高一數(shù)學(xué)人教A版2019必修第一冊42指數(shù)函數(shù)學(xué)案含解析

4.2指數(shù)函數(shù)

胤目標(biāo)導(dǎo)航

1.理解指數(shù)函數(shù)的概念，了解對底數(shù)的限制條件的合理性.

2.了解指數(shù)增長型和指數(shù)衰減型在實際問題中的應(yīng)用.

3.掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).

4.學(xué)會利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)求函數(shù)的定義域、值域.

5.能利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較與指數(shù)有關(guān)的大小問題.

6.能借助指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解指數(shù)方程與指數(shù)不等式問題.

7.會求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合型函數(shù)的單調(diào)性問題.

矢破解讀

贏點2指數(shù)函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)3>0,且存1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.

知識點二兩類指數(shù)模型

1.y=ka\kX),g)且W1),當(dāng)時為指數(shù)增長型函數(shù)模型.

2.y=ka\k>0,?0且存1),當(dāng)時為指數(shù)衰減型函數(shù)模型.

知識點三指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>\0<〃<1

4yv=o*y-a,,

產(chǎn)卜斗2一

圖象

orx

定義域R

值域—

過定點過定點_____，即x=_時，y=_

性當(dāng)x<0時，________；當(dāng)x>0時，________；

函數(shù)值的變化

質(zhì)當(dāng)GO時，________當(dāng)x<0時，________

單調(diào)性在R上是________在R上是________

y="與),=《〉的圖象關(guān)于)，軸對稱

對稱性

知識點四比較累的大小

一般地，比較塞大小的方法有

(1)對于同底數(shù)不同指數(shù)的兩個累的大小，利用的單調(diào)性來判斷.

（2）對于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個零的大小，利用的單調(diào)性來判斷.

（3）對于底數(shù)不同指數(shù)也不同的兩個轅的大小，則通過來判斷.

知識點五解指數(shù)方程、不等式

簡單指數(shù)不等式的解法

⑴形如〃此>4以外的不等式，可借助），="的單調(diào)性求解.

⑵形如小小心的不等式，可將力化為以。為底數(shù)的指數(shù)基的形式，再借助的單調(diào)性求

解.

（3）形如"A"的不等式，可借助兩函數(shù)），="，y=〃的圖象求解.

知識點六指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性

一般地，有形如且a,1）函數(shù)的性質(zhì)

⑴函數(shù)y=/）與函數(shù)y=段）有的定義域.

⑵當(dāng)面>1時，函數(shù)），=/、）與y=/U）具有的單調(diào)性；當(dāng)0〃<1時，函數(shù)），=小外與函數(shù)y=/U）

的單調(diào)性.

0跟蹤訓(xùn)練

一、單選題

I.已知a=1.6°3,b=L608,c=0.7°s,則（）

A.c<a<bB.a<b<cC.b>oaD.a>b>c

2.如圖所示，函數(shù)y=|2-2|的國像是（）

3.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽，用其名字命

名的“高斯函數(shù)"：設(shè)xeR,用[可表示不超過x的最大整數(shù)，則>=國稱為高斯函數(shù)，也稱

取整函數(shù)，例如：[-1.3卜-2,[3.4]=3,己知/（幻=手片-g,則函數(shù)y=[f（x）]的值域為

A.{0}B.{-bO}C.{0,1}D.{-L0,l}

4.已知函數(shù)則/⑴=()

A.IB.2C.4D.8

5.己知a>〃，則下列不等式一定成立的是()

A._<：B.2a>2bC.a2>b2D.\a\>\b\

22I

6.若a=(￡N=(J，c=C則a、b、c的大小關(guān)系是()

A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

7.非零實數(shù)小b滿足a>b,則下列結(jié)論正確的是()

A.-<yB.-+Y>2C.ac2>bc2D.>1

abab

8.已知函數(shù)/(x)=2-告，+則實

數(shù)。的取值范圍是()

51(51G5)5

A.0,-B.-oo,-C.0,-D.—,+00

I2」I2jI2)2

二、多選題

9.已知函數(shù)“力=3*-3\則()

A.f(x)的值域為RB.〃")是R上的增函數(shù)

C.〃力是R上的奇函數(shù)D./(力有最大值

10.已知函數(shù)/?是R上的增函數(shù)，則實數(shù)〃的值可以是()

