大學(xué)物理：量子力學(xué)基礎(chǔ)

早期量子論和量子力學(xué)基礎(chǔ)Basicknowledgeaboutquantummechanics1900年普朗克在確立黑體輻射定律的過程中提出能量量子化的假說，揭開了本世紀(jì)物理學(xué)革命的序幕，為物理學(xué)找到了一個(gè)新的概念基礎(chǔ)。1905年愛因斯坦提出了光量子假說，進(jìn)一步發(fā)展了普朗克能量量子化的思想。1913年玻爾創(chuàng)造性地把量子概念應(yīng)用到盧瑟福的原子模型，建立了氫原子理論，說明了氫光譜線。微觀世界，更本質(zhì)一點(diǎn)…！AtverysmallsizestheworldisVERYdifferent!Energyisdiscrete,notcontinuous.Everythingisprobability;nothingisforcertain.Particlesoftenseemtobeintwoplacesatsametime.Ifyouarenotconfusedbytheendofthislecture,youwerenotpayingattention!QuantumMechanics!§18-1熱輻射普朗克的量子假設(shè)一、熱輻射(heatradiation)現(xiàn)象*根據(jù)經(jīng)典電磁理論，帶電粒子的加速運(yùn)動(dòng)將向外輻射電磁波。*一切物體都以電磁波的形式向外輻射能量。*在單位時(shí)間內(nèi)從物體表面單位面積上輻射的能量，即單位面積上的輻射功率，稱為該物體的輻出度(radiatingpower)，用E

表示。*物體的輻出度與其溫度有關(guān)，故將這種輻射稱為熱輻射。

←高空飛機(jī)彩色紅外照片

高空飛機(jī)自然彩色照片→*這種電磁波形式的輻射能量按波長(zhǎng)分布是不均勻的。鍶

Sr銣

Rb銅

Cu單色輻出度若在單位時(shí)間內(nèi)從物體表面單位面積上輻射的、波長(zhǎng)

l→

l+dl

范圍內(nèi)的能量為dE，單色輻出度輻出度*物體輻射能量的同時(shí)，又吸收周圍其它物體的輻射能量。當(dāng)輻射能量等于吸收能量時(shí)，其溫度不變——平衡熱輻射*一個(gè)好的吸收體，也一定是一個(gè)好的輻射體。絕對(duì)黑體(blackbody;idealradiator)黑體模型能全部吸收所有波長(zhǎng)的入射輻射能，即無反射，吸收率為1.二、黑體輻射的實(shí)驗(yàn)定律01234561700K1500K1300K1100K斯忒潘—波爾茲曼定律LawofStefan-Boltzmann黑體的輻出度與溫度的四次方成正比。斯忒藩常量2.維恩(Wien)位移定律維恩常量維恩位移定律指出:當(dāng)絕對(duì)黑體的溫度升高時(shí)，單色輻出度最大值向短波方向移動(dòng)。T例題實(shí)驗(yàn)測(cè)得太陽輻射譜的峰值為490nm，將太陽視為黑體，試計(jì)算太陽的輻射功率和地球每秒內(nèi)接收到的太陽能。（已知太陽半徑R=6.96×108m，地球半徑r=6.37×106m，日地距離d=1.496×1011m）

解由維恩位移定律計(jì)算太陽表面溫度由斯忒潘—波爾茲曼定律得太陽輻射總功率為這功率分布在以太陽為中心，以日地距離d

為半徑的球面上，故地球表面單位面積接收到的輻射功率地球接收到的輻射功率例題

（1）若物體溫度為20℃，求其輻射譜的峰值波長(zhǎng)。（2）若峰值波長(zhǎng)

