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文檔簡介
4.2指數(shù)函數(shù)
胤目標(biāo)導(dǎo)航
1.理解指數(shù)函數(shù)的概念,了解對底數(shù)的限制條件的合理性.
2.了解指數(shù)增長型和指數(shù)衰減型在實際問題中的應(yīng)用.
3.掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).
4.學(xué)會利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)求函數(shù)的定義域、值域.
5.能利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較與指數(shù)有關(guān)的大小問題.
6.能借助指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解指數(shù)方程與指數(shù)不等式問題.
7.會求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合型函數(shù)的單調(diào)性問題.
矢破解讀
贏點2指數(shù)函數(shù)的定義
一般地,函數(shù)3>0,且存1)叫做指數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域是R.
知識點二兩類指數(shù)模型
1.y=ka\kX),g)且W1),當(dāng)時為指數(shù)增長型函數(shù)模型.
2.y=ka\k>0,?0且存1),當(dāng)時為指數(shù)衰減型函數(shù)模型.
知識點三指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
a>\0<〃<1
4yv=o*y-a,,
產(chǎn)卜斗2一
圖象
orx
定義域R
值域—
過定點過定點_____,即x=_時,y=_
性當(dāng)x<0時,________;當(dāng)x>0時,________;
函數(shù)值的變化
質(zhì)當(dāng)GO時,________當(dāng)x<0時,________
單調(diào)性在R上是________在R上是________
y="與),=《〉的圖象關(guān)于),軸對稱
對稱性
知識點四比較累的大小
一般地,比較塞大小的方法有
(1)對于同底數(shù)不同指數(shù)的兩個累的大小,利用的單調(diào)性來判斷.
(2)對于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個零的大小,利用的單調(diào)性來判斷.
(3)對于底數(shù)不同指數(shù)也不同的兩個轅的大小,則通過來判斷.
知識點五解指數(shù)方程、不等式
簡單指數(shù)不等式的解法
⑴形如〃此>4以外的不等式,可借助),="的單調(diào)性求解.
⑵形如小小心的不等式,可將力化為以。為底數(shù)的指數(shù)基的形式,再借助的單調(diào)性求
解.
(3)形如"A"的不等式,可借助兩函數(shù)),=",y=〃的圖象求解.
知識點六指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性
一般地,有形如且a,1)函數(shù)的性質(zhì)
⑴函數(shù)y=/)與函數(shù)y=段)有的定義域.
⑵當(dāng)面>1時,函數(shù)),=/、)與y=/U)具有的單調(diào)性;當(dāng)0〃<1時,函數(shù)),=小外與函數(shù)y=/U)
的單調(diào)性.
0跟蹤訓(xùn)練
一、單選題
I.已知a=1.6°3,b=L608,c=0.7°s,則()
A.c<a<bB.a<b<cC.b>oaD.a>b>c
2.如圖所示,函數(shù)y=|2-2|的國像是()
3.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù),用其名字命
名的“高斯函數(shù)":設(shè)xeR,用[可表示不超過x的最大整數(shù),則>=國稱為高斯函數(shù),也稱
取整函數(shù),例如:[-1.3卜-2,[3.4]=3,己知/(幻=手片-g,則函數(shù)y=[f(x)]的值域為
A.{0}B.{-bO}C.{0,1}D.{-L0,l}
4.已知函數(shù)則/⑴=()
A.IB.2C.4D.8
5.己知a>〃,則下列不等式一定成立的是()
A._<:B.2a>2bC.a2>b2D.\a\>\b\
22I
6.若a=(£N=(J,c=C則a、b、c的大小關(guān)系是()
A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a
7.非零實數(shù)小b滿足a>b,則下列結(jié)論正確的是()
A.-<yB.-+Y>2C.ac2>bc2D.>1
abab
8.已知函數(shù)/(x)=2-告,+則實
數(shù)。的取值范圍是()
51(51G5)5
A.0,-B.-oo,-C.0,-D.—,+00
I2」I2jI2)2
二、多選題
9.已知函數(shù)“力=3*-3\則()
A.f(x)的值域為RB.〃")是R上的增函數(shù)
C.〃力是R上的奇函數(shù)D./(力有最大值
10.已知函數(shù)/?是R上的增函數(shù),則實數(shù)〃的值可以是()
(l-2a)x+3a,x..-l
A.4B.3C.-D.一
34
11.設(shè)xwR,[4表示不超過x的最大整數(shù),例如:[-3.5]=T,[2』=2,已知函數(shù)
/(x)=-^7-l,則下列敘述中正確的是()
A.[/(X)]是偶函數(shù)B./⑴是奇函數(shù)
C.〃力在R上是增函數(shù)D.[/⑺]的值域是{T,0,1}
12.已知函數(shù)〃力="(;?+8的圖象過原點,且無限接近直線y=2,但又不與該直線相交,
則()
A.a=-2,b=2B./(x)的值域為[0,2)
C.若x<y<0,則/(x)</(y)D,若/(x)=/(y),月產(chǎn)工丁,則x+y=0
三、填空題
13.函數(shù)y=4,+2m+3的值域為一,
14.已知/(同是R上的奇函數(shù)且單調(diào)遞增,則下列函數(shù)是偶函數(shù)且在(0,y)上單調(diào)遞增的
有.