(l-2a)x+3a,x..-l

A.4B.3C.-D.一

34

11.設(shè)xwR,[4表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[-3.5]=T,[2』=2,已知函數(shù)

/(x)=-^7-l,則下列敘述中正確的是()

A.[/(X)]是偶函數(shù)B./⑴是奇函數(shù)

C.〃力在R上是增函數(shù)D.[/⑺]的值域是{T,0,1}

12.已知函數(shù)〃力="(；?+8的圖象過原點，且無限接近直線y=2,但又不與該直線相交,

則()

A.a=-2,b=2B./(x)的值域為[0,2)

C.若x<y<0,則/(x)</(y)D,若/(x)=/(y),月產(chǎn)工丁，則x+y=0

三、填空題

13.函數(shù)y=4，+2m+3的值域為一,

14.已知/(同是R上的奇函數(shù)且單調(diào)遞增，則下列函數(shù)是偶函數(shù)且在(0,y)上單調(diào)遞增的

有.

①y=|/(x)|;@y=/(x2+x)；?y=/(|x|)；?j=e/(x)+e-/(x).

R，都有/(4+1)=看

15.已知定義在R上的函數(shù)y=滿足：①對于任意的xw②

函數(shù)y=f(力是偶函數(shù);③當(dāng)x?0，l]時，/(x)=x+e\則/傳)/傳)從

小到大的排列是.

Q

16.已知函數(shù)函力=3%+2+。關(guān)于點(0,-12)對稱,若對任意的h2f⑵)20

x

恒成立，則實數(shù)Z的取值范圍為.

四、解答題

17.已知定義在(一1,1)上的奇函數(shù)/(x).在x?—l,0)時，/(x)=2r+2-\

(1)試求/(x)的表達(dá)式;

⑵若對于x?0,l)上的每一個值，不等式，2?7(力<4*-1恒成立，求實數(shù)/的取值范圍.

18.已知4>0且4H1,函數(shù)/(6=優(yōu)+〃-'(彳￡[-1,1]),=-2ar+4-?(xe[-l,l]>

(1)求八外的單調(diào)區(qū)間和值域；

⑵若對于任意不?-1』，總存在%使得g(%)=/(X)成立，求。的取值范圍；

(3)若對于任意公?-1』，任意八?-15，都有g(shù)(x0)2/a)恒成立，求〃的取值范圍.

19.已知函數(shù)〃x)=優(yōu)，g(x)=b"若/⑴+g⑴=5,/(l)-^(l)=l.

(1)求)(力，g(x)的解析式；

(2)若/(m)=g(〃)，試比較m,〃的大小.

20.雙曲函數(shù)是一類與常見的三隹函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)和雙

曲余弦函數(shù)(歷史上著名的“懸鏈線問題”與之相關(guān)).記雙曲正弦函數(shù)為/(力，雙曲余弦函

數(shù)為g(x),已知這兩個最基本的雙曲函數(shù)具有如下性質(zhì)：

①定義域均為R,且/(同在R上是增函數(shù)；

②“X)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)；

③f(x)+g(x)=e'(常數(shù)e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828-0.

利用卜述性質(zhì),解決以下問題：

(1)求雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)的解析式；

(2)證明：對任意實數(shù)盯［/(力7-［g(x)了為定值；

(3)已知帆wR,記函數(shù)y=2?g(2x)—4/(x)/WQln2］的最小值為求處㈤

4.2指數(shù)函數(shù)

園目標(biāo)導(dǎo)航

1.理解指數(shù)函數(shù)的概念，了解對底數(shù)的限制條件的合理性.

2.了解指數(shù)增長型和指數(shù)衰減型在實際問題中的應(yīng)用.

3.掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).

4.學(xué)會利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)求函數(shù)的定義域、值域.

5.能利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較與指數(shù)有關(guān)的大小問題.

6.能借助指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解指數(shù)方程與指數(shù)不等式問題.

7.會求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合型函數(shù)的單調(diào)性問題.

矢確解讀

贏點2指數(shù)函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)3>0,且在1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.

【答案】y="

知識點二兩類指數(shù)模型

1.y=ka\k>0,a>0且啟1),當(dāng)時為指數(shù)增長型函數(shù)模型.