=650nm，求對(duì)應(yīng)的溫度。（3）求這兩個(gè)溫度下物體輻射功率之比。解（1）（2）（3）三、經(jīng)典理論的困難1.維恩公式維恩線2.瑞利—金斯(Rayleigh-Jeans)公式瑞利—金斯線維恩線紫外災(zāi)難經(jīng)典理論的基本觀點(diǎn)（1）電磁輻射來源于帶電粒子的振動(dòng)，電磁波的頻率與振動(dòng)頻率相同。（2）振子輻射的電磁波含有各種波長(zhǎng)，是連續(xù)的，輻射能量也是連續(xù)的。（3）溫度升高，振子振動(dòng)加強(qiáng)，輻射能增大。四、普朗克量子假說1.普朗克(Planck)公式瑞利—金斯線維恩線普朗克線在長(zhǎng)波情況下：在短波情況下：2.能量子假說1900年12月14日，柏林科學(xué)院《正常光譜中能量分布律的理論》1918年獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)輻射黑體中分子、原子的振動(dòng)可看作線性諧振子，它和周圍電磁場(chǎng)交換能量。這些諧振子只能處于某種特殊的狀態(tài)，它的能量取值只能為某一最小能量的整數(shù)倍?！拔耶?dāng)時(shí)打算將基本作用量子h歸并到經(jīng)典理論范疇中去，但這個(gè)常數(shù)對(duì)所有這種企圖的回答都是無情的”§18-2光電效應(yīng)愛因斯坦光子理論一、光電效應(yīng)(Photo-electriceffect)1.光電效應(yīng)是瞬時(shí)發(fā)生的，響應(yīng)時(shí)間為10-9s經(jīng)典理論不能解釋“毋需時(shí)間積累”入射光頻率一定時(shí)，飽和光電流與入射光光強(qiáng)成正比，但反向截止電壓與入射光光強(qiáng)無關(guān)。iU03.反向截止電壓與入射光頻率成線性關(guān)系。CsCaNa反向截止電壓反映光電子的初動(dòng)能經(jīng)典理論認(rèn)為光電子的初動(dòng)能應(yīng)決定于入射光的光強(qiáng)，而不決定于光的頻率。4、存在一個(gè)“截止頻率”（紅限頻率

o）當(dāng)入射光的頻率小于紅限頻率時(shí)，無論光強(qiáng)多大，也不會(huì)產(chǎn)生光電效應(yīng)。二、愛因斯坦的光子理論電磁輻射是由以光速c

運(yùn)動(dòng)的局域于空間小范圍內(nèi)的光量子所組成。光子對(duì)光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)規(guī)律的解釋電子只要吸收一個(gè)光子就可以從金屬表面逸出，所以無須時(shí)間上的累積過程。光強(qiáng)大，光子數(shù)多，釋放的光電子也多，所以飽和光電流也大。3.入射光子能量=逸出功+光電子初動(dòng)能因而光電子初動(dòng)能和入射光的頻率成線性關(guān)系4.紅限頻率對(duì)應(yīng)光電子初動(dòng)能等于0.NobelTriviaForwhichworkdidEinsteinreceivetheNobelPrize?1)SpecialRelativity

E=mc22)GeneralRelativity

GravitybendsLight3)PhotoelectricEffectPhotons4)Einsteindidn’treceiveaNobelprize.12例題鉀的光電效應(yīng)的紅限波長(zhǎng)為

o=620nm，求（1）鉀電子的逸出功；（2）在

=300nm的紫外線照射下，鉀的截止電壓為多少？解兩個(gè)相同的物體A、B，溫度相同，若A的溫度低于環(huán)境溫度，而B高于環(huán)境溫度，則A、B在單位時(shí)間內(nèi)輻射的能量應(yīng)滿足:（A）（B）（C）（D）不能確定選擇題某金屬表面被藍(lán)光照射時(shí)有光電子逸出，若增加藍(lán)光的強(qiáng)度，則（A）單位時(shí)間內(nèi)逸出的光電子數(shù)增加；（B）逸出的光電子的初動(dòng)能增加；（C）光電效應(yīng)的紅限頻率變小；（D）發(fā)射光電子所需的時(shí)間縮短。圖中直線表示某金屬光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)中光電子初動(dòng)能與入射光頻率的關(guān)系，則圖中表示該金屬的逸出功的線段是（A）OA（B）OC（C）AC（D）ODOBADC思考題1.黑體是否就是黑色物體？絕對(duì)黑體是否在任何溫度下都是黑色的？2.人體熱輻射的各種波長(zhǎng)中，對(duì)應(yīng)哪個(gè)波長(zhǎng)的單色輻出度最大？3.若一物體的絕對(duì)溫度增加一倍，它的總輻射能增加到原來的多少倍？4.在光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)中，分別改變?nèi)肷涔獾墓鈴?qiáng)和改變?nèi)肷涔獾念l率，其結(jié)果有何不同？為什么不同？§18-3

康普頓效應(yīng)(Compton’seffect)石墨x

光管散射光譜中除有波長(zhǎng)l0

的射線外（瑞利散射）還有l(wèi)