①y=|/(x)|;@y=/(x2+x);?y=/(|x|);?j=e/(x)+e-/(x).
R,都有/(4+1)=看
15.已知定義在R上的函數(shù)y=滿足:①對于任意的xw②
函數(shù)y=f(力是偶函數(shù);③當(dāng)x?0,l]時,/(x)=x+e\則/傳)/傳)從
小到大的排列是.
Q
16.已知函數(shù)函力=3%+2+。關(guān)于點(0,-12)對稱,若對任意的h2f⑵)20
x
恒成立,則實數(shù)Z的取值范圍為.
四、解答題
17.已知定義在(一1,1)上的奇函數(shù)/(x).在x?—l,0)時,/(x)=2r+2-\
(1)試求/(x)的表達(dá)式;
⑵若對于x?0,l)上的每一個值,不等式,2?7(力<4*-1恒成立,求實數(shù)/的取值范圍.
18.已知4>0且4H1,函數(shù)/(6=優(yōu)+〃-'(彳£[-1,1]),=-2ar+4-?(xe[-l,l]>
(1)求八外的單調(diào)區(qū)間和值域;
⑵若對于任意不?-1』,總存在%使得g(%)=/(X)成立,求。的取值范圍;
(3)若對于任意公?-1』,任意八?-15,都有g(shù)(x0)2/a)恒成立,求〃的取值范圍.
19.已知函數(shù)〃x)=優(yōu),g(x)=b"若/⑴+g⑴=5,/(l)-^(l)=l.
(1)求)(力,g(x)的解析式;
(2)若/(m)=g(〃),試比較m,〃的大小.
20.雙曲函數(shù)是一類與常見的三隹函數(shù)類似的函數(shù),最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)和雙
曲余弦函數(shù)(歷史上著名的“懸鏈線問題”與之相關(guān)).記雙曲正弦函數(shù)為/(力,雙曲余弦函
數(shù)為g(x),已知這兩個最基本的雙曲函數(shù)具有如下性質(zhì):
①定義域均為R,且/(同在R上是增函數(shù);
②“X)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù);
③f(x)+g(x)=e'(常數(shù)e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828-0.
利用卜述性質(zhì),解決以下問題:
(1)求雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)的解析式;
(2)證明:對任意實數(shù)盯[/(力7-[g(x)了為定值;
(3)已知帆wR,記函數(shù)y=2?g(2x)—4/(x)/WQln2]的最小值為求處㈤
4.2指數(shù)函數(shù)
園目標(biāo)導(dǎo)航
1.理解指數(shù)函數(shù)的概念,了解對底數(shù)的限制條件的合理性.
2.了解指數(shù)增長型和指數(shù)衰減型在實際問題中的應(yīng)用.
3.掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).
4.學(xué)會利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)求函數(shù)的定義域、值域.
5.能利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較與指數(shù)有關(guān)的大小問題.
6.能借助指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解指數(shù)方程與指數(shù)不等式問題.
7.會求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合型函數(shù)的單調(diào)性問題.
矢確解讀
贏點2指數(shù)函數(shù)的定義
一般地,函數(shù)3>0,且在1)叫做指數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域是R.
【答案】y="
知識點二兩類指數(shù)模型
1.y=ka\k>0,a>0且啟1),當(dāng)時為指數(shù)增長型函數(shù)模型.