2.y=ka\k>0,〃>0且W1),當(dāng)時為指數(shù)衰減型函數(shù)模型.

【答案】

知識點三指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>\0<a<l

P,廠01y-a,,

圖象產(chǎn)卜一

Op-Xor~~x

定義域R

值域—

過定點過定點_____，即x=_時，y=_

性當(dāng)x<0時，________；當(dāng)x>0時,________；

函數(shù)值的變化

質(zhì)

當(dāng)x>0時，________當(dāng)x<0時，________

單調(diào)性在R上是________在R上是________

y="與y=Q的圖象關(guān)于軸對稱

對稱性

【答案】(0,+8)(0,1)010勺<10勺<1)>1)>1增函數(shù)減函數(shù)

知識點四比較塞的大小

一般地，比較幕大小的方法有

(1)對于同底數(shù)不同指數(shù)的兩個暴的大小，利用的單調(diào)性來判斷.

(2)對于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個寨的大小，利用的單調(diào)性來判斷.

(3)對于底數(shù)不同指數(shù)也不同的兩個累的大小，則通過來判斷.

【答案】指數(shù)函數(shù)幕函數(shù)中間值

知識點五解指數(shù)方程、不等式

簡單指數(shù)不等式的解法

⑴形如小)⑶的不等式，可借助)，="的單調(diào)性求解.

(2)形如〃山力的不等式，可將8億為以。為底數(shù)的指數(shù)塞的形式，再借助,，=/的單調(diào)性求

解.

(3)形如心的不等式，可借助兩函數(shù)y=〃，y=〃的圖象求解.

知識點六指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性

一般地，有形如曠=?。?>0,且在1)函數(shù)的性質(zhì)

⑴函數(shù))，=/)與函數(shù)y=/)有的定義域.

⑵當(dāng)時，函數(shù)丁=小，與y=，/U)具有的單調(diào)性；當(dāng)0<0<1時，函數(shù)^=小)與函數(shù)1y=段)

的單調(diào)性.

【答案】相同相同相反

,跟蹤訓(xùn)練

一、單選題

1.已知4=1.6°3/=1.6°8,C=0.7°S,則（）

A.c<a<bB.a<b<cC.b>oaD.a>b>c

【答案】A

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量法即可得出答案.

【詳解】解：y=16是增函數(shù)，故a=1.6°3<b=1.6%

而1.6°3>1>.0嚴(yán),故c<a<b-

故選：A.

2.如圖所示，函數(shù)），=|2'-2|的圖像是（）

【答案】B

【分析】將原函數(shù)變形為分段函數(shù)，根據(jù)x=l及X"時的函數(shù)值即可得解.

【詳解】nT2f=

=1時，y=O,xwl時，y>0.

故選：B.

3.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽，用其名字命

名的“高斯函數(shù)"：SXGR,用團(tuán)表示不超過x的最大整數(shù)，則>=區(qū)稱為高斯函數(shù)，也稱

取整函數(shù)，例J如：[-1.3]=-2,[3.4]=3,已知/(#=白_；,則函數(shù)尸[/(刈的值域為

()

A.{0}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1)

【答案】B

【分析】先求解函數(shù)〃幻=±-3的值域，在根據(jù)高斯函數(shù)的定義確定丁=[/(用]的值域.

【詳解】解：因為3、+1>1,所以0<J7c1,則一?所以函數(shù)/(X)的值域

3+133+133

為卜;故尸[/⑼的值域為-1或

故選：B

4.已知函數(shù)貝廳⑴=()

A.IB.2C.4D.8

【答案】C

【分析】將x=l代入對應(yīng)解析式即可.

【詳解】「當(dāng)x?2時，/(x)=2r+2,.?./(1)=2,+2=4.

故選：C.

5.己知〃>〃，則下列不等式一定成立的是()

A.5<、B.2a>2bC.a2>b2D.\a\>\b\

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，舉例說明判斷A,C,D；利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷B作答.

【詳解】取。=1/=-2,滿足顯然有/<從、時<例成立，即選項A,C,

ab

D都不正確；

指數(shù)函數(shù)y=2*在R上單調(diào)遞增，若a>b,則必有2a>2)，B正確.

