2021年高考數(shù)學(xué)模擬考場(chǎng)仿真演練卷（江蘇卷）（解析版）

絕密★啟用前

2021年高考數(shù)學(xué)模擬考場(chǎng)仿真演練卷(江蘇專用)

第五模擬

本試卷共22題。全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)12()分鐘。

注意事項(xiàng)：

I.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.已知全集U=R,集合4={%|2乩<8},8={X|加XW2},則4nB=()

A.(0,3]B.(0,e]C.(0,e)D.(0,3)

【答案】D

【分析】解不等式》1V8得到集合A,解不等式加xW2得到集合8,再利用集合的交集運(yùn)算求解.

【解答】解：由2klV8得：兇<3,

/.-3<x<3,

??.集合4={x|-3Vx<3},

由配iW2得：OVxWe2,

.,.集合8={x|0VxWe2},

???AnB={x|0VxV3}.

故選：D.

【知識(shí)點(diǎn)】交集及其運(yùn)算

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=1,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則()

A.(x+l)2+j2=1B.(x-1)2+j2=1

C./+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1

【答案】B

【分析】設(shè)z=x+yi(x,yeR),代入|z-1|=1,由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.

【解答】解：設(shè)z=x+"(x,)WR),

由|z?1|=L得|(x-1)+yi|=L

(X-1)2+產(chǎn)=1.

故選：B.

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù):數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義、復(fù)數(shù)的模

3.已知平面向量Z，%滿足|2&E|=3,京:=1,則畝=()

A.5B.V5C.3D.V3

【答案】B

【分析】先將|2；芯=3兩邊平方，化簡(jiǎn)后，再代入之?（之+%）=1,即可得解.

【解答】解：???|22衛(wèi)=3,；?（91）=1,

???|2：■曰=。2+41?三+,=4；G+E）+$=4+.=9,

?**Ibl=V5-

故選：B.

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算

4.（2P-〃）（X-2）3的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為3,則該展開式中含9項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.2B.8C.-5D.-17

【答窠】D

【分析】由題意利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得該展開式中含丁項(xiàng)的系數(shù).

【解答】解：???（譚-〃）（X-2）3的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為（2-/1）X（-1）=3,An=5.

x

則（X-2）3的展開式的通項(xiàng)公式為Ti=c；?（?2）,?白汽

X3

令3?2r=1,求得r=l；令3?2r=3,求得r=0,

故⑵2-〃）（1-2）3的展開式中含r項(xiàng)的系數(shù)，2c?X（-2）-5或=T7,

X33

故選：。.

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理

5.已知。、b、I是空間中的三條直線，其中直線a、b在平面a上，則“/J_a且l±b,f是"LL平面a”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

【答案】B

【分析】“LL。且/_Lb"，當(dāng)且僅當(dāng)a,。相交時(shí)，“LL平面a"，反之，“LL平面a"="/_L。且LLA”，從而

“LLa且LL'是平面a”的必要不充分條件.

【解答】解：a、b、/是空間中的三條直線，其中直線a、b在平面a上，

“LL。且LLZA當(dāng)且僅當(dāng)小b相交時(shí)，“LL平面a”，

反之，“LL平面a"=>“LLa且LLb”，

?,?“山且LLb”是“LL平面a”的必要不充分條件，

故選:B.

【知識(shí)點(diǎn)】充分條件、必要條件、充要條件

6.在三棱錐P-A8C中，已知AB=a,%=小，PB=g,CA=Jia,CB=2a,二面角P-AB-C的大

小為？L,則三棱錐P-ABC的體積為（）

3

2

333

A.J-B.二C.^―D.a3

432

【答案】A

【分析】由題意畫出圖形，由已知求解三角形可得NPA4=32L,過點(diǎn)尸作48的垂線交A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

4

D,求解三角形可得CO_L4￡>,將NPDC為是二面角P-AB-C的平面角，貝iJ/pDC二匹，且證

3

得平面PCD,再由=ivp_ACD卷％_pcD求解三棱錐「-ABC的體積.