2.y=ka\k>0,〃>0且W1),當(dāng)時為指數(shù)衰減型函數(shù)模型.
【答案】
知識點三指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
a>\0<a<l
P,廠01y-a,,
圖象產(chǎn)卜一
Op-Xor~~x
定義域R
值域—
過定點過定點_____,即x=_時,y=_
性當(dāng)x<0時,________;當(dāng)x>0時,________;
函數(shù)值的變化
質(zhì)
當(dāng)x>0時,________當(dāng)x<0時,________
單調(diào)性在R上是________在R上是________
y="與y=Q的圖象關(guān)于軸對稱
對稱性
【答案】(0,+8)(0,1)010勺<10勺<1)>1)>1增函數(shù)減函數(shù)
知識點四比較塞的大小
一般地,比較幕大小的方法有
(1)對于同底數(shù)不同指數(shù)的兩個暴的大小,利用的單調(diào)性來判斷.
(2)對于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個寨的大小,利用的單調(diào)性來判斷.
(3)對于底數(shù)不同指數(shù)也不同的兩個累的大小,則通過來判斷.
【答案】指數(shù)函數(shù)幕函數(shù)中間值
知識點五解指數(shù)方程、不等式
簡單指數(shù)不等式的解法
⑴形如小)⑶的不等式,可借助),="的單調(diào)性求解.
(2)形如〃山力的不等式,可將8億為以。為底數(shù)的指數(shù)塞的形式,再借助,,=/的單調(diào)性求
解.
(3)形如心的不等式,可借助兩函數(shù)y=〃,y=〃的圖象求解.
知識點六指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性
一般地,有形如曠=?。?>0,且在1)函數(shù)的性質(zhì)
⑴函數(shù)),=/)與函數(shù)y=/)有的定義域.
⑵當(dāng)時,函數(shù)丁=小,與y=,/U)具有的單調(diào)性;當(dāng)0<0<1時,函數(shù)^=小)與函數(shù)1y=段)
的單調(diào)性.
【答案】相同相同相反
,跟蹤訓(xùn)練
一、單選題
1.已知4=1.6°3/=1.6°8,C=0.7°S,則()
A.c<a<bB.a<b<cC.b>oaD.a>b>c
【答案】A
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量法即可得出答案.
【詳解】解:y=16是增函數(shù),故a=1.6°3<b=1.6%
而1.6°3>1>.0嚴(yán),故c<a<b-
故選:A.
2.如圖所示,函數(shù)),=|2'-2|的圖像是()
【答案】B
【分析】將原函數(shù)變形為分段函數(shù),根據(jù)x=l及X"時的函數(shù)值即可得解.
【詳解】nT2f=
=1時,y=O,xwl時,y>0.
故選:B.
3.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù),用其名字命
名的“高斯函數(shù)":SXGR,用團(tuán)表示不超過x的最大整數(shù),則>=區(qū)稱為高斯函數(shù),也稱
取整函數(shù),例J如:[-1.3]=-2,[3.4]=3,已知/(#=白_;,則函數(shù)尸[/(刈的值域為
()
A.{0}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1)
【答案】B
【分析】先求解函數(shù)〃幻=±-3的值域,在根據(jù)高斯函數(shù)的定義確定丁=[/(用]的值域.
【詳解】解:因為3、+1>1,所以0<J7c1,則一?所以函數(shù)/(X)的值域
3+133+133
為卜;故尸[/⑼的值域為-1或
故選:B
4.已知函數(shù)貝廳⑴=()
A.IB.2C.4D.8
【答案】C
【分析】將x=l代入對應(yīng)解析式即可.
【詳解】「當(dāng)x?2時,/(x)=2r+2,.?./(1)=2,+2=4.
故選:C.
5.己知〃>〃,則下列不等式一定成立的是()
A.5<、B.2a>2bC.a2>b2D.\a\>\b\
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件,舉例說明判斷A,C,D;利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷B作答.
【詳解】取。=1/=-2,滿足顯然有/<從、時<例成立,即選項A,C,
ab
D都不正確;
指數(shù)函數(shù)y=2*在R上單調(diào)遞增,若a>b,則必有2a>2),B正確.