>

l0

的射線（康普頓散射）攝譜儀1927年諾貝爾獎(jiǎng)實(shí)驗(yàn)規(guī)律Δl

隨散射角θ

的增大而增加，且新譜線的相對(duì)強(qiáng)度也增大。2.相同散射角下，Δl

與散射物質(zhì)、原波長(zhǎng)l0

均無關(guān)。3.原子量越小的物質(zhì)，康普頓效應(yīng)越顯著。經(jīng)典理論無法解釋康普頓效應(yīng)根據(jù)經(jīng)典電磁波理論，在光場(chǎng)中作受迫振動(dòng)的帶電粒子，輻射的散射光的頻率應(yīng)等于入射光的頻率。且因電磁波是橫波，在θ=90°的方向應(yīng)無散射。光子論的解釋此過程是光子與電子發(fā)生相互作用，兩粒子的碰撞是完全彈性碰撞，即滿足動(dòng)量守恒和能量守恒。當(dāng)光子與外層電子相互作用時(shí)，一個(gè)電子吸收一個(gè)入射光子，發(fā)射一個(gè)能量略小的散射光子。（因?yàn)殡娮颖环礇_而獲得一定的動(dòng)量和能量）當(dāng)光子與緊束縛的內(nèi)層電子相互作用時(shí)，散射光子的能量不變。（因電子質(zhì)量遠(yuǎn)小于原子質(zhì)量）對(duì)于原子量小的物質(zhì)，因其外層電子（看成自由電子）的相對(duì)比例高，故其康普頓效應(yīng)顯著。因?yàn)槭枪庾雍碗娮拥南嗷プ饔茫驭

與散射物質(zhì)無關(guān)，而與散射角有關(guān)。康普頓效應(yīng)的定量分析ee動(dòng)量守恒：e能量守恒：康普頓波長(zhǎng)：因?yàn)榭灯疹D波長(zhǎng)比可見光波長(zhǎng)小得多，所以可見光的散射主要是瑞利散射?？灯疹D效應(yīng)證明了光的粒子性，同時(shí)也證明了動(dòng)量守恒和能量守恒具有普適性，相對(duì)論效應(yīng)在宏觀和微觀領(lǐng)域都存在。愛因斯坦《論我們關(guān)于輻射本質(zhì)和組成觀點(diǎn)的發(fā)展》“象人們已經(jīng)知道的那樣，光的干涉、衍射現(xiàn)象表明對(duì)于把光看成是一種波動(dòng)，看來是難以懷疑的，而不容否認(rèn)的是有這樣一類關(guān)于輻射的事實(shí)表明，光具有某些基本屬性，這些屬性用光的發(fā)射論點(diǎn)比光的波動(dòng)觀點(diǎn)好得多。”“兩種特性結(jié)構(gòu)，波動(dòng)結(jié)構(gòu)和量子結(jié)構(gòu)都應(yīng)當(dāng)適合于輻射，而不應(yīng)當(dāng)認(rèn)為彼此不相容。理論物理發(fā)展的隨后一個(gè)階段將給我們帶來這樣一種光學(xué)理論，它可以是光的波動(dòng)論和發(fā)射論的某種綜合，需要建立一個(gè)既能描述輻射的波動(dòng)結(jié)構(gòu)，又能描述輻射的量子結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)理論?！崩蠇D乎？少女乎？例題在康普頓效應(yīng)中，入射光的波長(zhǎng)為3×10-3nm，電子反沖的速度為0.6c，求散射光的波長(zhǎng)和散射角。解l=3×10-3nm，v=0.6c，m0=9.1×10-31kg，h=6.63×10-34J·s，c=3×108m/s例題波長(zhǎng)為

0

=0.02nm的

x

射線與靜止的自由電子碰撞，在

θ=90°的方向觀察。求散射

x射線的波長(zhǎng)，反沖電子的動(dòng)能和動(dòng)量。解§18-4

氫原子光譜玻爾的氫原子理論一、經(jīng)典原子模型1897年湯姆遜發(fā)現(xiàn)電子湯姆遜的葡萄干布丁模型盧瑟福核式模型a

粒子的大角散射Thomson,

Sir

Joseph

John

(1856-1940)

(Alphaparticles=He++)Rutherford,

Ernest

(1871-1937)

二、氫原子光譜(Hydrogenspectrum)HδHαHβHγ656.3nm486.1nm434.1nm410.2nm巴爾末公式(Balmer;sFormula)B=364.598nmn=3,4,5,…氫原子光譜是分立的線狀光譜，且具有規(guī)律性。定義波數(shù)n=3,4,5,…巴爾末系可見光區(qū)里德伯(Rydberg)常量里德伯方程（n>m）譜線的波數(shù)是兩光譜項(xiàng)之差n=2,3,4,…n=4,5,6,…n=5,6,7,…n=6,7,8,…賴曼系紫外區(qū)帕邢系紅外區(qū)布喇開系紅外區(qū)普方德系紅外區(qū)三、玻爾(Bohr)的氫原子理論玻爾理論的基本假設(shè)1.定態(tài)假設(shè)原子系統(tǒng)只能處于一系列不連續(xù)的能量狀態(tài)，在這些狀態(tài)中，雖然電子繞核作加速運(yùn)動(dòng)，但不輻射電磁波，相應(yīng)的能量分別為E1，E2，E3，……2.頻率條件當(dāng)原子從一個(gè)能量為En

的定態(tài)躍遷到另一個(gè)能量Ek

為的定態(tài)時(shí)，就要發(fā)射或吸收一個(gè)頻率為

的光子3.量子化條件

在電子繞核作圓周運(yùn)動(dòng)的過程中，其穩(wěn)定狀態(tài)必須滿足電子的角動(dòng)量L

等于?