【解答】解：如圖，在4%8中，,：AB=a,%=Jga,P8=&a,

222廠

由余弦定理可得，cosZPBA=a4-2a=-Xl,得NP8A=22L.

2papV2a24

過點(diǎn)P作A8的垂線交A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，則/PBD=?L，故PD=BD=a,

4

在△ABC中，AB=a,BC=2a,4C="a,由余弦定理可得，

222

cosNABC一產(chǎn)二7a二,AZABC=4TT?則NDBC二二，

2?a?2a233

連接CD,在△86中，由余弦定理可得CO=JEa,

112

：.BD+Cb=BCf故C￡>J_4O,

又PO_LA。，???NPOC為是二面角尸?A8?C的平面角，則/PDC二三.

3

VCD1AD,PD1,AD,CDC\PD=D9，A。，平面PC。，

2

則SAPDC寺D?CD?si]g/：?

*：AB=BD=a,

23

VV=

???三棱錐P-ABC的體積為：4ABe4P-ACD4A-PCD7xjx^x2a十

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、楂錐、棱臺(tái)的體積、二面角的平面角及求法

22

7.設(shè)人是雙曲線C：3-J=1Q>0,6>0）的左焦點(diǎn).過點(diǎn)B作x軸的垂線交雙曲線于P,。兩點(diǎn),

a2b2

A點(diǎn)為雙曲線。的右頂點(diǎn)，若△APQ為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為（）

A.V2B.V3C.V2+1D.1+2

3

【答案】D

【分析】求出雙曲線的通徑，利用三角形是正三角形，列出方程，推出雙曲線的離心率即可.

【解答】解：n是雙曲線c(a>o,b>o)的左焦點(diǎn)，

2,2

ab

2

由題意可知通徑長(zhǎng)為：|PQ|=2k一,

a

△AP0為正三角形，所以叁-X尊a+c，即=

a2

次(/-。2)=〃2+ac,可得(5/34-I)=0,

解得雙曲線C的離心率為：e=\+返

3

故選：D

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì)

8.設(shè)函數(shù)/(x)是偶函數(shù)f(x)CvGR)的導(dǎo)數(shù)，/(I)=1,當(dāng)kVO時(shí)，xf(x)tf(x)>0,則使『(x)I

>小〒成立的x的取值范圍是()

1x1

A.(-I,0)U(1,+8)B.(-1,1)

C.(-8,-1)U(1,+8)D.(-8,-1)U(0,1)

【答案】C

【分析】設(shè)F(x)=xf(x),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性問題轉(zhuǎn)化為|尸(")|>尸(1)=1,求出不等式的

解集即可.

【解答】解：設(shè)尸(x)=xf(x\

易知函數(shù)F(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)工<0時(shí)，尸(x)=xf(x)4/(x)>0,

故函數(shù)尸(x)在R遞增，

將目標(biāo)不等式轉(zhuǎn)化為I尸G)|>F(1)=1,

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得：|x|>l,解得：xV-1或K>1,

故不等式的解集是(-8,-Du(1,+8),

故選：C.

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求

的，選對(duì)得分，錯(cuò)選或漏選不得分。

9.共享經(jīng)濟(jì)的商業(yè)模式在全球范圍迅速崛起，以Uber,Airbnb為代表的共享經(jīng)濟(jì)商業(yè)平臺(tái)，以超乎想象的

速度在影響和改變著人們的生活方式、商業(yè)的運(yùn)行模式、組織管理模式，也對(duì)傳統(tǒng)的領(lǐng)域帶來了巨大沖

擊和壓力.某共享汽車公司為了解大眾家庭在汽車共享方面的支出情況，隨機(jī)抽取了〃個(gè)家庭進(jìn)行調(diào)查,

結(jié)果顯示這些家庭的支出都在［10,50)(單位：元)，其頻率分布直方圖如圖所示，則以下說法正確的是

)

4

A.若〃=200,則支出在［40,50）（單位：元）的家庭有60個(gè)

B.調(diào)查的這些家庭的支出的平均值為33.8元

C.若支出在［30,50）（單位：元）的家庭的有67人，則調(diào)查的家庭共有100個(gè)

D.調(diào)查的這些家庭的支出的中位數(shù)約為31.35元

【答案】AC

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，利用頻率、頻數(shù)與樣本容量的關(guān)系和平均數(shù)、中位數(shù)計(jì)算公式即可解答.

