內(nèi)徑約１ｍｍ的硬質(zhì)塑料管引流膽汁，以每１０分鐘的膽汁充盈長度（ｃｍ）為指標(biāo)進(jìn)行給藥前后的對比，給藥后連續(xù)觀察半小時，每１０分鐘的均值減去給藥前２０分鐘內(nèi)的均值作為供統(tǒng)計分析用的試驗(yàn)指標(biāo)值，因素和水平見下表：

因素大黃／ｇ梔子／ｇ茵陳蒿／ｇＡＢＣ水平

１

生１．８３１２２酒犜１。８００

（１）選表這是一個三因素二水平的試驗(yàn)，還要考慮任意二因素間的交互作用，三個因素要占三列，交互列也要占三列，因此至少要選具有六列的二水平的正交表，滿足此要求的最合適的表是表。（２）表頭設(shè)計和試驗(yàn)安排以及試驗(yàn)結(jié)果見下表。

（3）結(jié)果數(shù)據(jù)分析指標(biāo)數(shù)據(jù)越高，說明茵陳蒿湯的利膽效果越好。直接看，第３號試驗(yàn)最好，條件是：生大黃１．８ｇ，茵陳１２ｇ，不用梔子。計算分析：有關(guān)的計算結(jié)果見上表，從各因素和交互作用的極差大小看，因素和交互作用的主次順序?yàn)?/p>

主次ＢＣＡ×ＣＡ×ＢＡＢ×Ｃ

Ｃ

在考慮交互作用試驗(yàn)的表頭設(shè)計時必須慎重，不要隨心所欲地安排交互列的位置，要由正交表的交互列確定，千萬不要把因素和交互作用安排在同一列上，否則無法區(qū)分因素和交互作用的作用。表頭設(shè)計的一般方法是先安排具有交互作用的因素和它們的交互作用，然后在空列上安排其余的沒有考慮交互作用的因素。

例：設(shè)有Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四個因素，每個因取三個水平，還需考慮Ａ，Ｂ，Ｃ之間的交互作用，試問選哪個正交表合適？并作表頭設(shè)計。解：因?yàn)椋?，Ｂ，Ｃ之間的兩兩交互列要６列，加上四個因素所要的４列，故至少要有１０列的三水平的正交表，最合適的是列號12345678因數(shù)ＡＢＡ×ＢＡ×ＢＣＡ×ＣＡ×ＣＢ×Ｃ列號910111213因素ＤＢ×Ｃ

例：設(shè)有Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ六個因素，每個因素取二個水平，還需考慮交互作用Ｃ×Ｄ，Ｄ×Ｅ，Ａ×Ｅ，試問選用哪個正交表？并作表頭設(shè)計。

解：要選至少有９列的兩水平的正交表，故選正交表根據(jù)表頭設(shè)計的原則，應(yīng)先考慮有交互作用的因素，表頭設(shè)計如下：列號１２３４５６７８９因素ＤＥＤ×ＥＡＢＡ×ＥＦＣＣ×Ｄ為什么不選例：某廠利用有機(jī)溶劑提取某中藥的有效成分，為找出浸出率的影響因素和適當(dāng)水平，選取溶液濃度（Ａ），催化劑的量（Ｂ），溶液的ｐＨ值（Ｃ），和溫度（Ｄ）四個因素，每個因素各取二個水平并考慮交互作用Ａ×Ｂ，Ａ×Ｃ，Ｂ×Ｃ，選用正交表

試用直觀分析