故選：B

221

6.若a=(；)L=(J,c=&,則amc的大小關(guān)系是()

A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【分析】利用塞函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小

2II

【詳解】囚為y=在（。，收）上單調(diào)遞增，且

22

所以（；丁>（護(hù)即a”,

因為y=（gj在R上單調(diào)遞減，且

2I

所以（;丫<（3），即

所以c>a>h,即b<a<c

故選：A

7.非零實數(shù)小〃滿足力,則下列結(jié)論F確的是（）

A.—<yB.一十二>2C.ac2>^<?2D.Qa~b>1

abab

【答案】D

【分析】對于選項A、B、C,舉反例可判斷，對于選項D,根據(jù)不等式的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)

的單調(diào)性可判斷.

【詳解】解：對于A,當(dāng)。=24=一1,滿足：非零實數(shù)小b旦a>b,而2=:>-1=!，

故A不正確；

對于B,當(dāng)。=2力=一1,滿足：非零實數(shù)m尻且而2+f=-1-2=-2<2,故B

不正確；

對于C,當(dāng)c=0時，ac2=bc2,故C不正確；

對于D,因為非零實數(shù)a,b滿足。>b,所以。一6>0,所以e"">],故D正確，

故選：D.

8.已知函數(shù)〃力=2-告，若不等式"）+/（-/一9>2對Wx?l,2）恒成立，則實

數(shù)。的取值范圍是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)解析式可推導(dǎo)得到〃X）+〃T）=2,由此可化簡不等式得到

/（ar）>/L2+|l根據(jù)外力的單調(diào)性可得+g對立?1,2）恒成立，由T<x+g<|

可得結(jié)果.

【詳解】?./（力=2-等=若，==,-./（x）+/（-x）=2,

C"iJLD'?'ID?11"iC

則/卜"2-、）+/卜+'）=2,「?/（0￥）+/（一/一_1）>2可化為〃公）>/卜+"|}

,2

???y=e，+l為R上的增函數(shù)，.?.fx）=2--二為R上的增函數(shù)，

e^+1

I

.,.依>/+1x對\/%￡（］,2）恒成立，^a>x+-,

v|<x+^<|,/.?>|,即實數(shù)a的取值范圍是I，+8）.

故選：D.

二、多選題

9.已知函數(shù)/（耳二3、-3-、，則（）

A.””的值域為RB.〃l）是R上的增函數(shù)

C.””是R上的奇函數(shù)D.〃力有最大值

【答案】ABC

【分析】g（x）=3%（0,十8）,而〃（力二-3-、?-^0）得到/⑺的值域為R,判斷A正確，

D錯誤，根據(jù)增函數(shù)加增函數(shù)還是增函數(shù)進(jìn)行判斷B選項，根據(jù)函數(shù)奇偶性定義判斷得到C

選項.

【詳解】g（x）=3、￡（0,”），而人（6二一3-，￡（e,0）,所以/（x）=3'—3T值域為R,A正

確，D錯誤；

因為g（x）=3*是遞增函數(shù)，而力（力二-3-，是遞增函數(shù)，所以/（?=3'-3T是遞增函數(shù)，B

正確；

因為定義域為R，M/（-x）=3-x-3v=-/W>所以/（力是R上的奇函數(shù)，C正確；

故選：ABC

10.已知函數(shù)/（幻=?是R上的增函數(shù)，則實數(shù)。的值可以是（）

A.4B.3C.-D.一

34

【答案】CD

【分析】由已知結(jié)合指數(shù)函數(shù)，一次函數(shù)及分段函數(shù)單調(diào)性要求建立關(guān)于。的不等式組，解

不等式可求.

【詳解】解：因為〃幻=；藍(lán);35.-產(chǎn)上的增函數(shù),

所以l-2a>0

2a-\+3a..a

解得:”“.

故選：CD.

11.設(shè)xwR,國表示不超過x的最大整數(shù)，例如：［-3.5］=7,［2』=2,已知函數(shù)

x1

/（力=4e-;則下列敘述中正確的是（）

A.［/（切是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)

C./（6在R上是增函數(shù)D.［了㈤］的值域是｛TO」｝

【答案】BC

【分析】利用特殊值法可判斷A選項；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷B選項；利用函數(shù)單

調(diào)性的性質(zhì)可判斷C選項；求出函數(shù)/（另的值域，利用題中定義可判斷D選項.