【解答】解：根據(jù)頻率分布直方圖，利用頻率、頻數(shù)與樣本容量的關(guān)系和平均數(shù)、中位數(shù)計(jì)算公式可得：

支出在［40,50）（單位：元）的頻率為1-（0.01+0.023+0.037）X10=0.3,則頻數(shù)為200X0.3

=60,故選項(xiàng)A正確；

調(diào)查的這些家庭的平均消費(fèi)值為15X0.01X10+25X0.023X10+35X0.037X10+45X0.03X10=

33.7（元），故選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

由圖知［10,30）的頻率為（0.023+0.01）x10=0.33,［30,50）的頻率為1?0.33=0.67,所以〃

=一旦一=100,故選項(xiàng)C正確；

0.67

［10,30）的頻率為（0.023+0.01）X10=0.33,可知中位數(shù)應(yīng)該在［30,40）內(nèi)，則有0.01X10+0.023

X10+（x-30）X0.037=0.5,解得人e34.59,故選項(xiàng)。錯(cuò)誤，

故選：AC.

【知識(shí)點(diǎn)】頻率分布直方圖

22

10.已知雙曲線T--X-=1的離心率為2,則々的值可以為（）

k2-54k

A.-3B.6-VHC.3D.6+VZ1

【答案】BC

【分析】判斷雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)所在軸，然后利用離心率列出方程求解即可.

\2-5>0

k>0

【解答】解：當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸時(shí)，,9,解得2=3.

k-5+4k

-2-------二4A

k-5

5

\2-5<0

k<0

雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)在)，軸時(shí)，可得，，解得化=6-何,

-4k-(k-5)

--------------------=4A

-4k

故選：BC.

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì)

11.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-481Gd中，點(diǎn)E,尸分別是棱SC,CG的中點(diǎn)，則()

A.AiDLAF

B.QC與平面所成角的正弦值為返

6

C.二面角A?EF?C的余弦值為工

3

D.平面4EQ截正方體所得的截面周長(zhǎng)為2M+3加

【答案】BD

【分析】由題意知4D_LAG,從而錯(cuò)誤；以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以04,DC,。功所在直線分別

為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出0c與平面AEF所成角的正弦值為返：

6

求出平面CE尸的法向量，利用向量法能求出二面角A-E尸-C的余弦值為-工：推導(dǎo)出E尸〃8G，

3

平面AEF截正方體所得截面為四邊形EFDiA,由此求出平面AEF截正方體的截面周長(zhǎng)為

2V5+W2.

【解答】解：由題意知4D_LACi，???4DJL＜，錯(cuò)誤,故A錯(cuò)誤;

以點(diǎn)D為原點(diǎn),分別以O(shè)A,DC,所在直線分別為x,y,z地，建立空間直角坐標(biāo)系，

貝ij￡)i(0,0,2),E(0,-2,2),F(0,2,1),A(2,0,0),C(0,2,0),

則(0,-2,2),AE=(7，2,0),AF=(-2,2,1),

設(shè)平面4E77的法向量n=y,z),

n*AE=-x+2y=0

則，令％=2,貝iJn=(2,1,2),

n?AF=_2x+2y+z=0

設(shè)。C與平面AE尸所成角為e,

6

,-ICDi*nInJ~n,

則sin0=|cos<rn,n>l=----；---二———2L±.,故if8正確:

|CD/?|n|五?五6

平面CEF的法向量彳=(0,I,0),

1-1

ImI?In1X793,

???二面角4?E尸?C的余弦值為一』，故C錯(cuò)誤；

3

?:E,1分別是棱5C,CG的中點(diǎn)，:?EF〃BC\,

'：AD\//BC\,即E尸〃A。，

???平面AE尸截正方體所得截面為四邊形EFDA_

???正方體的樓長(zhǎng)為2,45=2加，EF=42,4￡=￡)］尸=倔工=簧，

，平面AEF截正方體的截面周長(zhǎng)為2^5+3V2?故D正確.