故選:B
221
6.若a=(;)L=(J,c=&,則amc的大小關(guān)系是()
A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a
【答案】A
【分析】利用塞函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小
2II
【詳解】囚為y=在(。,收)上單調(diào)遞增,且
22
所以(;丁>(護(hù)即a”,
因為y=(gj在R上單調(diào)遞減,且
2I
所以(;丫<(3),即
所以c>a>h,即b<a<c
故選:A
7.非零實數(shù)小〃滿足力,則下列結(jié)論F確的是()
A.—<yB.一十二>2C.ac2>^<?2D.Qa~b>1
abab
【答案】D
【分析】對于選項A、B、C,舉反例可判斷,對于選項D,根據(jù)不等式的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)
的單調(diào)性可判斷.
【詳解】解:對于A,當(dāng)。=24=一1,滿足:非零實數(shù)小b旦a>b,而2=:>-1=!,
故A不正確;
對于B,當(dāng)。=2力=一1,滿足:非零實數(shù)m尻且而2+f=-1-2=-2<2,故B
不正確;
對于C,當(dāng)c=0時,ac2=bc2,故C不正確;
對于D,因為非零實數(shù)a,b滿足。>b,所以。一6>0,所以e"">],故D正確,
故選:D.
8.已知函數(shù)〃力=2-告,若不等式")+/(-/一9>2對Wx?l,2)恒成立,則實
數(shù)。的取值范圍是()
【答案】D
【分析】根據(jù)解析式可推導(dǎo)得到〃X)+〃T)=2,由此可化簡不等式得到
/(ar)>/L2+|l根據(jù)外力的單調(diào)性可得+g對立?1,2)恒成立,由T<x+g<|
可得結(jié)果.
【詳解】?./(力=2-等=若,==,-./(x)+/(-x)=2,
C"iJLD'?'ID?11"iC
則/卜"2-、)+/卜+')=2,「?/(0¥)+/(一/一_1)>2可化為〃公)>/卜+"|}
,2
???y=e,+l為R上的增函數(shù),.?.fx)=2--二為R上的增函數(shù),
e^+1
I
.,.依>/+1x對\/%£(],2)恒成立,^a>x+-,
v|<x+^<|,/.?>|,即實數(shù)a的取值范圍是I,+8).
故選:D.
二、多選題
9.已知函數(shù)/(耳二3、-3-、,則()
A.””的值域為RB.〃l)是R上的增函數(shù)
C.””是R上的奇函數(shù)D.〃力有最大值
【答案】ABC
【分析】g(x)=3%(0,十8),而〃(力二-3-、?-^0)得到/⑺的值域為R,判斷A正確,
D錯誤,根據(jù)增函數(shù)加增函數(shù)還是增函數(shù)進(jìn)行判斷B選項,根據(jù)函數(shù)奇偶性定義判斷得到C
選項.
【詳解】g(x)=3、£(0,”),而人(6二一3-,£(e,0),所以/(x)=3'—3T值域為R,A正
確,D錯誤;
因為g(x)=3*是遞增函數(shù),而力(力二-3-,是遞增函數(shù),所以/(?=3'-3T是遞增函數(shù),B
正確;
因為定義域為R,M/(-x)=3-x-3v=-/W>所以/(力是R上的奇函數(shù),C正確;
故選:ABC
10.已知函數(shù)/(幻=?是R上的增函數(shù),則實數(shù)。的值可以是()
A.4B.3C.-D.一
34
【答案】CD
【分析】由已知結(jié)合指數(shù)函數(shù),一次函數(shù)及分段函數(shù)單調(diào)性要求建立關(guān)于。的不等式組,解
不等式可求.
【詳解】解:因為〃幻=;藍(lán);35.-產(chǎn)上的增函數(shù),
所以l-2a>0
2a-\+3a..a
解得:”“.
故選:CD.
11.設(shè)xwR,國表示不超過x的最大整數(shù),例如:[-3.5]=7,[2』=2,已知函數(shù)
x1
/(力=4e-;則下列敘述中正確的是()
A.[/(切是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)
C./(6在R上是增函數(shù)D.[了㈤]的值域是{TO」}
【答案】BC
【分析】利用特殊值法可判斷A選項;利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷B選項;利用函數(shù)單
調(diào)性的性質(zhì)可判斷C選項;求出函數(shù)/(另的值域,利用題中定義可判斷D選項.