的整數(shù)倍（?=h/2π，約化普朗克常量）n=1,2,3,…由基本假設(shè)得到的結(jié)論（半經(jīng)典理論）電子軌道是量子化的軌道半徑與量子數(shù)n

的平方成正比波爾半徑氫原子的能量是量子化的基態(tài)能級(jí)對(duì)氫原子光譜規(guī)律的解釋當(dāng)原子從高能級(jí)向低能級(jí)躍遷時(shí)，發(fā)射光子的波數(shù)為理論值實(shí)驗(yàn)值Bohr,

Niels

(1885-1962)

以下為一些原子、分子的光譜與太陽光譜的比較：例題若用能量為12.6eV的電子轟擊基態(tài)氫原子，求可能產(chǎn)生的譜線的波長(zhǎng)。解……n=1-13.6eVn=2-3.39eVn=3-1.51eVn=4-0.85eV可能的躍遷：31，32，21例題氫原子中主量子數(shù)n=2的電子至少需要吸收多少能量才能成為自由電子？解§18-5

德布羅意波波-粒二象性整個(gè)世紀(jì)以來，在輻射理論上，相對(duì)于波動(dòng)的研究方法，我們過于忽視了粒子的研究方法；而在實(shí)物理論上，是否發(fā)生了相反的錯(cuò)誤呢？是不是我們關(guān)于粒子的圖象想得太多，而忽略了波的圖象呢？

L.V.deBroglie1924年博士論文《量子理論研究》，1929年諾貝爾獎(jiǎng)德布羅意假設(shè)

自然界是對(duì)稱統(tǒng)一的。實(shí)物粒子和光子一樣，也具有波粒二象性(wave-corpuscleduality)。如果用能量E

和動(dòng)量p

來描述實(shí)物粒子的粒子性，則可用頻率

和波長(zhǎng)

來表征實(shí)物粒子的波動(dòng)性。稱為德布羅意波或物質(zhì)波德布羅意公式德布羅意波的數(shù)量級(jí)地球子彈宏觀物質(zhì)的德波羅意波長(zhǎng)均太小，難以觀察其波動(dòng)特性。電子質(zhì)量m0

=9.110-31kg，加速電壓為UU=150V

=0.1nm電子衍射實(shí)驗(yàn)電子束金箔屏電子槍例題計(jì)算：25℃時(shí)的慢中子的德布羅意波長(zhǎng)。解§18-6不確定度關(guān)系(Uncertaintyrelation)由于微觀粒子具有波粒二象性(wave-corpuscleduality)

，用經(jīng)典概念（坐標(biāo)、動(dòng)量、能量、軌道等）描述其狀態(tài)會(huì)受到限制。電子一個(gè)一個(gè)地通過單縫長(zhǎng)時(shí)間積累后也出現(xiàn)衍射圖樣假設(shè)經(jīng)典描述仍適用。我們用狹縫來描寫電子過狹縫時(shí)的x

坐標(biāo)。電子到達(dá)觀測(cè)屏?xí)r將傳遞動(dòng)量給觀測(cè)屏，通過測(cè)量電子的這一動(dòng)量可得到電子過狹縫時(shí)動(dòng)量的x

分量。為了盡可能確定x

坐標(biāo)，必須縮小狹縫寬度a，這樣就增加了px

的不確定度，即其測(cè)量值是隨機(jī)的、不確定的，又稱測(cè)不準(zhǔn)。xpθxa位置的不確定量：動(dòng)量px的不確定量：中央明紋中心中央明紋邊緣海森伯(Heisenberg)不確定關(guān)系1.對(duì)于微觀粒子，坐標(biāo)的不確定度與該方向動(dòng)量的不確定度相互制約。軌道概念失去意義。用經(jīng)典概念描述微觀粒子是不準(zhǔn)確的。2.不確定性不是實(shí)驗(yàn)誤差，而是量子系統(tǒng)的內(nèi)稟性質(zhì)。它通過與實(shí)驗(yàn)裝置的相互作用而表現(xiàn)出來。3.不同的實(shí)驗(yàn)裝置決定不同的可測(cè)量量，顯示客體某方面的性質(zhì)，而抑制其它方面的性質(zhì)。經(jīng)典描述是互補(bǔ)的。4.作用量子