故選：BD.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面所成的角、二面角的平面角及求法

12.已知/(x)為函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)，f(x)=3W+6x+b,且/(。)=0,若g(x)=f(x)-Ixlnx,求使

得g(x)>0恒成立b的值可能為()

A.-2ln2-2.B.-/〃2-工C.0D./〃2-2

444

【答案】BCD

【分析】求出函數(shù)/(%)的解析式，從而求出g(x)的解析式，問題轉(zhuǎn)化為方>2阮設(shè)<p(x)=

2/ztr-A2-3x(xG(0,+8)),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出b的范圍即可.

【解答】解：?"(x)=3f+6x+b,

???可設(shè)/(x)=V+3f+bc+c,又/(0)=0,故c=0,

從而f(x)=xi+3x2+bx,

:?g(x)=f(x)-2xlnx=xi^3x1+bx-2xlnx,

則g(x)的定義域是(0,+8),

則g(x)>0可化為f+3x+b-2lnx>0,即b>2lnx-x2-3x,

7

設(shè)(p(x)=2lnx-x1-3x(x€(0,+<?)),

則(p'(x)=—-2x-3=二、2乂-1)(x+2),

XX

令(p’(x)>0,解得：0<A<—,令(p‘(x)<0,解得：x>—,

22

故(p(x)在(0,-)遞增，在(［，+°°)遞減，

22

故當(dāng)■時(shí)，(p(x)取得最大值(p(―)=-2ln2--,

224

要使g(x)>0恒成立，貝IJ-2ln2-1即可，

4

故選：BCD.

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知4sin(-ZL+a)+4cos(-32L-a)—3,貝！Jcos-2a)—.

222—

【分析】先利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合同角平方關(guān)系及二倍角的正弦公式即可求解.

【解答】解：因?yàn)?sin(2L+a)+4cos(里L(fēng)-a)=3,

22

所以4cosa-4sina=3,

兩邊平方可得1-2sinacosa=-5_,

16

所以sin2a=-Z_,

16

則cos-2a)=sin2a=-^-.

216

故答案為：_L.

16

【知識(shí)點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值、二倍角的三角函數(shù)

14.甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在羽毛球場(chǎng)進(jìn)行羽毛球比賽，已知每局比賽中勝的概率為P，乙勝的概率為1-P，且

各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立,當(dāng)比賽采取5局3勝制時(shí)，甲用4局贏得比賽的概率為衛(wèi)--現(xiàn)甲、乙進(jìn)行6

27

局比賽，則甲勝的局?jǐn)?shù)X的數(shù)學(xué)期望為一.

【答案】4

【分析】比賽采取5局3勝制時(shí)，甲用4局贏得比賽的概率為-L.求出每局比賽甲勝的概率，利用二項(xiàng)分

27

布求解期望即可.

【解答】解：比賽采取5局3勝制時(shí)，甲用4局贏得比賽的概率為塔，所以每局比賽甲勝的概率是p,

可得c；p2(i_p)?p=&，解得所以每局比賽甲勝的概率是2，

32733

8

乙勝的概率為工，由題意可知，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8(6,2)

33

所以七(X)="〃=6乂曰=4.

甲勝的局?jǐn)?shù)X的數(shù)學(xué)期望為4.

故答案為：4.

【知識(shí)點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差

15.已知點(diǎn)P(x,j)滿足(x-cos0)2+(y-sinO)2=1,則滿足條件的P所形成的平面區(qū)域的面積為一,

z=h-的最大值為.