【詳解】根據(jù)題意知,/(力七一9H3白白,
[/⑴卜[dH卜°,[/(-|)]=[占4卜t,
所以,卜⑴卜卜(-叨且[〃1)尸-卜(叫],
所以,函數(shù)[/(X)]既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù),A錯;
/一加餐一;=叫:巧十七一9一八)
所以,函數(shù)f(x)為奇函數(shù),B對;
因為函數(shù)y=l+e,為R上的增函數(shù),則函數(shù)>=7■二為R上的減函數(shù),
1+e
故函數(shù)/(x)=T-備上的增函數(shù),C對;
因為e、>0,則1+ejl,所以,故一:<〃%)<!,
1+e22
所以,函數(shù)[/(切的值域為{TQ},D錯.
故選:BC.
12.已知函數(shù)/(*)=〃的圖象過原點,且無限接近直線y=2,但又不與該直線相交,
則()
A.。=-2,b=2B.“X)的值域為[0,2)
C.若xvyvo,則〃X)v/(y)D.若/(x)=/(y),且xwy,則x+y=O
【答案】ABD
【分析】“X)過原點得〃+8=0,由x-8〃.r)=a(gJ+〃fZ>,可判斷A;由(Je(O,l]得
-2(;(+2?0,2)可判斷B;畫出“力的圖象可判斷C;由/(力為偶函數(shù)可判斷D.
【詳解】???〃x)過原點,???〃。)=0,???a+6=0①,
又丁工一>8時,(g)TO,工1一②時,f(x)=a(g)+bib,
由題,圖象無限接近直線,=2,則b=2②,
由①@知〃=—2,b=2,故A正確;
所以〃同=-26)’+2,(gj?OJ],+2G[0,2),所以B正確;
由圖知,〃力在x?y,0]上單調(diào)遞減,因為“”0,則/(*)>/(>,),
故C錯誤;
??"(力為偶函數(shù),
又???/(y)=/(x),???/(>)=/(—),???一工=兒???x+y=o,故D正確.
故選:ABD.
三、填空題
13.函數(shù)),=4'2"1+3的值域為.
【答案】(3,+00)
【分析】函數(shù)是復(fù)合二次函數(shù),換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值域問題.
r詳解】解:令,=2p>o),
二?函數(shù)丁=4'+2.+3(4€/?)化為/(。=/+2/+3=0+1)2+2?>0),
.?./(/)>3,即函數(shù)y=4,+2川+3的值域為(3,小).
故答案為:(3,位)
14.已知/(同是R上的奇函數(shù)且單調(diào)遞增,則下列函數(shù)是偶函數(shù)且在(0,y)上單調(diào)遞增的
有.
①3=|/(刈;②y=/(f+x);@y=/(|x|);④曠=/35
【答案】①③④
【分析】根據(jù)奇偶性定義域,單調(diào)性的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】解:因為/(X)是R上的奇函數(shù)且單調(diào)遞增,
故當(dāng)x>0時,/W>/(0)=0,/(-X)=-/(%),
①8(-司=|〃-力|=|/(力|=83為偶函數(shù),且當(dāng)工>0時,g(x)=|.f(x)|=/(x)單調(diào)遞增,
符合題意;
②g(T)=/(X2T"㈤,故不滿足偶函數(shù);
③g(T)=/(|T|)=/(|x|)=g(x),且X>0時8(力=/(力單調(diào)遞增,符合題意;
/W
④g(—x)=e/(T+e)(T=e如+/3=g(x),滿足偶函數(shù),且當(dāng)*>0時,/(x)>0,C>B
根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可知g(x)=e/3+e-爾)單調(diào)遞增,符合題意.
故答案為:①③④
]
15.已知定義在R上的函數(shù)了=/(力滿足:①對于任意的xwR,都有/(%+1)=7?②
函數(shù)尸””是偶函數(shù);③當(dāng)x?O,l]時,/(x)=x+e\則O,/圖,,第從
小到大的排列是.