【詳解】根據(jù)題意知，/（力七一9H3白白，

［/⑴卜［dH卜°，［/（-|）］=［占4卜t，

所以，卜⑴卜卜（-叨且［〃1）尸-卜（叫］，

所以，函數(shù)［/（X）］既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，A錯；

/一加餐一；=叫：巧十七一9一八）

所以，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，B對；

因為函數(shù)y=l+e，為R上的增函數(shù)，則函數(shù)＞=7■二為R上的減函數(shù),

1+e

故函數(shù)/(x)=T-備上的增函數(shù)，C對；

因為e、>0,則1+ejl，所以，故一:<〃％)<!，

1+e22

所以，函數(shù)［/(切的值域為{TQ},D錯.

故選：BC.

12.已知函數(shù)/(*)=〃的圖象過原點，且無限接近直線y=2,但又不與該直線相交，

則()

A.。=-2,b=2B.“X)的值域為［0,2)

C.若xvyvo,則〃X)v/(y)D.若/(x)=/(y),且xwy,則x+y=O

【答案】ABD

【分析】“X)過原點得〃+8=0,由x-8〃.r)=a(gJ+〃fZ>,可判斷A；由(Je(O,l］得

-2(；(+2?0,2)可判斷B；畫出“力的圖象可判斷C;由/(力為偶函數(shù)可判斷D.

【詳解】???〃x)過原點，???〃。)=0，???a+6=0①，

又丁工一>8時，(g)TO,工1一②時，f(x)=a(g)+bib,

由題，圖象無限接近直線，=2,則b=2②，

由①@知〃=—2,b=2,故A正確；

所以〃同=-26)’+2,(gj?OJ］,+2G［0,2),所以B正確；

由圖知，〃力在x?y,0］上單調(diào)遞減，因為“”0,則/(*)>/(>，)，

故C錯誤；

??"(力為偶函數(shù)，

又???/(y)=/(x),???/(>)=/(—),???一工=兒???x+y=o,故D正確.

故選：ABD.

三、填空題

13.函數(shù))，=4'2"1+3的值域為.

【答案】(3,+00)

【分析】函數(shù)是復(fù)合二次函數(shù)，換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值域問題.

r詳解】解：令，=2p>o),

二?函數(shù)丁=4'+2.+3(4€/?)化為/(。=/+2/+3=0+1)2+2?>0),

.?./(/)>3,即函數(shù)y=4,+2川+3的值域為(3,小).

故答案為：(3,位)

14.已知/(同是R上的奇函數(shù)且單調(diào)遞增，則下列函數(shù)是偶函數(shù)且在(0,y)上單調(diào)遞增的

有.

①3=|/(刈；②y=/(f+x)；@y=/(|x|)；④曠=/35

【答案】①③④

【分析】根據(jù)奇偶性定義域，單調(diào)性的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】解：因為/(X)是R上的奇函數(shù)且單調(diào)遞增，

故當(dāng)x>0時，/W>/(0)=0,/(-X)=-/(%),

①8(-司=|〃-力|=|/(力|=83為偶函數(shù)，且當(dāng)工>0時，g(x)=|.f(x)|=/(x)單調(diào)遞增，

符合題意；

②g(T)=/(X2T"㈤,故不滿足偶函數(shù);

③g(T)=/(|T|)=/(|x|)=g(x)，且X>0時8(力=/(力單調(diào)遞增，符合題意；

/W

④g(—x)=e/(T+e)(T=e如+/3=g(x),滿足偶函數(shù)，且當(dāng)*>0時,/(x)>0,C>B

根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可知g(x)=e/3+e-爾)單調(diào)遞增，符合題意.

故答案為：①③④

]

15.已知定義在R上的函數(shù)了=/(力滿足：①對于任意的xwR,都有/(%+1)=7?②

函數(shù)尸””是偶函數(shù)；③當(dāng)x?O，l］時，/(x)=x+e\則O,/圖,，第從

小到大的排列是.