【分析】設(shè)圓(x-cosO)2+(y-sin0)2=1的圓心為點(diǎn)Q,則Q的坐標(biāo)為(cosa,sina),因?yàn)閏osc^+sina?

=1,所以圓心Q是在以原點(diǎn)為圓心以1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，所以，P點(diǎn)在一個(gè)動(dòng)圓上，這個(gè)動(dòng)圓

的半徑為常數(shù)1,圓心在單位圓上運(yùn)動(dòng).

【解答】

解：(1):已如點(diǎn)P(x,j)滿足(R-COS。)2十(j-sinG)2=1,

設(shè)圓Cx-cos0)2+(j-sin6)2=1的圓心為點(diǎn)Q,則Q的坐標(biāo)為(cosa,sina),

因?yàn)閏osa2+sina2=l,所以圓心。是在以原點(diǎn)為圓心以1為半徑的單位圓上，

點(diǎn)在一個(gè)半徑為1的圓上，這個(gè)圓的圓心。又在單位圓運(yùn)動(dòng)，(如圖1),

???P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓面，這個(gè)圓面是以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓面(包括邊界，如圖2),

即：/+收4,

，尸點(diǎn)所形成的平面區(qū)域的面積為4TT,

故答案為：41T.

(2)：由(1)知，點(diǎn)尸(x,y)滿足

y=-x+z+l,y〉0)

y=x-z-l,(x>l,y<0)

Vz=|x-l|+|y|?z=±(x-1)y=x+z_t(x<1,y>0)

y=-x-z+l,(x<l,KO)

???山線性規(guī)劃知，z的最大值為歷+1,

故答案為：①4m@2V2+1

9

y

X

圖1

【知識(shí)點(diǎn)】圓方程的綜合應(yīng)用

16.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-A[8]GG中，/為4A的中點(diǎn)，在如下結(jié)論中，正確的是____（填序號(hào)）.

①4E與BC所成角為60°；②AG_L面4BD；

③面AiBDII面BiCDi;④三棱錐M-ABD的外接球半徑為返

2

【答案】①②③

【分析】求解異面直線所成角判斷①；利用直線與平面垂直的判定證明4G_L面48D；利用平面與平面平

行的判定證明面4由?！鍮CQ；通過補(bǔ)形法求出三棱錐M-ABD的外接球半徑判斷④.

在正方體A8CO-A山iGG中，有Ai8i〃OC,且A8|=OC,得481co為平行四邊形，

：.A\D〃B\C,可得NBA。為A]與所成角，由△48。為等邊三角形，可得/84。=60°,

故①正確；

在正方體48co-ABiCid中，有GC_L底面48c。，得GC_L8O,又4C_LBO,CiCnAC=C,

???BO_L平面ACG，得BO_LAG，同理證明4B_L4G，而A由GBO=B,則月。1_1面人出。，故

10

②正確；

在正方體A8CO-4SG。中，由①可得AQ〃BC,而4OU平面SCOi,BCu平面BCU，

則AQ〃平面B\CD\.

同理證明48〃平面BCDi.又418nAiO=Ai,?,?面4BD〃面BCd,故③正確；

把三棱錐M-4BO補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，可得其外接球半徑為右傳+i+iT，故④錯(cuò)誤.

，正確的是①②③.

故答案為：①②③.

【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積、命題的真假判斷與應(yīng)用

四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟?？忌鶕?jù)要求作答。

17.在條件①和②中任選一個(gè)填到下面的橫線上，并解答.

在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為小b,c,已知4=8,,求sin。和的面積.