【答案】/(-1"(野G)
【分析】由f(x+l)=看可得函數(shù)的周期為2,然后利用偶函數(shù)的性質(zhì)和周期性將自變量
轉(zhuǎn)化到(0』上,再由函數(shù)在(0,1]上為增函數(shù)可比較大小
【詳解】由題意〃"+1)=矗=/(x-l),故函數(shù)y=/(x)為周期為2的函數(shù);
7
HH(3信M吟傳卜小同=嗚);
???當(dāng)x?0,l]時,/(力=工+占是增函數(shù),
故佃<嗚卜同,即/卜訃信
故答案為:/月」傳M3
Q
16.已知函數(shù)/(x)=3x+2+a關(guān)于點(012)對稱,若對任意的xe[T,l],k-2x-f(2x)k0
x
恒成立,則實數(shù)k的取值范圍為.
【答案】上All
【分析】由h2*-/(21)20得火之告2使得不等式一邊是參數(shù)左,另一邊是不含上關(guān)于x的
式子,分離參數(shù).
Q
【詳解】由y=3x+2為奇函數(shù),可得其圖像關(guān)于(0,0)對稱,
X
所以八公的圖像關(guān)于(0M)對稱,
Q
由題目可知函數(shù)/(x)=3x+2+a關(guān)于點(0,-12)對稱,可得々=—12,
x
對任意的工£[-1,1],心2"-/(2*)20恒成立
Q
0Vx£[—1,1]歡2—(32+F—12)20恒成立,
2X
O
即憶2*之3-2*+--12在工£[-1,1]恒成立,
2X
Q17
所以-謖-十3,
令/=由可得
2X2
設(shè)人(,)=8/-121+3=8"-?)2-3,
42
當(dāng)f=2時,/KD取得最大值11,
所以女的取值范圍是ANIL
故答案為:k>\\.
【點睛】①分離參數(shù)法:遇到類似h/(x)2g(x)或&+/(x)2g(x)等穴等式恒成立問題,可
把不等式化簡為左N力(x)或左w〃(x)的形式,達(dá)到分離參數(shù)的目的,再求解y=〃(x)的最值處
理恒成立問題;
②恒成立問題最終轉(zhuǎn)化為最值問題,而分離參數(shù)法,最好之處就是轉(zhuǎn)化后的函數(shù)不含參,避
免了麻煩的分離討論.
四、解答題
17.已知定義在(7,1)上的奇函數(shù)/(X).在x?TO)時,/(x)=2r4-2-\
⑴試求/(X)的表達(dá)式;
⑵若對于x?O,l)上的每一個值,不等式九2。/(耳<4=1恒成立,求實數(shù)/的取值范圍.
2,+2Txe(-l,O)
【答案】(l)f")=0x=0
2T2-xXG(O,1)
(2)r>0
【分析】(1)依題意可得〃0)=0,再設(shè)x?O,l),根據(jù)奇偶性及xw(-1,0)上的函數(shù)解析式,
計算可得;
(2)依題意參變分離可得經(jīng)+[,令g(x)==±l,xe(0,l),根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求
4+14+1
出函數(shù)的單調(diào)性,即可求出函數(shù)最小值,從而得解;
【詳解】⑴解:???/(力是定義在(一")上的奇函數(shù),"(0)=0,
因為在xw(-1,0)時,/(x)=2¥+2-\
設(shè)xw(0』),則TC(-1,0),
則/3=_/(_加_(2”)
2、+2、XG(-1,0)
故/(力=?0x=0
-2x-2-xx€(O,l)
(2)解:由題意,入2。/(力〈4'-1可化為入2、?(-2,-27)〈4'-1
化簡可得里,
4+1
令g(%)=:+:=—+xe(?!?,
4+14+1
因為y=4,+l在定義域(0,1)上單調(diào)遞增,y=:在(2,5)上單調(diào)遞減,
所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,
2
,g(x)<g(O)=T+^j=。,
故1N0.
18.已知a>0且awl,函數(shù)/(%)=優(yōu)+4-*(工£[-1』]),g(x)=ax2-2ax+4-a(XG[-\A])
(1)求八外的單調(diào)區(qū)間和值域;
⑵若對于任意入1,1],總存在不£卜1』,使得g(x0)=/(%)成立,求。的取值范圍;
⑶若對于任意與武一1』,任意不?-1』,都有g(shù)(x0)2/a)恒成立,求。的取值范圍.