【答案】/(-1"(野G)

【分析】由f(x+l)=看可得函數(shù)的周期為2,然后利用偶函數(shù)的性質(zhì)和周期性將自變量

轉(zhuǎn)化到(0』上，再由函數(shù)在(0,1]上為增函數(shù)可比較大小

【詳解】由題意〃"+1)=矗=/(x-l),故函數(shù)y=/(x)為周期為2的函數(shù)；

7

HH(3信M吟傳卜小同=嗚)；

???當(dāng)x?0,l]時，/(力=工+占是增函數(shù)，

故佃<嗚卜同，即/卜訃信

故答案為:/月」傳M3

Q

16.已知函數(shù)/(x)=3x+2+a關(guān)于點(012)對稱，若對任意的xe[T,l],k-2x-f(2x)k0

x

恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為.

【答案】上All

【分析】由h2*-/(21)20得火之告2使得不等式一邊是參數(shù)左，另一邊是不含上關(guān)于x的

式子，分離參數(shù).

Q

【詳解】由y=3x+2為奇函數(shù)，可得其圖像關(guān)于(0,0)對稱，

X

所以八公的圖像關(guān)于(0M)對稱，

Q

由題目可知函數(shù)/(x)=3x+2+a關(guān)于點(0,-12)對稱，可得々=—12,

x

對任意的工￡[-1,1],心2"-/(2*)20恒成立

Q

0Vx￡[—1,1]歡2—(32+F—12)20恒成立，

2X

O

即憶2*之3-2*+--12在工￡[-1,1]恒成立,

2X

Q17

所以-謖-十3,

令/=由可得

2X2

設(shè)人(，)=8/-121+3=8"-？)2-3，

42

當(dāng)f=2時，/KD取得最大值11,

所以女的取值范圍是ANIL

故答案為：k>\\.

【點睛】①分離參數(shù)法：遇到類似h/(x)2g(x)或&+/(x)2g(x)等穴等式恒成立問題，可

把不等式化簡為左N力(x)或左w〃(x)的形式，達(dá)到分離參數(shù)的目的，再求解y=〃(x)的最值處

理恒成立問題；

②恒成立問題最終轉(zhuǎn)化為最值問題，而分離參數(shù)法，最好之處就是轉(zhuǎn)化后的函數(shù)不含參，避

免了麻煩的分離討論.

四、解答題

17.已知定義在(7,1)上的奇函數(shù)/(X).在x?TO)時，/(x)=2r4-2-\

⑴試求/(X)的表達(dá)式;

⑵若對于x?O,l)上的每一個值，不等式九2。/(耳<4=1恒成立，求實數(shù)/的取值范圍.

2，+2Txe(-l,O)

【答案】(l)f")=0x=0

2T2-xXG(O,1)

(2)r>0

【分析】(1)依題意可得〃0)=0,再設(shè)x?O,l),根據(jù)奇偶性及xw(-1,0)上的函數(shù)解析式，

計算可得；

(2)依題意參變分離可得經(jīng)+［，令g(x)==±l,xe(0,l),根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求

4+14+1

出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)最小值，從而得解；

【詳解】⑴解：???/(力是定義在(一")上的奇函數(shù)，"(0)=0,

因為在xw(-1,0)時，/(x)=2￥+2-\

設(shè)xw(0』)，則TC(-1,0),

則/3=_/(_加_(2”)

2、+2、XG(-1,0)

故/(力=?0x=0

-2x-2-xx€(O,l)

(2)解：由題意，入2。/(力〈4'-1可化為入2、?(-2,-27)〈4'-1

化簡可得里，

4+1

令g(%)=：+：=—+xe(?！?,

4+14+1

因為y=4，+l在定義域(0,1)上單調(diào)遞增，y=：在(2,5)上單調(diào)遞減，

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

2

，g(x)<g(O)=T+^j=。，

故1N0.

18.已知a>0且awl,函數(shù)/(%)=優(yōu)+4-*(工￡[-1』]),g(x)=ax2-2ax+4-a(XG[-\A])

(1)求八外的單調(diào)區(qū)間和值域；

⑵若對于任意入1,1]，總存在不￡卜1』，使得g(x0)=/(%)成立，求。的取值范圍；

⑶若對于任意與武一1』，任意不?-1』，都有g(shù)(x0)2/a)恒成立，求。的取值范圍.