條件。：8sA奔cosB二簽;

條件②：c=7,cosA=y-

【分析】若選擇條件①：利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求siM,sinB的值，利用兩角和的正弦公式可求

sinC的值，由正弦定理可得〃的值，根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

若選擇條件②：利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求siM的值，由正弦定理可得sin。的值，利

用余弦定理可得序-26-15=0,解方程可得。的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【解答】解：若選擇條件①：cosA二絲，cosB二坐，

714

可得sinA=Ji_c°s2A=與，sinB=Vl-co

所以sinC=sin(A+B)=sin4cosB+cosAsinB=^^X+義2^1=2^,

7147142

.8X等

因?yàn)椤?8,由正弦定理可得b=,a?sinB=_廣^=4,

sinA721

7

所以Szi4Bc=XzZ>sinC=—X8X4X

22

若選擇條件②：c=l,C0S^=X

可得sin4=｛卜8s2A

又4=8,

所以由正弦定理可得sinC=c*s,inA=-7---X--嶇-7_=Y③，

a82

由余弦定理。2=護(hù)+/-2從cosA,可得64=b2+49-2XbX7X2，整理可得力20-15=0,解

7

11

得6=5,或-3(舍去)，

所以5zi4BC=XfZ?sinC=J^x8X5X—=loV3-

222

【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理、正弦定理

18.如圖，在三棱柱人8C-4BiG中，平面AACGJ■平面48C，△"(:和△AP4C都是正三角形，D是AB

的中點(diǎn)

(1)求證：BG〃平面4OC；

(2)求直線A8與平面OCG所成角的正切值.

【分析】(1)連接4G,交4c于E,連接。E,由中位線的性質(zhì)知。E〃BG,再由線面平行的判定定理得

證；

(2)取AC的中點(diǎn)0,連接A1。，B0,先證得40_L平面A6C,從而有4。_1_80,故以。為

原點(diǎn)，08、0C、04所在直線分別為X、)，、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線48與平面OCG

所成的角為0,求得平面。CG的法向量，后，由sin8=|cosV靛，n>b即可得解.

【解答】(1)證明：連接AC，交AC于￡連接OE,

V四邊形AiACG是平行四邊形，

???E是AG的中點(diǎn)，

■D是A8的中點(diǎn),：.DE//BC\t

???Z)Eu平面AiOC,BGC平面AQC,

???〃G〃平面AQC

(2)解：取AC的中點(diǎn)0,連接40,BO,

??.△ABC和△44C都是正三角形，：.AiO±AC,BOLAC,

V平面4ACG_L平面ABC,平面AtACCiCi平面ABC=AC,

12

???40_L平面A4C,???4iO_L8。,

以。為原點(diǎn)，OB、0C、04所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AC=2,則A(0,-1,0),B(次，0,0),C(0,1,0),D(返，」，0),C\(0,2,

22

次)，

AB—(W，1，0),CD=(近^出，0),DC：=(—?加)，

22122

L一(返三月)

-n?CD=022y

設(shè)平面OCG的法向量為H=(x,y,z),則《-------，即?，

日叩20號(hào)仔X.

乙乙

令x=3,則丁=第，z=-1,An=(3,V3??1)，

AB?n

設(shè)直線AB與平面DCC\所成的角為0,則sinG=|cos<AB，n>l=l-J=)3VW3

IAB!?InI2X^/9+3+I

=2V3

一而

tan9=2A/3?

故直線AB與平面DCC｝所成角的正切值為2點(diǎn).

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面平行、直線與平面所成的角

19.已知數(shù)列｛?。那啊?xiàng)和S”滿足2S“=(〃+1)an(n€N*),且0=2.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)為=(??-1)2%,數(shù)列｛兒｝的前〃項(xiàng)和乙，求證：北》號(hào).

【分析】(1)首先利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)利用乘公比錯(cuò)位相減法的應(yīng)用求出數(shù)列的和，進(jìn)一步利用放縮法的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】解：⑴因?yàn)閿?shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和S”滿足2S“=(n+1)an(nGN*)①，

所以：2Sn+i=(n+2)”〃+i②

且a\~2.

②-①得：2麗1=(〃+2)an+\~(〃+1)斯，

整理得：nan+\=(n+1)a,?