【答案】(1)函數(shù)的遞增區(qū)間為[0,1],遞減區(qū)間為2,a+;
⑵0收)
⑶事)
【分析】(1)先判斷函數(shù)的奇偶性,然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系,即可求人制的單
調(diào)區(qū)間和值域
(2)若對于任意為4—1,1],總存在七目一口],使得g(%)=/(K)成立,即等價于
g(HLN/(力2且g(£LN,然后可。得取值范圍?
(3)若對于任意不目一L1],任意百目一川,都有g(shù)(y)之/(演)恒成立,等價為
雙。而//(“)2,然后可。得取宜范圍?
【詳解】⑴,f⑺=ax+a~x(xe[-1,1])
則f(~x)=ax+ax=f(x),/(x)為偶函數(shù)
設(shè)r=",則函數(shù)等價為y=
t
若當(dāng)OVxWl時,,二優(yōu)單調(diào)遞增,且壯1,此時函數(shù)y=f+1在年1上單調(diào)遞增,...根
t
據(jù)更合函數(shù)的單調(diào)性可知此時f(x)單調(diào)遞增.
若Ovavl,當(dāng)OWxWl時,f=a”單調(diào)遞減,且0<Y1,此時函數(shù)y=/+,在0<Y1上單調(diào)
t
遞減,,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知此時f(x)單調(diào)遞增.
綜上當(dāng)xNO時,函數(shù)單調(diào)遞增
???函數(shù)/(X)是偶函數(shù),,當(dāng)一時,函數(shù)單調(diào)遞減.
故函數(shù)的遞增區(qū)間為[0,1],遞減區(qū)間為[-1,0].
???函數(shù)的值域為⑵?+-].
a
(2).a>0且〃工1,
/.g(力=CD^—lax+4~a(xe[―1?1])的對稱軸為x=---—=1,
二函數(shù)g(x)在x?T,l]時,函數(shù)單調(diào)遞減.
?.g(T)=2a+4,g⑴=4—2a.
即4—2。<g(x)<4+2a,
若對于任意不總存在與式-1,1],使得爪/)=,5)成立,
即g(")2之f⑸r且g(必kf(xL,
,4+2a>a+—nM4+?>—
則,a,即,a,
4-2a<2a>1
此時aNl,
。>0且。。1,:.a>\,
即〃的取值范圍是(1,y):
(3)若對于任意飛?一川,任意百?一同,都有g(shù)(%)N/(X)恒成立
即晨力加了〃力2
則4—2aNa+L4—3a>-
aa
.-,3t?2-4?+l<0,解得gvaKl
a>0且awl
即a的取值范圍g,l)
19.已知函數(shù)/(%)=",g(』M,若/⑴+g⑴=5,f(l)-g(l)=l.
⑴求/(x),g(x)的解析式;
(2)若f(/n)=g(〃),試比較m,〃的大小.
【答案】⑴/(x)=3,,g(x)="
(2)當(dāng)/n=0時,fn=n.當(dāng)相>0時,m<n,當(dāng)機(jī)<0時,m>n.
【分析】(1)由已知得/⑴=3,g⑴=2,代入即可求得進(jìn)而得解;
(2)分類討論當(dāng)m=0,加>0和m<0時,結(jié)合已知即可得解.
[詳解](1)由+=:,解得:/(l)=3,g(l)=2,即〃=3/=2
1/⑴-g⑴=1
.?./W=3\g(H=2*
⑵由f(m)=g(〃),得3m=2",
當(dāng)加=0時,有2"=1,所以〃=0,此時間=〃;
當(dāng)7?>0時,25V3"'=2”.此時機(jī)<〃:
當(dāng)m<0時,2m>3^=2",此時切>〃;
20.雙曲函數(shù)是一類與常見的三角函數(shù)類似的函數(shù),最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)和雙
曲余弦函數(shù)(歷史上著名的“懸鏈線問題”與之相關(guān)).記雙曲正弦函數(shù)為了(X),雙曲余弦函
數(shù)為g(x),已知這兩個最基本的雙曲函數(shù)具有如下性質(zhì):
①定義域均為R,且/(力在R上是增函數(shù);
②/(X)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù);
③/(x)+g(6=e、(常數(shù)e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…).
利用上述性質(zhì),解決以下問題:
(I)求雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)的解析式;
(2)證明:對任意實數(shù)”,[〃力了一[g(x)了為定值;
(3)已知〃z
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