h

給出了宏觀與微觀的界限。例題

試比較電子和質(zhì)量為10g的子彈的位置不確定量，假設(shè)它們?cè)趚方向都以200m/s的速度運(yùn)動(dòng)，速度的不確定度在0.01%以內(nèi)。解電子子彈遠(yuǎn)大于電子線度電子位置不確定宏觀物體的位置可認(rèn)為是確定的§18-7

波函數(shù)薛定諤方程一、波函數(shù)(wavefunction)的引入對(duì)于一維運(yùn)動(dòng)的自由粒子，德布羅意波的波長(zhǎng)和頻率不變，故可用平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)來描述。一維自由粒子的波函數(shù)二、波恩(M.Born)的解釋德布羅意波是概率波。波函數(shù)本身無直接的物理含意。波函數(shù)的平方是某一時(shí)刻粒子在空間某點(diǎn)附近出現(xiàn)的概率密度。粒子出現(xiàn)在空間某點(diǎn)附近體積元dV

內(nèi)的概率：波函數(shù)必須單值、有界、連續(xù)、可歸一歸一化條件三、薛定諤方程（Schrodinger’sequation)在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用波函數(shù)描述，波函數(shù)滿足薛定諤方程。對(duì)于處在勢(shì)場(chǎng)V（x）中的一維運(yùn)動(dòng)的粒子，其波函數(shù)滿足稱為一維含時(shí)薛定諤方程。定態(tài)(stationarystate)——概率密度、能量不隨時(shí)間變化的狀態(tài)定態(tài)波函數(shù)取如下形式：概率密度：一維定態(tài)薛定諤方程:§18-8勢(shì)阱中的粒子勢(shì)壘諧振子aOV(x)

x一、一維無限深勢(shì)阱其勢(shì)能函數(shù)：1.令波函數(shù)必須有界2.令波函數(shù)必須連續(xù)：要滿足歸一化條件*對(duì)解的討論：1、由于波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件和邊界條件的約束，E只取能某些特定值，即無限深勢(shì)阱中粒子的能量是量子化的。EOaxn=1n=2n=3n=4存在零點(diǎn)能量2、勢(shì)阱中不同位置粒子出現(xiàn)的概率不相同。勢(shì)阱中各點(diǎn)的概率密度概率密度Oan=1n=2n=3n=4Oan=1n=2n=3n=4xx補(bǔ)充：本征態(tài)的概念對(duì)應(yīng)某一力學(xué)量，存在一組本征態(tài)，當(dāng)粒子處于本征態(tài)時(shí)，該力學(xué)量有確定的值，這些確定值稱為該力學(xué)量的本征值。例如，一維無限深勢(shì)阱中粒子的能量能量本征態(tài)能量本征值當(dāng)粒子處于某力學(xué)量的非本征態(tài)時(shí)，該力學(xué)量的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值是不確定的，不同的值以不同的概率出現(xiàn)。粒子非本征態(tài)的波函數(shù)可表示為本征態(tài)波函數(shù)的線性組合（態(tài)疊加原理）。表明粒子以不同的概率處于各本征態(tài)?？赡艿玫降牧W(xué)量測(cè)量值是各本征值，但以不同的概率出現(xiàn)。力學(xué)量的平均值為例設(shè)在阱寬為a的一維無限深勢(shì)阱中，運(yùn)動(dòng)粒子的狀態(tài)（概率幅）為求對(duì)應(yīng)此狀態(tài)的粒子能量的可能值及相應(yīng)的測(cè)量概率。解一維無限深勢(shì)阱中粒子的本征波函數(shù)為相應(yīng)的能量本征值為將狀態(tài)波函數(shù)用本征波函數(shù)展開：此狀態(tài)是n=1和n=3的兩個(gè)本征態(tài)的疊加態(tài)，粒子處于兩個(gè)本征態(tài)的概率均為?.測(cè)得的能量可能值分別為E1、E3，出現(xiàn)概率也都是?.對(duì)一維線性諧振子的討論可得到類似的結(jié)果：其能量的可能取值是分立的，同樣存在零點(diǎn)能量。二、諧振子(harmonicvibrator)如果在一維空間運(yùn)動(dòng)的粒子的勢(shì)能為：那么，稱粒子為一維線性諧振子存在零點(diǎn)能量說明，即使