所以四三，

n+1n

所以數(shù)列｛氏｝為常數(shù)列.

n

所以■刎=—=2?

n1

所以an=2n.

證明：(2)由(1),b=(2〃-1)?2方=(2n-1)-4",

所以Tn=lX41+3X4?+…+(2n-l)?4”①，

423n+1

Tn=lX4+3X4+-+(2n-l)■4@?

13

23n

①-②得：-3Tn=4+2X（4+4+-+4）-（2n-l）-

所以.37；=4+2X16〉（妙J）一（2〃?1）?4向,

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列遞推式、數(shù)列的求和

20.為落實(shí)2020年底全面脫貧任務(wù)，某地區(qū)對(duì)2015年至2019年五年來農(nóng)村居民家庭人均純收入y（單位:

千元）進(jìn)行調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如表所示.

年份20152016201720182019

年份弋碼K12345

人均純收入3.23.54.35.15.9

y

（I）由如表所給數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖；

（H）判斷心y是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若有線性相關(guān)關(guān)系，求），關(guān)于x的線性回歸方程；

（HD利用（II）中的結(jié)論，分析2015年至2019年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該

地區(qū)2020年農(nóng)村居民家庭人均純收入.

（x「x）（y「y）Exiyi-nxy

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為6=以

n

E（x「x）

y-b*

【分析】（i）直接由已知條件畫散點(diǎn)圖;

（II）由已知公式及所給數(shù)據(jù)求得匕與@的值，則線性回歸方程可求;

（III）由回歸方程分析求解即可.

【解答】解：（I）散點(diǎn)圖如圖：

y/^A

6

5

4

3

2

2345W年份代碼

（II）由散點(diǎn)圖知x,y具有線性相關(guān)關(guān)系,

14

-1—1

X4(1+2+3+4+5)=2y*(3.2+3.5+4.3+5.1+5.9)=4.

55

xy=13t2

￡ii￡xi=55,

i=li=l

5—

?EXiYi-5xy

則b7-----------------73-5X3X4.4.

個(gè)2-255-5X9

>.Xj-5x

i=l

a=4.4-0.7X3=2.?

A

???所求的線性回歸方程為y=0.7X+2.3；

A

（III）由（I【）可以看IH,b=Q>7>O,故2015年至2019年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入

逐年增加，平均每件增加0.7千元.

A

將2020年的年份代號(hào)x=6代入（II）中的回歸方程，得y=0.7X6+2.3=6.&

故預(yù)測(cè)該地區(qū)2020年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.5千元.

【知識(shí)點(diǎn)】線性回歸方程

22

21.已知橢圓C與+4=1的右焦點(diǎn)為死過原點(diǎn)O的直線hy=gr與橢圓交于A,8兩點(diǎn)

a2b22

（點(diǎn)A在第一象限），且Hf]+|8F1=4,橢圓。的離心率為2.

2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若以點(diǎn)4為切點(diǎn)的橢圓的切線以田2y?4=0與y軸的交點(diǎn)為P,過點(diǎn)P的直線b與橢圓C交于不同

的兩點(diǎn)M,N,求怛止粵1的取值范圍.

|PA|2

【分析】（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為M，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性證明四邊形AF8M為平行四邊形，然后根據(jù)橢圓的

定義以及離心率即可求解；

（2）先由已知求出點(diǎn)A,P的坐標(biāo)，然后求出A尸的長(zhǎng)度的平方，再由已知求出PM,PN的長(zhǎng)

度的乘積，進(jìn)而可以求解.

【解答】解：（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為M,

由橢圓的對(duì)稱性可知，4,8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則|。4|=|0用，

又|OM=|O「1，所以四邊形4F8M為平行四邊形，所以|A~=|4M，

由橢圓的定義得|AQ+|8n=|BQ+|8M|=2a=4,即。=2,

又橢圓的離心率為0=￡,，所以。=1,所以護(hù)=〃2-〃=4-1=3,

a2

故橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為1：