【答案】(1)函數(shù)的遞增區(qū)間為[0，1]，遞減區(qū)間為2,a+；

⑵0收)

⑶事)

【分析】(1)先判斷函數(shù)的奇偶性，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，即可求人制的單

調(diào)區(qū)間和值域

(2)若對于任意為4—1,1],總存在七目一口],使得g(%)=/(K)成立，即等價于

g(HLN/(力2且g(￡LN，然后可。得取值范圍?

(3)若對于任意不目一L1],任意百目一川，都有g(shù)(y)之/(演)恒成立,等價為

雙。而//(“)2，然后可。得取宜范圍?

【詳解】⑴，f⑺=ax+a~x(xe[-1,1])

則f(~x)=ax+ax=f(x),/(x)為偶函數(shù)

設(shè)r=",則函數(shù)等價為y=

t

若當(dāng)OVxWl時，，二優(yōu)單調(diào)遞增，且壯1,此時函數(shù)y=f+1在年1上單調(diào)遞增，...根

t

據(jù)更合函數(shù)的單調(diào)性可知此時f(x)單調(diào)遞增.

若Ovavl,當(dāng)OWxWl時，f=a”單調(diào)遞減，且0<Y1,此時函數(shù)y=/+,在0<Y1上單調(diào)

t

遞減，，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知此時f(x)單調(diào)遞增.

綜上當(dāng)xNO時，函數(shù)單調(diào)遞增

???函數(shù)/(X)是偶函數(shù)，，當(dāng)一時，函數(shù)單調(diào)遞減.

故函數(shù)的遞增區(qū)間為[0，1],遞減區(qū)間為[-1,0].

???函數(shù)的值域為⑵?+-].

a

(2).a>0且〃工1,

/.g(力=CD^—lax+4~a(xe[―1?1])的對稱軸為x=---—=1,

二函數(shù)g(x)在x?T，l]時，函數(shù)單調(diào)遞減.

?.g(T)=2a+4,g⑴=4—2a.

即4—2。<g(x)<4+2a,

若對于任意不總存在與式-1，1],使得爪/)=，5)成立，

即g(")2之f⑸r且g(必kf(xL，

,4+2a>a+—nM4+?>—

則，a,即，a,

4-2a<2a>1

此時aNl,

。>0且。。1,：.a>\,

即〃的取值范圍是(1，y)：

(3)若對于任意飛?一川，任意百?一同，都有g(shù)(%)N/(X)恒成立

即晨力加了〃力2

則4—2aNa+L4—3a>-

aa

.-,3t?2-4?+l<0,解得gvaKl

a>0且awl

即a的取值范圍g，l)

19.已知函數(shù)/(%)=",g(』M，若/⑴+g⑴=5,f(l)-g(l)=l.

⑴求/(x),g(x)的解析式;

(2)若f(/n)=g(〃),試比較m,〃的大小.

【答案】⑴/(x)=3，，g(x)="

(2)當(dāng)/n=0時，fn=n.當(dāng)相>0時，m<n,當(dāng)機<0時，m>n.

【分析】(1)由已知得/⑴=3,g⑴=2,代入即可求得進(jìn)而得解;

(2)分類討論當(dāng)m=0,加>0和m<0時，結(jié)合已知即可得解.

［詳解］(1)由+=:,解得：/(l)=3,g(l)=2,即〃=3/=2

1/⑴-g⑴=1

.?./W=3\g(H=2*

⑵由f(m)=g(〃)，得3m=2",

當(dāng)加=0時,有2"=1，所以〃=0，此時間=〃；

當(dāng)7?>0時,25V3"'=2”.此時機<〃：

當(dāng)m<0時，2m>3^=2"，此時切>〃；

20.雙曲函數(shù)是一類與常見的三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)和雙

曲余弦函數(shù)(歷史上著名的“懸鏈線問題”與之相關(guān)).記雙曲正弦函數(shù)為了(X),雙曲余弦函

數(shù)為g(x),已知這兩個最基本的雙曲函數(shù)具有如下性質(zhì)：

①定義域均為R，且/(力在R上是增函數(shù)；

②/(X)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)；

③/(x)+g(6=e、(常數(shù)e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…).

利用上述性質(zhì)，解決以下問題：

(I)求雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)的解析式；

(2)證明:對任意實數(shù)”,［〃力了一［g(x)了為定值;

(3)已知〃z